物理实战模板与期刊排版

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\fancyhead[L]{\small 大学物理实验报告}
\fancyhead[R]{\small 单摆测量重力加速度与误差分析}
\fancyfoot[C]{\thepage}

\begin{document}
  % 标题与学生信息
  \begin{center}
    {\LARGE \textbf{实验报告：单摆测量重力加速度与不确定度评定}} \\[1.5em]
    \begin{tabular}{rlrl}
      \textbf{学生姓名：} & 张三         & \textbf{学\qquad 号：} & 20240101001                                         \\
      \textbf{专业班级：} & 物理系 2401 班 & \textbf{实验日期：}      & 2026 年 9 月 22 日                                     \\
      \textbf{指导教师：} & 李教授        & \textbf{环境条件：}      & 室温 \qty{22.5}{\degreeCelsius}，湿度 \qty{55}{\percent} \\
    \end{tabular}
  \end{center}

  \vspace{1em}
  \hrule
  \vspace{1.5em}

  \begin{abstract}
    本实验基于单摆小角度摆动近似，利用米尺、游标卡尺与数字毫秒计分别测量了单摆摆长与
    50 次全振动周期．通过逐差法与最小二乘拟合求得当地重力加速度实验值为 $g = \qty
    {9.794 \pm 0.018}{\meter\per\second\squared}$，与当地标准理论参考值相对偏差为
    \qty{0.06}{\percent}．文末对悬线伸长、空气浮力及空气阻尼引入的系统误差进行了定量分析．
  \end{abstract}

  \section{实验目的}
  1. 掌握游标卡尺、米尺与数字毫秒计的正确测量与读数方法； 2.
  验证单摆小角摆动的简谐运动规律，测定当地重力加速度 $g$； 3. 学习间接测量量的合成不确定度传递与有效数字保留规则．

  \section{主要仪器设备与技术指标}
  \begin{table}[H]
    \centering
    \caption{实验主要仪器规格参数表}
    \label{tab:instruments}
    \begin{tabular}{cccc}
      \toprule 仪器名称 & 型号规格    & 测量范围                             & 仪器极限误差 $\varDelta_{\mathrm{inst}}$ \\
      \midrule 钢卷尺  & 2m 标准卷尺 & $0 \sim \qty{200}{\centi\meter}$ & \qty{\pm 0.5}{\milli\meter}        \\
      游标卡尺          & 50 分度   & $0 \sim \qty{150}{\milli\meter}$ & \qty{\pm 0.02}{\milli\meter}       \\
      数字毫秒计         & DS-3 型  & $0 \sim \qty{999.999}{\second}$  & \qty{\pm 0.001}{\second}           \\
      \bottomrule
    \end{tabular}
  \end{table}

  \section{实验原理与推导}
  考虑不可伸长的轻细线悬挂一均质金属小球，摆线长为 $L$，摆球直径为 $d$，有效摆长为：
  \begin{equation}
    l = L + \frac{d}{2}. \label{eq:length}
  \end{equation}

  在忽略空气阻力且摆角 $\theta \le \ang{5}$
  的小角近似下，切向恢复力正比于角位移：
  \begin{equation}
    m l \ddot{\theta}= - m g \sin\theta \approx - m g \theta.
  \end{equation}

  解此微分方程可得简谐摆动固有周期为：
  \begin{equation}
    T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}. \label{eq:period}
  \end{equation}

  由式~\eqref{eq:period} 解出重力加速度表达式：
  \begin{equation}
    g = 4\pi^{2}\frac{l}{T^{2}}. \label{eq:g-formula}
  \end{equation}

  \section{实验原始测量数据}
  固定悬线长度，改变摆长共进行 4 组测量，每组测量 50 次全振动累计时间 $t_{50}$ 并计算单次周期
  $T = t_{50}/ 50$：

  \begin{table}[H]
    \centering
    \caption{单摆实验测量数据记录表}
    \label{tab:data}
    \begin{tabular}{ccccc}
      \toprule 组号 & 悬线长 $L$ / \unit{\centi\meter} & 摆球直径 $d$ / \unit{\milli\meter} & 50 次振动时间 $t_{50}$ / \unit{\second} & 周期 $T$ / \unit{\second} \\
      \midrule 1  & 70.02                         & 20.04                          & 84.62                              & 1.6924                  \\
      2           & 80.05                         & 20.04                          & 90.41                              & 1.8082                  \\
      3           & 90.01                         & 20.04                          & 95.83                              & 1.9166                  \\
      4           & 100.04                        & 20.04                          & 100.95                             & 2.0190                  \\
      \bottomrule
    \end{tabular}
  \end{table}

  \section{数据处理与不确定度评定}

  \subsection{重力加速度计算}
  取第 4 组典型数据代入式~\eqref{eq:g-formula}： 有效摆长
  $l = \qty{100.04}{\centi\meter}+ \qty{1.002}{\centi\meter}= \qty{1.0104}{\meter}$，周期
  $T = \qty{2.0190}{\second}$． 计算得重力加速度为：
  \begin{equation}
    g = 4 \pi^{2}\cdot \frac{\qty{1.0104}{\meter}}{(\qty{2.0190}{\second})^{2}}=
    \qty{9.794}{\meter\per\second\squared}.
  \end{equation}

  \subsection{不确定度传递公式分析}
  对式~\eqref{eq:g-formula} 两边取对数后全微分，得到相对不确定度传递关系：
  \begin{equation}
    \ln g = \ln(4\pi^{2}) + \ln l - 2\ln T \implies \frac{\mathrm{d}g}{g}= \frac{\mathrm{d}l}{l}
    - 2\frac{\mathrm{d}T}{T}.
  \end{equation}

  因摆长 $l$ 与周期 $T$ 为独立观测参量，相对合成标准不确定度为：
  \begin{equation}
    \frac{u_{\mathrm{c}}(g)}{g}= \sqrt{\left( \frac{u(l)}{l}\right)^{2}+ 4 \left(
    \frac{u(T)}{T}\right)^{2}}. \label{eq:uncertainty-transfer}
  \end{equation}

  经仪器误差与统计评定，摆长不确定度 $u(l) = \qty{0.6}{\milli\meter}$，周期不确定度
  $u(T) = \qty{0.0015}{\second}$．代入式~\eqref{eq:uncertainty-transfer}：
  \begin{equation}
    \frac{u_{\mathrm{c}}(g)}{g}= \sqrt{\left( \frac{0.6\times 10^{-3}}{1.0104}\right)^{2}+
    4 \left( \frac{0.0015}{2.0190}\right)^{2}}\approx \qty{0.18}{\percent}.
  \end{equation}

  绝对合成不确定度为：
  \begin{equation}
    u_{\mathrm{c}}(g) = \qty{9.794}{\meter\per\second\squared}\times 0.0018 = \qty
    {0.018}{\meter\per\second\squared}.
  \end{equation}

  最终测量结果表述为：
  \begin{equation}
    g = \qty{9.794 \pm 0.018}{\meter\per\second\squared}\quad (k = 1).
  \end{equation}

  \section{误差来源分析与结论}
  1. \textbf{大角度误差}：当摆角超过 \ang{5} 时，$\sin\theta \approx \theta - \frac{1}{6}
  \theta^{3}$，将使实测周期偏大，进而导致反推的重力加速度 $g$ 偏小； 2. \textbf{空气阻尼与悬点松动}：悬点非完全刚性约束会导致微小的有效摆长变化，建议使用固定夹头减少晃动．
\end{document}

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% 引入彩色警告与注记框宏包
\usepackage[most]{tcolorbox}

% 定义物理定律/定理环境
\newtcbtheorem[number
within=section]{law}{物理定律}{ colback=blue!5!white, colframe=blue!75!black, fonttitle=\bfseries, separator sign={: } }{law}

% 定义推导演算框
\newtcbtheorem[number
within=section]{derivation}{推导过程}{ colback=gray!5!white, colframe=gray!70!black, fonttitle=\bfseries, separator sign={: } }{der}

% 定义关键物理直觉/思考题
\newtcolorbox{intuition}[1][]{ colback=orange!5!white, colframe=orange!80!black, fonttitle=\bfseries, title=物理直觉与注记: #1 }

\begin{document}
  \section{量子力学算符与狄拉克符号体系}

  \subsection{算符的自共轭性（Hermiticity）}

  在量子力学中，凡是原则上可观测的物理量（如坐标、动量、能量），都对应着希尔伯特空间中的一个线性厄米算符（自共轭算符）．

  \begin{law}
    {厄米算符实本征值定理}{hermitian-eigen} 设 $\hat{A}$ 为作用在希尔伯特空间
    $\mathcal{H}$ 中的线性厄米算符，即对任意态矢量
    $\vert \psi \rangle, \vert \phi \rangle$，均满足：
    \begin{equation}
      \langle \psi \vert \hat{A}\vert \phi \rangle = \langle \hat{A}\psi \vert \phi
      \rangle = \langle \phi \vert \hat{A}\vert \psi \rangle^{*}.
    \end{equation}
    则算符 $\hat{A}$ 的所有本征值必为实数，且不同本征值对应的本征态彼此正交．
  \end{law}

  \begin{derivation}
    {本征值为实数的严格证明}{proof-real} 设 $\vert \lambda \rangle$ 是 $\hat{A}$
    的本征态，对应本征值为 $\lambda$：
    \begin{equation}
      \hat{A}\vert \lambda \rangle = \lambda \vert \lambda \rangle.
    \end{equation}
    两边左乘左矢 $\langle \lambda \vert$：
    \begin{equation}
      \langle \lambda \vert \hat{A}\vert \lambda \rangle = \lambda \langle \lambda
      \vert \lambda \rangle. \label{eq:step1}
    \end{equation}
    对式~\eqref{eq:step1} 取复共轭，并利用厄米算符的定义：
    \begin{equation}
      \langle \lambda \vert \hat{A}\vert \lambda \rangle^{*}= \langle \lambda \vert
      \hat{A}^{\dagger}\vert \lambda \rangle = \langle \lambda \vert \hat{A}\vert
      \lambda \rangle = \lambda^{*}\langle \lambda \vert \lambda \rangle.
    \end{equation}
    因此有：
    \begin{equation}
      (\lambda - \lambda^{*}) \langle \lambda \vert \lambda \rangle = 0.
    \end{equation}
    因为本征态 $\vert \lambda \rangle \neq 0$，其自内积 $\langle \lambda \vert \lambda
    \rangle > 0$，故必有：
    \begin{equation}
      \lambda = \lambda^{*}\implies \lambda \in \mathbb{R}.
    \end{equation}
    证毕．
  \end{derivation}

  \begin{intuition}
    [为什么经典物理量对应厄米算符？] 物理测量得到的结果必然是一个纯实数（仪器读数不可能指向虚数刻度）．厄米算符在数学上完美保障了可观测量的测量值永远落在实数轴上，这是量子力学玻恩诠释自洽性的基石．
  \end{intuition}
\end{document}

\documentclass[
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]{revtex4-2}

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\begin{document}
  \title{Observation of Topological Phase Transitions in Non-Hermitian Quantum
  Systems}

  \author{San Zhang}
  \email{zhangsan@physics.edu}
  \affiliation{Department of Physics, Tsinghua University, Beijing 100084, China}
  \affiliation{State Key Laboratory of Low-Dimensional Quantum Physics, Beijing 100084, China}

  \author{Si Li}
  \affiliation{Institute for Advanced Study, Tsinghua University, Beijing 100084, China}

  \date{\today}

  \begin{abstract}
    We report the experimental observation of exceptional points and non-Hermitian
    topological invariants in an engineered photonic lattice. By introducing
    controlled on-site gain and loss, we map the complex eigenspectrum and observe
    the non-Hermitian skin effect. Our results demonstrate the existence of edge
    states protected by dynamic winding numbers, paving the way for robust quantum
    state manipulation.
  \end{abstract}

  \maketitle

  \section{Introduction}
  Topological phases of matter have revolutionized our understanding of
  condensed matter physics~\cite{einstein1905}. Recently, the extension of
  topological band theory to non-Hermitian Hamiltonians has unveiled
  extraordinary phenomena without Hermitian counterparts.

  \section{Model and Derivation}
  The effective non-Hermitian Hamiltonian describing the subwavelength lattice
  is:
  \begin{equation}
    \hat{H}= \sum_{j}\left( J_{\mathrm{L}}\hat{c}_{j}^{\dagger}\hat{c}_{j+1}+ J_{\mathrm{R}}
    \hat{c}_{j+1}^{\dagger}\hat{c}_{j}\right) + \mathrm{i}\gamma \sum_{j}(-1)^{j}
    \hat{c}_{j}^{\dagger}\hat{c}_{j},
  \end{equation}
  where $J_{\mathrm{L}}$ and $J_{\mathrm{R}}$ denote asymmetric hopping amplitudes,
  and $\gamma$ represents the balanced gain/loss coefficient.

  % 当双栏排版遇到极宽公式时, 使用 widetext 环境实现无缝单栏横跨
  \begin{widetext}
    \begin{equation}
      \det\left[ \hat{H}(k) - E \cdot \mathbb{I}\right] = E^{2}- \left( J_{\mathrm{L}}
      ^{2}+ J_{\mathrm{R}}^{2}+ 2 J_{\mathrm{L}}J_{\mathrm{R}}\cos k \right) + \gamma
      ^{2}- 2\mathrm{i}\gamma (J_{\mathrm{L}}- J_{\mathrm{R}}) \sin k = 0.
    \end{equation}
  \end{widetext}

  \section{Conclusion}
  In summary, we have synthesized a dynamic non-Hermitian topological lattice. The
  observed topological transitions provide insight into open quantum systems.

  \begin{acknowledgments}
    This work was supported by the National Natural Science Foundation of China.
  \end{acknowledgments}

  % REVTeX 推荐使用预置的 apsrev4-2 样式
  \bibliography{references}
\end{document}