物理公式与专业宏包

物理公式与专业宏包进阶

物理学是一门由严密数学推导与实验数据交织构成的学科．在 LaTeX 中撰写物理文档，远不止「把公式敲出来」这么简单，更关乎符号的正斜体规范、量纲单位的标准表达、推导过程的对齐美感以及宏包的稳健选型．

本页面将深入讲解物理推导中必不可少的公式环境、国际通用的物理量规范、现代 siunitx 单位宏包以及物理专业宏包的最佳实践．

基础公式环境与物理推导对齐

LaTeX 的数学排版核心主要由 amsmath 与 mathtools 宏包提供．在文档导言区请务必载入：

\usepackage{amsmath, mathtools, amssymb}

1. 行内公式与行间独立公式

行内公式：嵌入在段落文字中，使用单个美元符号 $ ... $ ．例如：光子能量为 $E = ℏ ω$ E = hbar omega．
无编号独立公式：独占一行并居中，使用 \[ ... \]（不要使用过时的 $$ ... $$）．
自动编号公式：使用 equation 环境，便于后续在正文中交叉引用：

\begin{equation}
  E^{2}= (p c)^{2}+ (m_{0}c^{2})^{2}. \label{eq:relativistic-energy}
\end{equation}

若某条公式无需编号，可使用 equation* 环境．

2. 多步推导对齐：`align` 环境

物理推导最常见的情形是从一个原始物理定律出发，经过多步代数变换得到最终结论．此时必须使用 align 环境，通过 & 标记对齐基准（通常放在等号 =、约等号 \approx 或箭头前），使用 \\ 换行：

\begin{align}
  \nabla \cdot \bm{D}  & = \rho_{\mathrm{f}}, \label{eq:maxwell-1}                                       \\
  \nabla \cdot \bm{B}  & = 0, \label{eq:maxwell-2}                                                       \\
  \nabla \times \bm{E} & = - \frac{\partial \bm{B}}{\partial t}, \label{eq:maxwell-3}                    \\
  \nabla \times \bm{H} & = \bm{J}_{\mathrm{f}}+ \frac{\partial \bm{D}}{\partial t}. \label{eq:maxwell-4}
\end{align}

关于推导过程的部分编号

如果你只希望在推导的最终结果那一行出现编号，中间步骤不编号，可以在中间行的末尾加上 \nonumber，或者直接在不需要编号时整体使用 align*．

3. 长公式断行折排：`multline` 与 `split`

物理推导中经常出现跨越整行宽度的超长表达式，直接排版会导致公式溢出页面右边界．

multline 环境：适合无对齐关系的单条超长公式．第一行靠左对齐，最后一行靠右对齐，中间行居中：

\begin{multline}
  \langle x' | \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\hat{H}t}| x \rangle = \sqrt{\frac{m}{2\pi
  \mathrm{i} \hbar t}}\exp\left[ \frac{\mathrm{i}m}{2\hbar t}(x' - x)^{2}\right]
  \\
  \times \left\{ 1 - \frac{\mathrm{i}t}{2\hbar}\left[ V(x') + V(x) \right] + \mathcal{O}
  (t^{2}) \right\}.
\end{multline}

split 环境：嵌套在 equation 内部，在保持单一公式编号的同时，利用 & 在长公式换行处实现精确对齐：

\begin{equation}
  \begin{split}
    \frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega}&= \left( \frac{e^{2}}{4\pi \varepsilon_{0}\cdot
    4 E_{\mathrm{k}}}\right)^{2}\frac{1}{\sin^{4}(\theta / 2)}\\
    &= \left( \frac{z Z e^{2}}{4 E_{\mathrm{k}}}\right)^{2}\csc^{4}\left( \frac{\theta}{2}
    \right).
  \end{split}
\end{equation}

4. 分段函数与边界条件：`cases` 与 `dcases`

在表达势阱、分段折射率或边界条件时，可以使用 cases 环境．如果表达式内包含复杂分式，推荐使用 mathtools 提供的 dcases（它会保持分子分母为正常行间尺寸，避免被压扁）：

V(x) =
\begin{dcases}
  0,     & 0 \le x \le a \quad \text{（阱内自由粒子）},        \\
  V_{0}, & x < 0 \text{ 或 }x > a \quad \text{（有限深势垒）}.
\end{dcases}

5. 矩阵、行列式与量子算符状态

% 常用矩阵环境
\begin{pmatrix}
  a & b \\
  c & d
\end{pmatrix}
\qquad % 圆括号 (矩阵常用)
\begin{bmatrix}
  a & b \\
  c & d
\end{bmatrix}
\qquad % 方括号
\begin{vmatrix}
  a & b \\
  c & d
\end{vmatrix} % 行列式 (Determinant)

例如泡利自旋矩阵 $σ_{y}$ sigma_y 的标准排版：

\sigma_y =
\begin{pmatrix}
  0          & -\mathrm{i} \\
  \mathrm{i} & 0
\end{pmatrix}.

物理量与符号排版规范

国际纯粹与应用物理学联合会（IUPAP）以及国家标准对科学文献中的正斜体使用有极严格的规定．很多物理初学者容易忽视这些细节：

1. 变量斜体，常量与算子正体

类别	规范法则	正确写法示例	错误写法（严禁）
物理量变量	必须使用斜体	质量 $m$ m、时间 $t$ t、能量 $E$ E、速度 $v$ v	$m, t$ m, t
微积分微分符号	必须使用正体	$d x, d t, d^{3} r$ dx, dt, d^3 r	$d x, d t$ dx, dt（ $d$ d 变成斜体变量）
偏微分符号	使用专用符号 `\partial`	$\frac{\partial ψ}{\partial t}$ d psi/d t	$d ψ / d t$ d psi / dt
自然常数与底	必须使用正体	自然底 $e^{x}$ e^x、虚数单位 $i$ i	$e^{x}, i$ e^x, i（误写为斜体变量）
物理常数变量	遵循物理约定斜体	普朗克常量 $ℏ, h$ hbar, h、光速 $c$ c、玻尔兹曼常量 $k_{B}$ k_B	$c, h$ c, h

微积分算子标准写法示例

% 正确: 正体 d 且积分号与被积微元间保留薄空格 \,
\int_0^\infty f(x) \, \mathrm{d}x

% 导数表达
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}

2. 下标的正斜体辨析（极高频错误）

物理公式中的下标是否使用正体，取决于该下标的 物理属性：

下标代表变量或指标（Index）时，用斜体：例如分量 $v_{x}, v_{y}, v_{i}$ v_x, v_y, v_i；多粒子求和 $\sum_{k} E_{k}$ sum_k E_k．
下标代表特定属性、对象名称或英文缩写时，用正体：
- 动能 $E_{k}$ E_k（kinetic 缩写）
- 电势能 $E_{p}$ E_p（potential 缩写）
- 最大值 $v_{\max}$ v_max（maximum 缩写）
- 电子质量 $m_{e}$ m_e（electron 缩写）
- 室温 $T_{room}$ T_room（文字说明）

% 正确示例
E_{\mathrm{total}} = E_{\mathrm{k}} + E_{\mathrm{p}} = \frac{1}{2} m v_x^2 + m g
h

3. 矢量与张量符号（`bm` 宏包优于 `\mathbf` 与 `\vec`）

在早期排版中，物理学常使用箭头 \vec{v} 或粗体 \mathbf{v}．但在现代学术论文中：

\vec{v} 在包含上下标或长符号时显得十分凌乱；
\mathbf{...} 只能处理英文字符，对希腊字母完全失效（例如输入 \mathbf{\omega} 不会变粗，仍然是细斜体）；
最佳解决方案是载入 \usepackage{bm}，使用 \bm{...} 命令：它能完美将英文、希腊字母、乃至算符加粗并保持优雅的数学倾斜：

% 力学与电磁学矢量
\bm{F} = m \bm{a} \bm{B} = \nabla \times \bm{A} \bm{L} = \bm{r} \times \bm{p}

% 希腊字母角速度与电极化率矢量
\bm{v} = \bm{\omega} \times \bm{r} \bm{P} = \varepsilon_0 \chi_{\mathrm{e}} \bm{E}

4. 量子力学狄拉克符号与算符

在量子物理中，推荐统一态矢量、算符与内积的记号：

% 算符顶部加帽标
\hat{H} \vert \psi_n \rangle = E_n \vert \psi_n \rangle

% 动量算符定义
\hat{p} = - \mathrm{i} \hbar \nabla

% 产生湮灭算符与厄米共轭
[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1

% 矩阵元与内积
\langle \phi \vert \hat{A} \vert \psi \rangle = \int \phi^*(\bm{r}) \hat{A} \psi(\bm{r})
\, \mathrm{d}^3 r

单位与数值排版神器：`siunitx` 宏包

在物理实验与工程计算中，绝不能手动敲击空格输入单位（例如 $9.8 m/s^2$ 是严重不规范的）．siunitx 是 LaTeX 官方最权威的物理量与单位排版宏包（当前为 v3 版本）．

在导言区引入：

\usepackage{siunitx}
\sisetup{ separate-uncertainty = true, % 误差显示为 +/- 形式
inter-unit-product = \cdot % 单位相乘时使用居中点相连
}

1. 核心命令矩阵

命令	功能用途	代码示例	渲染效果说明
`\num{...}`	格式化纯数值	`\num{1.602176634e-19}`	自动排版为科学计数法 $1.602 176 634 \times 10^{- 19}$ 1.602 ,176 ,634 * 10^-19
`\unit{...}`	独立物理单位	`\unit{\kilo\meter\per\second}`	自动输出标准正体、正确负指数与间距 $km \cdot s^{- 1}$ km* s^-1
`\qty{...}{...}`	数值 + 单位	`\qty{9.80}{\meter\per\second\squared}`	数值与单位之间保留符合国家标准的标准细空格
`\ang{...}`	角度与度分秒	`\ang{45;30;15}`	输出 $45^{\circ} 30^{'} 15^{″}$ 45^circ 30' 15''

2. 测量不确定度与误差表示

在大学物理实验中，实验数据必须附带不确定度：

% 简记法 (括号内数字为末位不确定度)
\qty{1.234(5)}{\meter}
% 渲染效果为: 1.234(5) m

% 显式 +/- 形式 (配合 separate-uncertainty = true)
\qty{10.5(3)}{\volt}
% 渲染效果为: (10.5 ± 0.3) V

% 相对不确定度 / 范围
\qtyrange{10}{20}{\degreeCelsius}
% 渲染效果为: 10 °C to 20 °C

3. 常用物理单位宏定义对照速查

% 基础力学与热学单位
\unit{\kilogram} % kg
\unit{\newton} % N
\unit{\joule} % J
\unit{\pascal} % Pa
\unit{\kelvin} % K
\unit{\watt} % W

% 电磁学单位
\unit{\coulomb} % C
\unit{\volt} % V
\unit{\ampere} % A
\unit{\ohm} % Ω (欧姆自动匹配大写欧米伽)
\unit{\tesla} % T
\unit{\henry} % H
\unit{\farad} % F

% 词头 (Prefix)
\milli % m (毫 10^-3)
\micro % µ (微 10^-6, 自动使用正体微米符号)
\nano % n (纳 10^-9)
\pico % p (皮 10^-12)
\kilo % k (千 10^3)
\mega % M (兆 10^6)
\giga % G (吉 10^9)

物理宏包选型深度辨析：`physics` 宏包能用吗？

在各大网络论坛或旧教程中，你可能会频繁看到推荐使用 \usepackage{physics}．它提供了形如 \dd{x}、\dv{y}{x}、\bra{\psi} 等看似非常方便的缩写．

CTAN 与 LaTeX 官方对 physics 宏包的警示

虽然 physics 宏包上手极其爽快，但 现代严谨学术排版通常不推荐直接引入它，原因如下：

宏包年久失修：该宏包自 2012 年以后就已停止维护更新．
暴力篡改底层命令：它在内部暴力重写了许多基础数学内核命令（如 \div,\sin 等），可能与其他现代数学宏包（如 mathtools、siunitx）产生诡异的间距 bug 或冲突．
自动定界符过度伸展：其默认的括号大小自适应算法经常把普通括号撑得过大，破坏行内排版的美感．

现代稳健替代方案

如果你喜欢简洁的物理导数与狄拉克符号，有两种推荐的稳健现代方案：

方案一：使用现代重写的 `physics2` 宏包

由国内学者维护并收录于 TeX Live 的 physics2 宏包，采用模块化设计，无任何侵入性，仅在需要时开启对应模块：

\usepackage{physics2}
\usephysicsmodule{ab, doubleprod, braket}

方案二：自行在导言区定义极简宏（最受期刊青睐）

在导言区添加以下 5 行简洁定义，既清晰透明，又绝不会与任何期刊模板冲突：

% 1. 正体微分算子
\newcommand{\diff}{\mathrm{d}}

% 2. 导数与偏导数
\newcommand{\deriv}[2]{\frac{\mathrm{d}#1}{\mathrm{d}#2}}
\newcommand{\pderiv}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}

% 3. 量子力学狄拉克符号
\newcommand{\bra}[1]{\langle #1 \vert}
\newcommand{\ket}[1]{\vert #1 \rangle}
\newcommand{\braket}[2]{\langle #1 \vert #2 \rangle}
\newcommand{\expval}[1]{\langle #1 \rangle}

使用时直接输入 \deriv{y}{x} 或 \ket{\psi}，输出结果规范优雅，且源文件高度可控．

高级专业绘图宏包指引

在处理复杂的物理图示时，除了外部生成图片外，LaTeX 内部还支持强大的代码绘图工具：

费曼图排版：使用 tikz-feynman 宏包，可通过声明式的粒子线段与顶点直接在 LaTeX 内编译出出版级的微扰理论费曼图．
电路与模拟电路：使用 circuitikz 宏包，能直接用代码绘制包含电阻、电容、电感、运放及逻辑门的标准电路图．
关于外部绘图工具生成矢量图并嵌入文档的详细规范，请参阅本专栏后续页面：图表、文献与长文档管理以及站内的绘图工具．

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