广义相对论基础

本章目标：从「等效原理」出发，建立广义相对论的最小数学工具箱（张量、度规、协变导数、曲率），给出爱因斯坦场方程的常见推导动机与弱场极限，并以史瓦西（Schwarzschild）时空为主线串起经典检验（引力红移、光线偏折、近日点进动、夏皮罗（Shapiro）延迟）与典型考题．

为方便计算，本文会在不同小节切换单位：

几何单位： $c = G = 1$ c=G=1（常用于黑洞/测地线推导）
SI 单位：保留 $c, G$ c,G（适合数值估算与实验量级）

符号约定（请先看）

- 指标：希腊字母 $\mu,\nu,\dots=0,1,2,3$，其中 $x^0=ct$．  
- 度规号：本文默认 **$(-,+,+,+)$**（时间分量为负）．  
- 爱因斯坦求和约定：重复上下指标自动求和．  
- 4-速度：$u^\mu=\dfrac{dx^\mu}{d\tau}$，其中 $\tau$ 为固有时．

0. 从「引力是什么」到「时空几何」

牛顿引力把引力看作一种作用于物体的力：

F = m g, \nabla \cdot g = - 4 π G ρ .

F=mg,qquad nabla*g=-4pi Grho.

然而两个关键事实迫使我们升级理论：

惯性质量 = 引力质量（实验精度极高）
光也会被引力影响（偏折、延迟、红移），而光「没有静止质量」

广义相对论的核心观点是：

补充说明

引力不是一种「额外的力」，而是 时空几何（度规）的体现；自由落体沿着时空中的测地线 运动．

1. 等效原理：广义相对论的出发点

1.1 弱等效原理（WEP）

所有自由落体在同一重力场中具有相同的加速度，与其内部组成无关．

这等价于「惯性质量 $m_{i}$ m_i 与引力质量 $m_{g}$ m_g 相等」，从而

m_{i} a = m_{g} g \Rightarrow a = g .

m_i a=m_gg Rightarrow a=g.

1.2 爱因斯坦等效原理（EEP）

在任意一点附近，总能选择一个局部惯性系，使得该点附近的物理定律与狭义相对论相同．

直观表述：

封闭电梯里做实验：无法区分「处于均匀重力场静止」与「在无重力的空间做匀加速运动」．

1.3 用等效原理推导引力红移（最经典的 1 页推导）

考虑一部在深空中以加速度 $a$ a 匀加速上升的电梯．电梯底部发出频率 $ν_{emit}$ nu_emit 的光子向上，顶部接收．

顶部在光子飞行时间 $Δ t \approx h / c$ Delta t~ h/c 内获得速度增量 $Δ v \approx a Δ t = a h / c$ Delta v~ aDelta t = ah/c．

对顶部而言，接收到的光发生相对论多普勒效应（弱速）：

\frac{ν_{rec}}{ν_{emit}} \approx 1 - \frac{Δ v}{c} = 1 - \frac{a h}{c^{2}} .

nu_recnu_emit~ 1-Delta vc=1-ahc^2.

由等效原理，把匀加速与匀重力 $g = a$ g=a 等价，得到引力场中「向上爬升」会红移：

\frac{Δ ν}{ν} \approx - \frac{g h}{c^{2}} (g h ≪ c^{2})

Deltanu~-ghc^2 qquad (ghll c^2)

同理可得时间膨胀：上方的钟走得更快．

2. 最小数学工具箱：度规、张量与协变导数

2.1 间隔与度规（metric）

狭义相对论中闵可夫斯基（Minkowski）间隔：

d s^{2} = η_{μ ν} d x^{μ} d x^{ν} = - c^{2} d t^{2} + d x^{2} + d y^{2} + d z^{2} .

ds^2=eta_munudx^mu dx^nu=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2.

广义相对论把 $η_{μ ν}$ eta_munu 推广为随位置变化的 $g_{μ ν} (x)$ g_munu(x)：

d s^{2} = g_{μ ν} (x) d x^{μ} d x^{ν}

ds^2=g_munu(x) ,dx^mu dx^nu

物理意义：度规决定「距离/时间」的测量方式，因此也决定自由粒子的运动．

2.2 固有时与 4 - 速度

对时类轨迹（可作为粒子世界线），定义固有时：

d τ = \frac{1}{c} \sqrt{- d s^{2}} .

dtau=1c-ds^2.

因此

u^{μ} = \frac{d x^{μ}}{d τ}, u_{μ} u^{μ} = - c^{2} .

u^mu=dx^dtau,qquad u_mu u^mu=-c^2.

2.3 指标升降

v_{μ} = g_{μ ν} v^{ν}, v^{μ} = g^{μ ν} v_{ν},

v_mu=g_munuv^nu,qquad v^mu=g^munuv_nu,

其中 $g^{μ ν}$ g^munu 是 $g_{μ ν}$ g_munu 的矩阵逆： $g^{μ α} g_{α ν} = δ_{ν}^{μ}$ g^mualphag_alphanu=delta^mu_ nu．

2.4 为什么需要协变导数？

在曲面/曲时空中，普通偏导 $\partial_{μ}$ d_mu 作用在张量上不再保持「张量变换律」．需要引入带「连接」的导数：

\nabla_{μ} v^{ν} = \partial_{μ} v^{ν} + Γ_{μ λ}^{ν} v^{λ} .

nabla_mu v^nu = d_mu v^nu + Gamma^nu_ mulambdav^lambda.

其中 $Γ_{μ λ}^{ν}$ Gamma^nu_ mulambda 为克里斯托费尔（Christoffel）符号（列维 - 奇维塔（Levi-Civita）连接）．

2.5 克里斯托费尔符号的公式

在无挠、度规相容（ $\nabla_{α} g_{μ ν} = 0$ nabla_alpha g_munu=0）的假设下：

Γ_{μ ν}^{ρ} = \frac{1}{2} g^{ρ σ} (\partial_{μ} g_{ν σ} + \partial_{ν} g_{μ σ} - \partial_{σ} g_{μ ν})

Gamma^rho_ munu=frac12 g^rhosigmaleft(d_mu g_nusigma+d_nu g_musigma-d_sigma g_munuright)

小提醒：克里斯托费尔不是张量

它依赖坐标系选择（可以在某点选取局部惯性系使其为 0），但它组合成的曲率张量是坐标不变量．

3. 测地线：自由落体的方程

3.1 从「极值固有时」推导测地线方程

自由粒子在两事件间走「固有时最大」（或作用量极值）的路径：

S = - m c \int d τ = - m c \int \sqrt{- g_{μ ν} {\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{ν}} d λ,

S=-mcint dtau=-mcint -g_munudot x^mudot x^nu ,dlambda,

其中 ${\dot{x}}^{μ} = \frac{d x^{μ}}{d λ}$ dot x^mu=dx^dlambda， $λ$ lambda 是参数．

对该拉格朗日量做变分（略去常数并选取仿射参数），可得欧拉 - 拉格朗日方程最终化为：

\frac{d^{2} x^{ρ}}{d τ^{2}} + Γ_{μ ν}^{ρ} \frac{d x^{μ}}{d τ} \frac{d x^{ν}}{d τ} = 0

d^2 x^dtau^2+Gamma^rho_ munudx^dtaudx^dtau=0

这就是测地线方程：自由落体「没有外力」，但坐标加速度可不为零．

3.2 牛顿极限：测地线如何还原 $a = g$ a=g

在弱场、低速下，度规可写成

g_{00} \approx - (1 + 2 Φ / c^{2}), | Φ | ≪ c^{2} .

g_00~ -(1+2Phi/c^2),qquad |Phi|ll c^2.

测地线的空间分量（只保留一阶小量）给出

\frac{d^{2} x^{i}}{d t^{2}} \approx - \partial_{i} Φ,

d^2 x^idt^2~-d_iPhi,

即恢复牛顿引力势 $Φ$ Phi 的运动方程．

4. 曲率：引力的「强度」如何编码

4.1 曲率来自「绕一圈不回原位」

在平直空间，把向量平移绕一圈会回到原向量；在曲空间则会发生偏转．数学上表现为协变导数不对易：

(\nabla_{μ} \nabla_{ν} - \nabla_{ν} \nabla_{μ}) v^{ρ} = R_{σ μ ν}^{ρ} v^{σ} .

left(nabla_munabla_nu-nabla_nunabla_muright)v^rho =R^rho_ sigmamunuv^sigma.

这里 $R_{σ μ ν}^{ρ}$ R^rho_ sigmamunu 是黎曼（Riemann）曲率张量．

4.2 黎曼、里奇（Ricci）与标量曲率

从克里斯托费尔可写出：

R_{σ μ ν}^{ρ} = \partial_{μ} Γ_{ν σ}^{ρ} - \partial_{ν} Γ_{μ σ}^{ρ} + Γ_{μ λ}^{ρ} Γ_{ν σ}^{λ} - Γ_{ν λ}^{ρ} Γ_{μ σ}^{λ} .

R^rho_ sigmamunu=d_muGamma^rho_ nusigma-d_nuGamma^rho_ musigma +Gamma^rho_ mulambdaGamma^lambda_ nusigma-Gamma^rho_ nulambdaGamma^lambda_ musigma.

收缩得到里奇张量与标量曲率：

R_{μ ν} = R_{μ ρ ν}^{ρ}, R = g^{μ ν} R_{μ ν} .

R_munu=R^rho_ murhonu,qquad R=g^munuR_munu.

4.3 爱因斯坦张量与比安基（Bianchi）恒等式

定义

G_{μ ν} = R_{μ ν} - \frac{1}{2} g_{μ ν} R .

G_munu=R_munu-frac12 g_munuR.

它满足重要恒等式（几何上「守恒」）：

\nabla_{μ} G^{μ ν} = 0

nabla_mu G^munu=0

这将迫使右边的物质源也满足能动量守恒： $\nabla_{μ} T^{μ ν} = 0$ nabla_mu T^munu=0．

5. 爱因斯坦场方程：几何 = 物质

5.1 形式与常数

广义相对论最核心的方程：

G_{μ ν} = \frac{8 π G}{c^{4}} T_{μ ν}

G_munu=8pi Gc^4T_munu

其中 $T_{μ ν}$ T_munu 为能动量张量，描述能量密度、动量流、压强/剪应力等．

5.2 为什么是 $G_{μ ν}$ G_munu？（最常用的「推导动机」）

我们希望左边是：

由度规及其一、二阶导数组成（对应「局域」引力）
对称二阶张量（与 $T_{μ ν}$ T_munu 匹配）
满足协变守恒 $\nabla_{μ} (左边) = 0$ nabla_mu(左边)=0
弱场极限还原泊松方程 $\nabla^{2} Φ = 4 π G ρ$ nabla^2Phi=4pi Grho

在这些条件下，最自然且最简单的选择就是 $G_{μ ν}$ G_munu．

更系统的推导：希尔伯特 - 爱因斯坦（Hilbert-Einstein）（Hilbert–Einstein）作用量

取总作用量

$$  
S=\dfrac{c^3}{16\pi G}\int R\sqrt{-g}\,d^4x+S_{\text{matter}}.  
$$

对 $g_{\mu\nu}$ 变分可得 $G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$．

（完整变分细节较长，竞赛/入门通常只要求理解「为何是 $R$、为何要 $\sqrt{-g}$、为何能得到守恒」．）

5.3 常见物质：理想流体的 $T_{μ ν}$ T_munu

宇宙学与恒星结构常用「理想流体」：

T^{μ ν} = (ρ c^{2} + p) u^{μ} u^{ν} + p g^{μ ν},

T^munu=(rho c^2+p)u^mu u^nu + p ,g^munu,

其中 $ρ$ rho 为质量密度（或能量密度除以 $c^{2}$ c^2）， $p$ p 为各向同性压强．

6. 弱场近似与线性化引力（选学但很实用）

设

g_{μ ν} = η_{μ ν} + h_{μ ν}, | h_{μ ν} | ≪ 1.

g_munu=eta_munu+h_munu,qquad |h_munu|ll 1.

在线性近似与合适规范（如洛伦兹（Lorenz）规范）下，场方程会变成「波动方程」形式，真空中存在引力波解．

6.1 线性化方程的标准形（了解即可）

定义迹反转（trace-reversed）扰动

{\bar{h}}_{μ ν} \equiv h_{μ ν} - \frac{1}{2} η_{μ ν} h, h \equiv η^{α β} h_{α β} .

bar h_munuequiv h_munu-frac12eta_munuh,qquad hequiveta^alphabetah_alphabeta.

在洛伦兹规范

\partial_{μ} {\bar{h}}^{μ ν} = 0

d_mu bar h^munu=0

下，Einstein 方程线性化为

◻ {\bar{h}}_{μ ν} = - \frac{16 π G}{c^{4}} T_{μ ν} (◻ \equiv - \frac{1}{c^{2}} \partial_{t}^{2} + \nabla^{2})

Boxbar h_munu=-16pi Gc^4T_munu qquad (Boxequiv-1c^2d_t^2+nabla^2)

真空区 $T_{μ ν} = 0$ T_munu=0 给出波动方程： $◻ {\bar{h}}_{μ ν} = 0$ Boxbar h_munu=0．

6.2 引力波最小图景：TT 规范与应变

对沿 $+ z$ +z 传播的平面引力波，可在横向 - 无迹（TT）规范下写成

d s^{2} \approx - c^{2} d t^{2} + (1 + h_{+}) d x^{2} + (1 - h_{+}) d y^{2} + 2 h_{\times} d x d y + d z^{2},

ds^2~ -c^2dt^2 + left(1+h_+right)dx^2+left(1-h_+right)dy^2+2h_* dxdy+dz^2,

其中 $h_{+}, h_{\times}$ h_+,h_* 为两种偏振．它们对应干涉仪（LIGO 类）测到的应变 $h \sim Δ L / L$ h~Delta L/L．

对于入门最关键的是：在静态弱场、低速下

g_{00} \approx - (1 + 2 Φ / c^{2}), \nabla^{2} Φ = 4 π G ρ .

g_00~ -(1+2Phi/c^2),qquad nabla^2Phi=4pi Grho.

因此广义相对论与牛顿引力在日常尺度高度一致，只在精密实验/强引力处显著．

7. 史瓦西时空：最重要的精确解

7.1 度规（真空、球对称、静态）

对质量 $M$ M 的球对称真空外部，Einstein 方程给出史瓦西解：

d s^{2} = - (1 - \frac{2 G M}{r c^{2}}) c^{2} d t^{2} + {(1 - \frac{2 G M}{r c^{2}})}^{- 1} d r^{2} + r^{2} (d θ^{2} + \sin^{2} θ d ϕ^{2})

ds^2=-left(1-2GMrc^2right)c^2dt^2 +left(1-2GMrc^2right)^-1dr^2+r^2(dtheta^2+sin^2theta ,dphi^2)

定义史瓦西半径

r_{s} = \frac{2 G M}{c^{2}} .

r_s=2GMc^2.

当 $r = r_{s}$ r=r_s 时， $g_{t t}$ g_tt 变号、 $g_{r r}$ g_rr 发散（在该坐标系下）．这对应事件视界；更好的坐标（爱丁顿 - 芬克尔斯泰因（Eddington-Finkelstein）（Eddington–Finkelstein）、克鲁斯卡尔（Kruskal））能消除坐标奇点．

7.2 静止观测者的引力时间膨胀

对固定 $r, θ, ϕ$ r,theta,phi 的静止钟， $d r = d θ = d ϕ = 0$ dr=dtheta=dphi=0，有

d τ = \sqrt{1 - \frac{r_{s}}{r}} d t .

dtau=1-r_sr ,dt.

因此远处观察者看到近处的钟变慢．

史瓦西引力时间膨胀因子

7.3 能量与角动量守恒（测地线的第一积分）

史瓦西度规对 $t$ t、 $ϕ$ phi 不显含，导致守恒量：

E \equiv (1 - \frac{r_{s}}{r}) c^{2} \frac{d t}{d τ}, L \equiv r^{2} \frac{d ϕ}{d τ} .

Eequivleft(1-r_srright)c^2dtdtau,qquad Lequiv r^2ddtau.

在赤道面 $θ = π / 2$ theta=pi/2 可将测地线化为「一维有效势」问题．

7.4 有效势（时类测地线）

在几何单位 $G = c = 1$ G=c=1 下， $r_{s} = 2 M$ r_s=2M，并可写成

{(\frac{d r}{d τ})}^{2} + V_{eff} (r) = E^{2},

left(drdtauright)^2+V_eff(r)=E^2,

其中（典型形式）

V_{eff} (r) = (1 - \frac{2 M}{r}) (1 + \frac{L^{2}}{r^{2}}) .

V_eff(r)=left(1-2Mrright)left(1+L^2r^2right).

史瓦西有效势示意

7.5 光子球与 ISCO（竞赛很常考的两个半径）

在几何单位 $G = c = 1$ G=c=1 的史瓦西时空：

光子球（photon sphere）：不稳定的圆形光子轨道
$r_{ph} = 3 M = \frac{3}{2} r_{s}$ r_ph=3M=32r_s
最内稳定圆轨道（ISCO，时类）：稳定圆轨道存在的内边界
$r_{ISCO} = 6 M = 3 r_{s}$ r_ISCO=6M=3r_s

直观理解：越靠近黑洞，时空曲率越强，有效势的「势阱」结构改变，稳定圆轨道会消失．

8. 经典检验与常用结果（入门必会）

8.1 引力红移（精确形式：史瓦西）

两静止观测者分别在 $r_{1}$ r_1（发射）与 $r_{2}$ r_2（接收，通常更远）处：

\frac{ν_{2}}{ν_{1}} = \sqrt{\frac{1 - r_{s} / r_{1}}{1 - r_{s} / r_{2}}}

nu_2nu_1=1-r_s/r_11-r_s/r_2

当 $r_{2} \to \infty$ r_2->inf：

\frac{ν_{\infty}}{ν_{r}} = \sqrt{1 - \frac{r_{s}}{r}} .

nu_infnu_r=1-r_sr.

8.2 光线偏折（弱场近似）

对碰撞参数（impact parameter） $b$ b，弱场一阶：

α \approx \frac{4 G M}{b c^{2}}

alpha~4GMbc^2

弱场光线偏折角

8.3 近日点进动（弱场、近开普勒轨道）

椭圆轨道半长轴 $a$ a、偏心率 $e$ e，每一周额外进动角

Δ ϕ \approx \frac{6 π G M}{a (1 - e^{2}) c^{2}}

Deltaphi~6pi GMa(1-e^2)c^2

8.4 夏皮罗时间延迟（选学）

雷达信号掠过质量 $M$ M 的天体会产生额外往返时间延迟．对「从 $r_{1}$ r_1 发出、掠过最近距离 $b$ b、到 $r_{2}$ r_2 接收」的几何，弱场近似常见写法为

Δ t_{Shapiro} \approx \frac{2 G M}{c^{3}} \ln (\frac{4 r_{1} r_{2}}{b^{2}})

Delta t_Shapiro~2GMc^3lnleft(4r_1 r_2b^2right)

（不同教材对几何定义略有差异，但共同点是：它随 $G M / c^{3}$ GM/c^3 线性增长，并含对数项．）

8.5 宇宙学一瞥：弗里德曼 - 罗伯逊 - 沃克（Friedmann–Robertson–Walker，FRW）度规与弗里德曼（Friedmann）方程（选读）

在「大尺度均匀各向同性」的宇宙假设下，度规可写为 FRW 形式：

d s^{2} = - c^{2} d t^{2} + a (t)^{2} [\frac{d r^{2}}{1 - k r^{2}} + r^{2} (d θ^{2} + \sin^{2} θ d ϕ^{2})],

ds^2=-c^2dt^2+a(t)^2left[dr^21-kr^2+r^2(dtheta^2+sin^2theta ,dphi^2)right],

其中 $a (t)$ a(t) 为尺度因子， $k = 0, \pm 1$ k=0,+/-1 表示空间曲率符号．

代入 Einstein 方程并取物质为理想流体，可得弗里德曼方程（最常用版本）：

{(\frac{\dot{a}}{a})}^{2} = \frac{8 π G}{3} ρ - \frac{k c^{2}}{a^{2}} + \frac{Λ c^{2}}{3}

left(dot aaright)^2=8pi G3rho-kc^2a^2+Lambda c^23

以及加速度方程

\frac{\ddot{a}}{a} = - \frac{4 π G}{3} (ρ + \frac{3 p}{c^{2}}) + \frac{Λ c^{2}}{3}

ddot aa=-4pi G3left(rho+3pc^2right)+Lambda c^23

并由 $\nabla_{μ} T^{μ ν} = 0$ nabla_mu T^munu=0 得到连续性方程

\dot{ρ} + 3 \frac{\dot{a}}{a} (ρ + \frac{p}{c^{2}}) = 0.

dotrho+3dot aaleft(rho+pc^2right)=0.

9. 例题（含全过程推导与计算）

例题 1：用弱场近似估算地球表面与高空的引力红移

已知地球半径 $R \approx 6.37 \times 10^{6} m$ R~ 6.37* 10^6 ,m，质量 $M \approx 5.97 \times 10^{24} kg$ M~ 5.97* 10^24 ,kg．在高度 $h ≪ R$ hll R 处的钟与地面钟相比，频率相对变化 $Δ ν / ν$ Deltanu/nu 约为多少？

解：

弱场中

\frac{Δ ν}{ν} \approx - \frac{Δ Φ}{c^{2}} .

Deltanu~-Deltac^2.

地球引力势（取无穷远为 0）为 $Φ (r) = - G M / r$ Phi(r)=-GM/r，因此

Δ Φ = Φ (R + h) - Φ (R) = - \frac{G M}{R + h} + \frac{G M}{R} .

DeltaPhi=Phi(R+h)-Phi(R)=-GMR+h+GMR.

当 $h ≪ R$ hll R，用展开

\frac{1}{R + h} \approx \frac{1}{R} (1 - \frac{h}{R}),

1R+h~1Rleft(1-hRright),

得

Δ Φ \approx - \frac{G M}{R} (1 - \frac{h}{R}) + \frac{G M}{R} = \frac{G M}{R^{2}} h = g h .

DeltaPhi~ -GMRleft(1-hRright)+GMR=GMR^2h=gh.

所以

\frac{Δ ν}{ν} \approx - \frac{g h}{c^{2}}

Deltanu~-ghc^2

若取 $h = 1000 m$ h=1000 ,m、 $g \approx 9.8 {m/s}^{2}$ g~ 9.8 ,m/s^2，则

| \frac{Δ ν}{ν} | \approx \frac{9.8 \times 1000}{(3.0 \times 10^{8})^{2}} \sim 1.1 \times 10^{- 13} .

left|Deltanuright|~9.8* 1000(3.0* 10^8)^2~ 1.1* 10^-13.

结论： 千米量级高度差带来 $10^{- 13}$ 10^-13 量级的频移（原子钟可测）．

例题 2：史瓦西时空中的静止钟差（精确公式）

在史瓦西外部时空中，两只静止钟分别位于 $r_{1}$ r_1 与 $r_{2}$ r_2（ $r_{2} > r_{1} > r_{s}$ r_2>r_1>r_s）．若远处坐标时间过了 $Δ t$ Delta t，两钟的固有时分别为多少？两者比值？

解：

静止钟有 $d r = d θ = d ϕ = 0$ dr=dtheta=dphi=0，于是

d τ = \sqrt{1 - \frac{r_{s}}{r}} d t .

dtau=1-r_sr ,dt.

积分得到

Δ τ (r) = \sqrt{1 - \frac{r_{s}}{r}} Δ t .

Deltatau(r)=1-r_sr ,Delta t.

所以

\frac{Δ τ_{1}}{Δ τ_{2}} = \sqrt{\frac{1 - r_{s} / r_{1}}{1 - r_{s} / r_{2}}}

Deltatau_1Deltatau_2=1-r_s/r_11-r_s/r_2

与引力红移公式一致（频率与时间尺度互为倒数）．

例题 3：弱场光线偏折（给出标准推导骨架）

证明在弱场近似下，掠过质量 $M$ M 的光线偏折角为 $α \approx \frac{4 G M}{b c^{2}}$ alpha~4GMbc^2．

解题思路骨架：

弱场近似度规（各向同性形式）可写为

d s^{2} \approx - (1 + 2 Φ / c^{2}) c^{2} d t^{2} + (1 - 2 Φ / c^{2}) (d x^{2} + d y^{2} + d z^{2}), Φ = - \frac{G M}{r} .

ds^2~-(1+2Phi/c^2)c^2dt^2+(1-2Phi/c^2)(dx^2+dy^2+dz^2),quad Phi=-GMr.

对光线 $d s^{2} = 0$ ds^2=0，可得到等效「折射率」

n (r) \approx 1 - \frac{2 Φ}{c^{2}} = 1 + \frac{2 G M}{r c^{2}} .

n(r)~ 1-2c^2=1+2GMrc^2.

用几何光学近似（费马原理）

δ \int n d l = 0

deltaint n ,dl=0

把光线当作在介质中传播的射线． 4. 在小偏折近似中，偏折角约为

α \approx \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{\partial}{\partial b} (\frac{2 G M}{c^{2} \sqrt{x^{2} + b^{2}}}) d x = \frac{4 G M}{b c^{2}} .

alpha~int_-inf^+infdd bleft(2GMc^2x^2+b^2right)dx =4GMbc^2.

例题 4：近日点进动公式（从有效势到近似解）

给出椭圆轨道的相对论修正导致的每周进动

Δ ϕ \approx \frac{6 π G M}{a (1 - e^{2}) c^{2}} .

Deltaphi~6pi GMa(1-e^2)c^2.

推导要点：

对史瓦西测地线，可得到轨道方程的近似形式（令 $u = 1 / r$ u=1/r）

\frac{d^{2} u}{d ϕ^{2}} + u = \frac{G M}{L^{2}} + 3 \frac{G M}{c^{2}} u^{2} .

d^2udphi^2+u=GML^2+3GMc^2u^2.

把 $3 \frac{G M}{c^{2}} u^{2}$ 3GM/c^2u^2 视为小扰动，设开普勒解

u_{0} = \frac{G M}{L^{2}} (1 + e \cos ϕ) .

u_0=GML^2(1+ecosphi).

扰动会把角频率从 1 改成 $1 - δ$ 1-delta，使得一周后相位多走

Δ ϕ \approx 2 π δ = \frac{6 π G M}{a (1 - e^{2}) c^{2}} .

Deltaphi~ 2pidelta=6pi GMa(1-e^2)c^2.

（竞赛层面通常要求记结论并能解释「为何是小扰动导致的频率偏移」．）

例题 5：求史瓦西的光子球半径与 ISCO 半径

在几何单位 $G = c = 1$ G=c=1 下，证明史瓦西时空中光子的圆轨道半径为 $r = 3 M$ r=3M，时类最内稳定圆轨道半径为 $r = 6 M$ r=6M．

解（思路 + 关键步骤）：

对赤道面运动，利用守恒量可把径向运动写成

{(\frac{d r}{d λ})}^{2} + V_{eff} (r) = E^{2} .

left(drdlambdaright)^2+V_eff(r)=E^2.

圆轨道条件： $r = 常数$ r=常数意味着

\frac{d r}{d λ} = 0 \Rightarrow V_{eff} (r) = E^{2},

drdlambda=0quadRightarrowquad V_eff(r)=E^2,

且要「保持在圆轨道上」还需

\frac{d V_{eff}}{d r} = 0.

dV_effdr=0.

光子（零质量） 的有效势（形式上）为

V_{eff}^{(null)} (r) = (1 - \frac{2 M}{r}) \frac{L^{2}}{r^{2}} .

V_eff^(null)(r)=left(1-2Mrright)L^2r^2.

求导并令 $d V / d r = 0$ dV/dr=0 得

r = 3 M .

r=3M.

时类（有质量） 圆轨道的稳定性由二阶导数决定：稳定要求 $\frac{d^{2} V_{eff}}{d r^{2}} > 0$ d^2V_effdr^2>0．对史瓦西，稳定圆轨道存在于 $r > 6 M$ r>6M；临界点为

r_{ISCO} = 6 M .

r_ISCO=6M.

例题 6：径向自由落体到达视界需要多少固有时？坐标时间会怎样？

考虑从 $r = r_{0}$ r=r_0（静止释放）径向下落到 $r = r_{s}$ r=r_s．定性说明：

自由落体者的固有时 $τ$ tau 是否有限？
远处静止观察者的坐标时间 $t$ t 是否有限？

解（定性 + 关键结论）：

对下落者， $τ$ tau 是沿世界线积分得到的真实物理时间．
在史瓦西坐标下， $t$ t 在靠近 $r_{s}$ r_s 时会出现对数发散（这是坐标效应）．
结论：
固有时有限：自由落体者在有限 $τ$ tau 内穿过视界．
坐标时间发散：远处观察者用 $t$ t 描述会看到物体「永远接近但不穿过」视界．

（若需要具体积分表达式，可在后续补充「径向测地线第一积分」并做积分计算．）

例题 7：掠日光线偏折角的数量级估算

取 $b \approx R_{⊙} \approx 7.0 \times 10^{8} m$ b~ R_odot~ 7.0*10^8 ,m， $M \approx M_{⊙} \approx 2.0 \times 10^{30} kg$ M~ M_odot~2.0*10^30 ,kg．

解：

α \approx \frac{4 G M}{b c^{2}} .

alpha~4GMbc^2.

代入 $G \approx 6.67 \times 10^{- 11}$ G~6.67*10^-11、 $c \approx 3.0 \times 10^{8}$ c~3.0*10^8，得

α \sim \frac{4 \times 6.67 \times 10^{- 11} \times 2.0 \times 10^{30}}{7.0 \times 10^{8} \times (3.0 \times 10^{8})^{2}} \sim 8.5 \times 10^{- 6} rad .

alpha~4* 6.67*10^-11*2.0*10^307.0*10^8* (3.0*10^8)^2 ~ 8.5*10^-6 ,rad.

换算为角秒（ $1 rad \approx 206265 arcsec$ 1 ,rad~ 206265 ,arcsec）：

α \sim 1.75 arcsec .

alpha~ 1.75 ,arcsec.

这就是经典的「掠日偏折约 1.75 角秒」．

例题 8：水星近日点进动的数量级估算

已知水星轨道参数（可查表）：半长轴 $a \approx 5.79 \times 10^{10} m$ a~5.79*10^10 ,m，偏心率 $e \approx 0.206$ e~0.206，太阳质量 $M \approx M_{⊙}$ M~ M_odot．估算每周进动角．

解：

Δ ϕ \approx \frac{6 π G M}{a (1 - e^{2}) c^{2}} .

Deltaphi~6pi GMa(1-e^2)c^2.

代入数值可得每一周（每绕太阳一圈）约 $\sim 5 \times 10^{- 7} rad$ ~ 5*10^-7 ,rad 量级，对应约 $0.1 arcsec$ 0.1 ,arcsec 量级．累积到每世纪（约 415 圈）即得到著名的 $\sim 43 arcsec/century$ ~ 43 ,arcsec/century．

10. 习题（含提示/答案要点）

10.1 基础题

证明：在局部惯性系中，某点可令 $Γ_{μ ν}^{ρ} = 0$ Gamma^rho_ munu=0，但一般不能令 $\partial_{σ} g_{μ ν} = 0$ d_sigma g_munu=0 同时在邻域处处为 0．
设弱场度规 $g_{00} = - (1 + 2 Φ / c^{2})$ g_00=-(1+2Phi/c^2)，证明静止钟的频移满足 $Δ ν / ν \approx - Δ Φ / c^{2}$ Deltanu/nu~-DeltaPhi/c^2．
写出理想流体 $T^{μ ν}$ T^munu 并解释各项物理意义．

10.2 计算题（更贴近竞赛/考题）

黑洞视界尺度估算：太阳质量 $M_{⊙} \approx 2.0 \times 10^{30} kg$ M_odot~ 2.0* 10^30 ,kg，求 $r_{s}$ r_s 的数量级．
答案要点： $r_{s} = 2 G M / c^{2} \approx 3 km$ r_s=2GM/c^2~ 3 ,km．
引力时间膨胀：若某天体 $r_{s} = 10 km$ r_s=10 ,km，在 $r = 40 km$ r=40 ,km 静止的钟相对于无穷远的钟慢多少？
提示： $d τ / d t = \sqrt{1 - r_{s} / r}$ dtau/dt=1-r_s/r．
光偏折角数值：太阳半径 $R_{⊙} \approx 7.0 \times 10^{8} m$ R_odot~ 7.0* 10^8 ,m，质量 $M_{⊙}$ M_odot，估算掠日光线偏折角．
提示： $α \approx 4 G M / (b c^{2})$ alpha~ 4GM/(bc^2)，取 $b \approx R_{⊙}$ b~ R_odot．
光子球数值：对某黑洞 $r_{s} = 30 km$ r_s=30 ,km，求光子球半径 $r_{ph}$ r_ph 与 ISCO 半径 $r_{ISCO}$ r_ISCO．
答案要点： $r_{ph} = \frac{3}{2} r_{s}$ r_ph=32r_s， $r_{ISCO} = 3 r_{s}$ r_ISCO=3r_s．
引力波应变量级：若某引力波通过地球时的应变 $h \sim 10^{- 21}$ h~10^-21，LIGO 级别的臂长 $L \sim 4 km$ L~4 ,km，估算长度变化 $Δ L$ Delta L．
答案要点： $Δ L \sim h L \sim 4 \times 10^{- 18} m$ Delta L~ hL~ 4*10^-18 ,m．

11. 用 Python 复现/绘制示意图（可选）

本文插图由 Python 生成并保存在 docs/modern/images/：

schwarzschild_time_dilation_factor.png
schwarzschild_effective_potential.png
light_deflection_weak_field.png

示例代码（生成弱场光偏折图）

```pythonimport numpy as np import matplotlib.pyplot as plt

M = 1.0 b = np.linspace(4.0, 80.0, 800) alpha = 4 * M / b plt.plot(b, alpha) plt.xlabel(r" $b / M$ b/M") plt.ylabel(r" $α (rad)$ alpha ;(rad)") plt.title(r"弱场近似： $α \approx 4 M / b$ alpha ~ 4M/b") plt.grid(True, alpha=0.25) plt.show() ```

参考与延伸阅读

Misner, Thorne, Wheeler,Gravitation（体系最全，但很厚）
Schutz,A First Course in General Relativity（入门友好）
Carroll,Spacetime and Geometry（现代写法，推导清晰）

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广义相对论基础

0. 从「引力是什么」到「时空几何」

1. 等效原理：广义相对论的出发点

1.1 弱等效原理（WEP）

1.2 爱因斯坦等效原理（EEP）

1.3 用等效原理推导引力红移（最经典的 1 页推导）

2. 最小数学工具箱：度规、张量与协变导数

2.1 间隔与度规（metric）

2.2 固有时与 4 - 速度

2.3 指标升降

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2.5 克里斯托费尔 符号的公式

3. 测地线：自由落体的方程

3.1 从「极值固有时」推导测地线方程

3.2 牛顿极限：测地线如何还原 𝐚 =𝐠a=ga=g

4. 曲率：引力的「强度」如何编码

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4.2 黎曼、里奇（Ricci）与标量曲率

4.3 爱因斯坦张量与 比安基（Bianchi）恒等式

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5.1 形式与常数

5.2 为什么是 𝐺𝜇𝜈GμνG_munu？（最常用的「推导动机」）

5.3 常见物质：理想流体的 𝑇𝜇𝜈TμνT_munu

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6.1 线性化方程的标准形（了解即可）

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7. 史瓦西 时空：最重要的精确解

7.1 度规（真空、球对称、静态）

7.2 静止观测者的引力时间膨胀

7.3 能量与角动量守恒（测地线的第一积分）

7.4 有效势（时类测地线）

7.5 光子球与 ISCO（竞赛很常考的两个半径）

8. 经典检验与常用结果（入门必会）

8.1 引力红移（精确形式：史瓦西）

8.2 光线偏折（弱场近似）

8.3 近日点进动（弱场、近开普勒轨道）

8.4 夏皮罗 时间延迟（选学）

8.5 宇宙学一瞥：弗里德曼 - 罗伯逊 - 沃克（Friedmann–Robertson–Walker，FRW）度规与 弗里德曼（Friedmann）方程（选读）

9. 例题（含全过程推导与计算）

例题 1：用弱场近似估算地球表面与高空的引力红移

例题 2：史瓦西 时空中的静止钟差（精确公式）

例题 3：弱场光线偏折（给出标准推导骨架）

例题 4：近日点进动公式（从有效势到近似解）

例题 5：求 史瓦西 的光子球半径与 ISCO 半径

例题 6：径向自由落体到达视界需要多少固有时？坐标时间会怎样？

例题 7：掠日光线偏折角的数量级估算

例题 8：水星近日点进动的数量级估算

10. 习题（含提示/答案要点）

10.1 基础题

10.2 计算题（更贴近竞赛/考题）

11. 用 Python 复现/绘制示意图（可选）

参考与延伸阅读

评论

2.5 克里斯托费尔符号的公式

3.2 牛顿极限：测地线如何还原 $a = g$ a=g

4.3 爱因斯坦张量与比安基（Bianchi）恒等式

5.2 为什么是 $G_{μ ν}$ G_munu？（最常用的「推导动机」）

5.3 常见物质：理想流体的 $T_{μ ν}$ T_munu

7. 史瓦西时空：最重要的精确解

8.4 夏皮罗时间延迟（选学）

8.5 宇宙学一瞥：弗里德曼 - 罗伯逊 - 沃克（Friedmann–Robertson–Walker，FRW）度规与弗里德曼（Friedmann）方程（选读）

例题 2：史瓦西时空中的静止钟差（精确公式）

例题 5：求史瓦西的光子球半径与 ISCO 半径