4. 循环过程和卡诺循环

循环过程和卡诺循环

学习目标

读完本页后，你应该能够：

• 解释循环过程的基本概念，区分正循环（热机）和逆循环（制冷机）
• 写出热机效率的一般定义，并理解其物理意义
• 描述卡诺循环的四个过程，计算各过程的功和热量
• 推导卡诺效率公式，理解其与温度的关系
• 分析奥托循环、迪赛尔循环和斯特林循环的 p-V 图和效率
• 比较不同热机循环的特点、优缺点和应用场景
• 了解不可逆因素对实际热机效率的影响

本页将重点处理什么

1. 循环过程的热力学基础：定义、分类、效率计算方法
2. 卡诺循环：理想基准，详细过程分析与效率推导
3. 实际热机循环：奥托、迪赛尔、斯特林循环的 p-V 图、过程分析、效率计算
4. 不可逆因素对实际热机效率的影响
5. 现实应用案例：地热发电、核电站

符号约定

为统一符号，本文采用以下约定：

1. 下标约定：下标 $1$ 表示高温（热源/状态），下标 $2$ 表示低温（热源/状态）
2. 撇号约定：右上角带撇（${}^{\prime }$）的量表示放热或系统对外做功，不带撇的量表示吸热或外界对系统做正功

例如：

• $Q_1$：系统从高温热源 吸收 的热量（吸热，不带撇）
• $Q_2^{\prime }$：系统向低温热源 放出 的热量（放热，带撇）
• $A$：外界对系统做的功（外界对系统做正功，不带撇）
• $A^{\prime }$：系统对外做的功（系统对外做功，带撇）

核心内容

循环过程

循环过程（Cycle process） 是指热力学系统经历一系列状态变化后，最终回到初始状态的过程．由于内能 $U$ 是状态量，系统经历一个完整循环后，内能变化为零：

$$\mathrm{\Delta }U=\oint \text{d}U=0$$

根据热力学第一定律 $Q=\mathrm{\Delta }U+A$，对于循环过程有：

$$\oint \delta Q=\oint \delta A$$

即：循环过程中净吸热等于净做功．

正循环与逆循环

根据循环进行的方向，可以分为：

• 正循环（Direct cycle）：系统沿顺时针方向在 p-V 图上进行循环，净功 ，系统对外做功．此时 ，系统从高温热源吸热，向低温热源放热，称为 热机．
• 逆循环（Reverse cycle）：系统沿逆时针方向在 p-V 图上进行循环，净功 ，外界对系统做功．此时热量从低温热源传向高温热源，称为 制冷机 或 热泵．

热机示意图

制冷机示意图

热机效率

对于热机，我们关心的是：吸收的热量中有多少转化为有用的功．定义 热机效率 为：

$$\eta =\frac{A^{\prime }}{Q_1}=\frac{Q_1-Q_2^{\prime }}{Q_1}=1-\frac{Q_2^{\prime }}{Q_1}$$

其中：

• $Q_1$：系统从高温热源吸收的热量（吸热，不带撇）
• $Q_2^{\prime }$：系统向低温热源放出的热量（放热，带撇）
• $A^{\prime }=Q_1-Q_2^{\prime }$：系统对外做的净功（系统对外做功，带撇）

理想气体卡诺循环及其效率

卡诺循环（Carnot cycle） 是由法国工程师萨迪·卡诺（Sadi Carnot）于 1824 年提出的一种理想热机循环．它由两个等温过程和两个绝热过程组成，是理论上效率最高的热机循环．

卡诺循环工作在两个热源之间：

• 高温热源（温度 $T_1$）：提供热量
• 低温热源（温度 $T_2$）：吸收排放的热量

卡诺循环的四个过程

设工作物质为 $\nu$ 摩尔理想气体，初始状态为 $(p_1,V_1,T_1)$．

过程 1→2：等温膨胀（吸热）

气体与高温热源 $T_1$ 接触，从状态 1 等温膨胀到状态 2．由于温度不变，内能不变（理想气体），根据热力学第一定律：

$$Q_1=A_{1\to 2}^{\prime }={\int }_{V_1}^{V_2}p\mathrm{d}V=\nu R{T}_1\ln \frac{V_2}{V_1}$$

气体从高温热源吸收热量 $Q_1$，对外做功．

过程 2→3：绝热膨胀（降温）

气体与热源脱离，进行绝热膨胀，温度从 $T_1$ 降到 $T_2$，体积从 $V_2$ 膨胀到 $V_3$．此过程中：

$$Q=0,A_{2\to 3}^{\prime }=-\mathrm{\Delta }U=\nu C_V^{mol}(T_1-T_2)$$

满足绝热方程：

$$T_1{V}_2^{\gamma -1}=T_2{V}_3^{\gamma -1}$$

过程 3→4：等温压缩（放热）

气体与低温热源 $T_2$ 接触，从状态 3 等温压缩到状态 4．内能不变，外界对气体做功，气体向低温热源放出热量：

$$Q_2^{\prime }=-A_{3\to 4}=-{\int }_{V_3}^{V_4}p\mathrm{d}V=\nu R{T}_2\ln \frac{V_3}{V_4}$$

过程 4→1：绝热压缩（升温）

气体与热源脱离，进行绝热压缩，温度从 $T_2$ 回升到 $T_1$，体积从 $V_4$ 压缩回 $V_1$．此过程中：

$$Q=0,A_{4\to 1}=-\mathrm{\Delta }U=\nu C_V^{mol}(T_2-T_1)$$

满足绝热方程：

$$T_2{V}_4^{\gamma -1}=T_1{V}_1^{\gamma -1}$$

卡诺效率的推导

根据热机效率定义：

$${\eta }_C=1-\frac{Q_2^{\prime }}{Q_1}$$

代入等温过程的热量表达式：

$$\frac{Q_2^{\prime }}{Q_1}=\frac{\nu R{T}_2\ln (V_3/V_4)}{\nu R{T}_1\ln (V_2/V_1)}=\frac{T_2\ln (V_3/V_4)}{T_1\ln (V_2/V_1)}$$

利用两个绝热过程的约束条件：

$$T_1{V}_2^{\gamma -1}=T_2{V}_3^{\gamma -1},T_2{V}_4^{\gamma -1}=T_1{V}_1^{\gamma -1}$$

两式相除：

$$\frac{V_2^{\gamma -1}}{V_1^{\gamma -1}}=\frac{V_3^{\gamma -1}}{V_4^{\gamma -1}}⟹\frac{V_2}{V_1}=\frac{V_3}{V_4}$$

因此：

$$\frac{Q_2^{\prime }}{Q_1}=\frac{T_2}{T_1}$$

最终得到 卡诺效率：

$$\boxed{{\eta }_C=1-\frac{T_2}{T_1}}$$

卡诺定理简介

卡诺定理指出：所有工作在相同高温热源 $T_1$ 和低温热源 $T_2$ 之间的热机，可逆热机的效率最高，且所有可逆热机效率相同．

这意味着：

1. 卡诺效率 ${\eta }_C=1-T_2/T_1$ 是热机效率的 理论上限
2. 任何实际热机的效率都不可能超过卡诺效率
3. 不可逆因素（如摩擦、有限温差传热）会降低效率

其他循环

奥托循环（Otto Cycle）——汽油机的理想模型

奥托循环 是四冲程汽油发动机的理想热力学循环，由德国工程师尼古拉斯·奥托（Nikolaus Otto）于 1876 年实现．

工作原理

奥托循环由以下四个过程组成：

1. a→b：绝热压缩：活塞向上运动，压缩混合气体，体积从 $V_1$ 减小到 $V_2$
2. b→c：等体加热：火花塞点火，混合气体燃烧，体积不变，压强和温度急剧升高
3. c→d：绝热膨胀：高温高压气体推动活塞向下运动，对外做功，体积从 $V_2$ 膨胀到 $V_1$
4. d→a：等体放热：排气阀打开，压强迅速下降（热力学分析中简化为等体放热）

过程分析

过程 a→b：绝热压缩

压缩比定义为 $r=V_1/V_2$（）．由绝热方程：

$$T_b=T_a{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1}=T_a{r}^{\gamma -1}$$

外界对气体做功，温度升高．

过程 b→c：等体加热

气体吸收热量 $Q_1$，温度从 $T_b$ 升高到 $T_c$：

$$Q_1=\nu C_V^{mol}(T_c-T_b)$$

体积不变，不做功．

过程 c→d：绝热膨胀

气体对外做功，温度降低：

$$T_d=T_c{\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}^{\gamma -1}=T_c{\left(\frac{1}{r}\right)}^{\gamma -1}=\frac{T_c}{r^{\gamma -1}}$$

过程 d→a：等体放热

气体放出热量 $Q_2^{\prime }$，温度从 $T_d$ 降低到 $T_a$：

$$Q_2^{\prime }=\nu C_V^{mol}(T_d-T_a)$$

效率计算

$${\eta }_{\text{Otto}}=1-\frac{Q_2^{\prime }}{Q_1}=1-\frac{T_d-T_a}{T_c-T_b}$$

利用绝热关系 $T_b=T_a{r}^{\gamma -1}$ 和 $T_d=T_c/r^{\gamma -1}$：

$${\eta }_{\text{Otto}}=1-\frac{T_c/r^{\gamma -1}-T_a}{T_c-T_a{r}^{\gamma -1}}=1-\frac{1}{r^{\gamma -1}}$$

$$\boxed{{\eta }_{\text{Otto}}=1-\frac{1}{r^{\gamma -1}}}$$

特点

• 优点：结构简单，压缩比高时效率高
• 缺点：压缩比过高会导致爆震（异常燃烧），限制了实际效率
• 应用：汽油发动机，转速高，功率密度大

例题：计算奥托循环效率

题目：一台汽油发动机的压缩比为 $r=8$，工作物质为空气（$\gamma =1.4$）．求该发动机的理论效率．

解答：
代入奥托效率公式：

$${\eta }_{\text{Otto}}=1-\frac{1}{r^{\gamma -1}}=1-\frac{1}{8^{0.4}}\approx 1-0.435=0.565$$

理论效率约为 56.5%．实际汽油机效率通常在 25%~35% 之间，因为存在摩擦、散热损失、不完全燃烧等不可逆因素．

迪赛尔循环（Diesel Cycle）——柴油机的理想模型

迪赛尔循环 是四冲程柴油发动机的理想热力学循环，由德国工程师鲁道夫·迪赛尔（Rudolf Diesel）于 1893 年发明．

工作原理

迪赛尔循环与奥托循环的主要区别在于：加热过程是等压加热而非等体加热．这是因为柴油机靠压缩点火，燃烧过程持续一段时间，活塞继续下行．

迪赛尔循环由以下过程组成：

1. 1→2：绝热压缩：空气被压缩到很高温度（压缩比比汽油机更高）
2. 2→3：等压加热：柴油喷入高温空气中自燃，燃烧过程中压强基本不变，体积膨胀
3. 3→4：绝热膨胀：高温高压气体推动活塞做功
4. 4→1：等体放热：排气，压强下降

过程分析

过程 1→2：绝热压缩

压缩比 $r=V_1/V_2$，温度升高：

$$T_2=T_1{r}^{\gamma -1}$$

过程 2→3：等压加热

定义 截止比（预胀比）$\rho =V_3/V_2$（），表示燃烧过程中体积膨胀的程度．等压过程中：

$$Q_1=\nu C_p^{mol}(T_3-T_2)=\nu C_p^{mol}{T}_2(\rho -1)$$

由等压过程 $V/T=\text{const}$，得 $T_3=T_2\rho$．

过程 3→4：绝热膨胀

膨胀比为 $V_4/V_3=(V_4/V_2)\cdot (V_2/V_3)=r/\rho$，因此：

$$T_4=T_3{\left(\frac{V_3}{V_4}\right)}^{\gamma -1}=T_3{\left(\frac{\rho }{r}\right)}^{\gamma -1}=T_1{\rho }^{\gamma }$$

过程 4→1：等体放热

$$Q_2^{\prime }=\nu C_V^{mol}(T_4-T_1)=\nu C_V^{mol}(T_1{\rho }^{\gamma }-T_1)=\nu C_V^{mol}{T}_1({\rho }^{\gamma }-1)$$

效率计算

$${\eta }_{\text{Diesel}}=1-\frac{Q_2^{\prime }}{Q_1}=1-\frac{C_V^{mol}{T}_1({\rho }^{\gamma }-1)}{C_p^{mol}{T}_2(\rho -1)}=1-\frac{1}{\gamma }\cdot \frac{{\rho }^{\gamma }-1}{\rho -1}\cdot \frac{T_1}{T_2}$$

代入 $T_2=T_1{r}^{\gamma -1}$：

$$\boxed{{\eta }_{\text{Diesel}}=1-\frac{1}{r^{\gamma -1}}\cdot \frac{{\rho }^{\gamma }-1}{\gamma (\rho -1)}}$$

特点

• 优点：压缩比高（可达 15~25），效率比汽油机高；不易爆震；扭矩大
• 缺点：结构笨重，转速低；喷油系统复杂
• 应用：柴油发动机，广泛用于卡车、船舶、发电机

例题：比较奥托循环和迪赛尔循环效率

题目：某汽油机压缩比 $r_{\text{Otto}}=8$，某柴油机压缩比 $r_{\text{Diesel}}=20$，截止比 $\rho =2$，$\gamma =1.4$．比较两者的理论效率．

解答：

汽油机（奥托循环）：

$${\eta }_{\text{Otto}}=1-\frac{1}{8^{0.4}}\approx 0.565=56.5\mathrm{\%}$$

柴油机（迪赛尔循环）：

$${\eta }_{\text{Diesel}}=1-\frac{1}{{20}^{0.4}}\cdot \frac{2^{1.4}-1}{1.4(2-1)}\approx 1-0.301\times 1.219=0.633=63.3\mathrm{\%}$$

柴油机效率更高，主要因为压缩比更大．

斯特林循环（Stirling Cycle）——外燃机的理想模型

斯特林循环 是由苏格兰牧师罗伯特·斯特林（Robert Stirling）于 1816 年发明的一种闭式再生循环．它由两个等温过程和两个等体过程组成，理论上效率等于卡诺效率．

工作原理

斯特林循环的关键特点是使用 回热器（Regenerator），在等体过程中储存和释放热量，从而实现接近卡诺效率的热力学循环．

斯特林循环由以下四个过程组成：

1. A→B：等温压缩：气体与高温热源接触，等温压缩，放热 $Q_1^{\prime }$
2. B→C：等体冷却：气体体积不变，通过回热器将热量传递给回热器，温度从 $T_1$ 降到 $T_2$
3. C→D：等温膨胀：气体与低温热源接触，等温膨胀，吸热 $Q_2$
4. D→A：等体加热：气体体积不变，从回热器吸收热量，温度从 $T_2$ 回升到 $T_1$

逆向斯特林循环

α型与β型斯特林循环

斯特林发动机有两种主要构型：

α型斯特林循环：

• 使用两个独立的气缸（动力活塞和置换活塞）
• 结构简单，但密封困难
• 适合大功率应用

β型斯特林循环：

• 使用单个气缸，两个活塞在同一轴上
• 结构紧凑，密封性好
• 适合小功率应用

$\alpha$ 型斯特林循环 $\beta$ 型斯特林循环

过程分析

过程 A→B：等温压缩

外界对气体做功，气体向高温热源 $T_1$ 放热：

$$Q_1^{\prime }=-A_{A\to B}=\nu R{T}_1\ln \frac{V_1}{V_2}$$

过程 B→C：等体冷却

体积不变，不做功．气体通过回热器释放热量：

过程 C→D：等温膨胀

气体从低温热源 $T_2$ 吸热，对外做功：

$$Q_2=A_{C\to D}^{\prime }=\nu R{T}_2\ln \frac{V_1}{V_2}$$

（注意 $V_B=V_C=V_2$，$V_A=V_D=V_1$）

过程 D→A：等体加热

体积不变，不做功．气体从回热器吸收热量：

效率计算

循环净功：

$$A^{\prime }=Q_1^{\prime }+Q_{BC}+Q_2+Q_{DA}$$

由于 $Q_{BC}+Q_{DA}=0$（回热器中储存和释放的热量相互抵消），因此：

$$A^{\prime }=Q_1^{\prime }+Q_2$$

效率：

$${\eta }_{\text{Stirling}}=1-\frac{|Q_2|}{|Q_1^{\prime }|}=1-\frac{T_2\ln (V_1/V_2)}{T_1\ln (V_1/V_2)}=1-\frac{T_2}{T_1}$$

$$\boxed{{\eta }_{\text{Stirling}}=1-\frac{T_2}{T_1}={\eta }_C}$$

特点

• 优点：理论效率等于卡诺效率（效率最高）；可使用外燃，燃料适应性广；运转平稳，噪音小
• 缺点：功率密度低；需要回热器，结构复杂；响应速度慢
• 应用：太阳能热发电、潜艇动力、微型热电联产

各循环效率对比

循环类型	效率公式	主要参数	理论效率特点
卡诺循环	${\eta }_C=1-{\displaystyle \frac{T_2}{T_1}}$	温度 $T_1$,$T_2$	效率最高，只与温度有关
奥托循环	${\eta }_{\text{Otto}}=1-{\displaystyle \frac{1}{r^{\gamma -1}}}$	压缩比 $r$	压缩比越大，效率越高
迪赛尔循环	${\eta }_{\text{Diesel}}=1-{\displaystyle \frac{1}{r^{\gamma -1}}}\cdot {\displaystyle \frac{{\rho }^{\gamma }-1}{\gamma (\rho -1)}}$	压缩比 $r$，截止比 $\rho$	压缩比大，效率高；截止比增加，效率降低
斯特林循环	${\eta }_{\text{Stirling}}=1-{\displaystyle \frac{T_2}{T_1}}$	温度 $T_1$,$T_2$	理论上等于卡诺效率

各循环特点对比

不可逆因素对实际热机效率的影响

实际热机的效率总是低于理论效率，主要原因是各种 不可逆因素：

1. 摩擦损失：活塞与气缸壁之间、轴承等处的摩擦会消耗部分功
2. 有限温差传热：实际传热需要温差，导致不可逆损失
3. 不完全燃烧：燃料不能完全燃烧，释放的热量少于理论值
4. 散热损失：部分热量通过气缸壁散失到环境中
5. 泵气损失：进气和排气过程中消耗的功
6. 节流损失：气体通过阀门时的不可逆膨胀

现实案例

热机做功发电——地热资源

地热发电 是利用地球内部的热能来驱动热机发电的技术．地热能是一种可再生能源，具有稳定、可靠、清洁的特点．

基本原理

地热发电的核心思想是：将地下的热能转化为机械能，再转化为电能．根据地热资源的温度不同，主要有三种发电方式：

1. 干蒸汽发电（高温地热，>235°C）

地下蒸汽直接引入汽轮机做功，这是最简单的地热发电方式．

1
2
3

高温蒸汽 → 汽轮机 → 发电机 → 电力
         ↓
      冷凝器 → 冷却水

2. 闪蒸发电（中高温地热，150~235°C）

高压热水在低压容器中突然蒸发（闪蒸），产生蒸汽驱动汽轮机．

3. 双循环发电（中低温地热，<150°C）

使用低沸点工质（如异丁烷、异戊烷），通过换热器从地热流体中吸收热量，工质蒸发后驱动汽轮机．

热力学分析

地热发电可以简化为一个热机循环：

• 高温热源：地热流体（温度 $T_1$）
• 低温热源：环境（温度 $T_2\approx 300\text{K}$）

理论最大效率（卡诺效率）：

$${\eta }_{\text{max}}=1-\frac{T_2}{T_1}$$

例如，对于 200°C（473 K）的地热资源：

$${\eta }_{\text{max}}=1-\frac{300}{473}\approx 0.366=36.6\mathrm{\%}$$

实际地热发电效率通常在 10%~20% 之间，主要受以下因素限制：

• 地热流体温度有限
• 换热过程中的不可逆损失
• 工质的热力学性质
• 环境温度变化

核电站

核电站 是利用核裂变反应释放的热能来发电的设施．核电站的核心是核反应堆，它相当于传统火电站的 "锅炉"，但使用的燃料是铀 - 235 或钚 - 239 等核燃料．

核裂变与热能释放

核裂变是重原子核（如铀 - 235）吸收中子后分裂为两个较轻原子核的过程，同时释放大量能量和 2~3 个中子：

$${}^{235}\text{U}+n\to \text{裂变产物}+2\sim 3n+\text{能量}$$

每次裂变释放约 200 MeV 的能量，这些能量主要转化为裂变产物的动能（即热能）．

循环过程——沸水堆核电站

沸水堆（BWR, Boiling Water Reactor） 是一种直接循环的核电站，冷却剂在反应堆中直接沸腾产生蒸汽，然后驱动汽轮机发电．

工作流程：

1. 反应堆加热：冷却水在反应堆中被核裂变加热，直接沸腾产生蒸汽（约 285°C，7 MPa）
2. 汽轮机做功：高温高压蒸汽进入汽轮机，推动叶片旋转，对外做功
3. 冷凝：做功后的乏蒸汽在冷凝器中被冷却水冷凝成水
4. 给水：冷凝水通过给水泵重新送回反应堆

1
2
3

反应堆 → 汽轮机 → 发电机 → 电力
   ↑        ↓
   └──给水泵──冷凝器──┘

热力学分析：

• 高温热源：核反应堆（冷却剂温度约 285°C = 558 K）
• 低温热源：环境（冷却水温度约 25°C = 298 K）

理论最大效率：

$${\eta }_{\text{max}}=1-\frac{T_2}{T_1}=1-\frac{298}{558}\approx 0.466=46.6\mathrm{\%}$$

实际效率约为 30%~35%．

循环过程——压水堆核电站

压水堆（PWR, Pressurized Water Reactor） 是世界上应用最广泛的核电站类型，采用间接循环设计．

工作流程：

一回路（放射性）：

1. 高压水（约 155 bar）在反应堆中被加热到约 320°C（不沸腾）
2. 高温高压水进入蒸汽发生器，将热量传递给二回路
3. 冷却后的水通过主泵送回反应堆

二回路（非放射性）：

1. 二回路水在蒸汽发生器中吸收热量，产生蒸汽（约 280°C，7 MPa）
2. 蒸汽驱动汽轮机做功
3. 乏蒸汽冷凝后送回蒸汽发生器

1
2
3
4
5

一回路：反应堆 → 蒸汽发生器 → 主泵 → 反应堆
                    ↓
二回路：蒸汽发生器 → 汽轮机 → 发电机 → 电力
           ↑          ↓
           └──给水泵──冷凝器──┘

热力学分析：

压水堆的热力学效率与沸水堆类似，理论最大效率约为 45%~50%，实际效率约为 33%~37%．

学习衔接

• 建议先读：热力学第一定律对理想气体的应用（等温、绝热、等体、等压过程的分析）
• 相关背景：气体的热容 内能和焓（热容、内能、焓的概念）
• 读完本页后可以继续阅读：第四章 热力学第二定律（卡诺定理的严格证明、熵的概念、热力学第二定律的表述）

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