广义相对论基础

广义相对论基础（General Relativity Basics）

本章目标：从“等效原理”出发，建立广义相对论的最小数学工具箱（张量、度规、协变导数、曲率），给出爱因斯坦场方程的常见推导动机与弱场极限，并以 Schwarzschild 时空为主线串起经典检验（引力红移、光线偏折、近日点进动、Shapiro 延迟）与典型考题。

为方便计算，本文会在不同小节切换单位：

• 几何单位：$c=G=1$（常用于黑洞/测地线推导）
• SI 单位：保留 $c,G$（适合数值估算与实验量级）

0. 从“引力是什么”到“时空几何”

牛顿引力把引力看作一种作用于物体的力：

$$\mathbf{F}=m\mathbf{g},\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{g}=-4\pi G\rho .$$

然而两个关键事实迫使我们升级理论：

1. 惯性质量 = 引力质量（实验精度极高）
2. 光也会被引力影响（偏折、延迟、红移），而光“没有静止质量”

广义相对论的核心观点是：

引力不是一种“额外的力”，而是时空几何（度规）的体现；自由落体沿着时空中的测地线运动。

1. 等效原理：广义相对论的出发点

1.1 弱等效原理（WEP）

所有自由落体在同一重力场中具有相同的加速度，与其内部组成无关。

这等价于“惯性质量 $m_i$ 与引力质量 $m_g$ 相等”，从而

$$m_i\mathbf{a}=m_g\mathbf{g}\Rightarrow \mathbf{a}=\mathbf{g}.$$

1.2 爱因斯坦等效原理（EEP）

在任意一点附近，总能选择一个局部惯性系，使得该点附近的物理定律与狭义相对论相同。

直观表述：

• 封闭电梯里做实验：无法区分“处于均匀重力场静止”与“在无重力的空间做匀加速运动”。

1.3 用等效原理推导引力红移（最经典的 1 页推导）

考虑一部在深空中以加速度 $a$ 匀加速上升的电梯。电梯底部发出频率 ${\nu }_{\text{emit}}$ 的光子向上，顶部接收。

顶部在光子飞行时间 $\mathrm{\Delta }t\approx h/c$ 内获得速度增量 $\mathrm{\Delta }v\approx a\mathrm{\Delta }t=ah/c$。

对顶部而言，接收到的光发生相对论多普勒效应（弱速）：

$$\frac{{\nu }_{\text{rec}}}{{\nu }_{\text{emit}}}\approx 1-\frac{\mathrm{\Delta }v}{c}=1-\frac{ah}{c^2}.$$

由等效原理，把匀加速与匀重力 $g=a$ 等价，得到引力场中“向上爬升”会红移：

$$\boxed{\frac{\mathrm{\Delta }\nu }{\nu }\approx -\frac{gh}{c^2}}(gh\ll c^2)$$

同理可得时间膨胀：上方的钟走得更快。

2. 最小数学工具箱：度规、张量与协变导数

2.1 间隔与度规（metric）

狭义相对论中 Minkowski 间隔：

$$d{s}^2={\eta }_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }=-c^{2}d{t}^2+d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2.$$

广义相对论把 ${\eta }_{\mu \nu }$ 推广为随位置变化的 $g_{\mu \nu }(x)$：

$$\boxed{d{s}^2=g_{\mu \nu }(x)d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }}$$

物理意义：度规决定“距离/时间”的测量方式，因此也决定自由粒子的运动。

2.2 固有时与 4-速度

对时类轨迹（可作为粒子世界线），定义固有时：

$$d\tau =\frac{1}{c}\sqrt{-d{s}^2}.$$

因此

$$u^{\mu }=\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau },u_{\mu }{u}^{\mu }=-c^2.$$

2.3 指标升降

$$v_{\mu }=g_{\mu \nu }{v}^{\nu },v^{\mu }=g^{\mu \nu }{v}_{\nu },$$

其中 $g^{\mu \nu }$ 是 $g_{\mu \nu }$ 的矩阵逆：$g^{\mu \alpha }{g}_{\alpha \nu }={\delta }_{\nu }^{\mu }$。

2.4 为什么需要协变导数？

在曲面/曲时空中，普通偏导 ${\partial }_{\mu }$ 作用在张量上不再保持“张量变换律”。需要引入带“连接”的导数：

$${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{v}^{\nu }={\partial }_{\mu }{v}^{\nu }+{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda }^{\nu }{v}^{\lambda }.$$

其中 ${\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda }^{\nu }$ 为 Christoffel 符号（Levi-Civita 连接）。

2.5 Christoffel 符号的公式

在无挠、度规相容（${\mathrm{\nabla }}_{\alpha }{g}_{\mu \nu }=0$）的假设下：

$$\boxed{{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho }=\frac{1}{2}{g}^{\rho \sigma }({\partial }_{\mu }{g}_{\nu \sigma }+{\partial }_{\nu }{g}_{\mu \sigma }-{\partial }_{\sigma }{g}_{\mu \nu })}$$

3. 测地线：自由落体的方程

3.1 从“极值固有时”推导测地线方程

自由粒子在两事件间走“固有时最大”（或作用量极值）的路径：

$$S=-mc\int d\tau =-mc\int \sqrt{-g_{\mu \nu }{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }}d\lambda ,$$

其中 ${\dot{x}}^{\mu }={\displaystyle \frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }}$，$\lambda$ 是参数。

对该拉格朗日量做变分（略去常数并选取仿射参数），可得欧拉-拉格朗日方程最终化为：

$$\boxed{\frac{d^2{x}^{\rho }}{d{\tau }^2}+{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho }\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }\frac{d{x}^{\nu }}{d\tau }=0}$$

这就是测地线方程：自由落体“没有外力”，但坐标加速度可不为零。

3.2 牛顿极限：测地线如何还原 $\mathbf{a}=\mathbf{g}$

在弱场、低速下，度规可写成

$$g_{00}\approx -(1+2\mathrm{\Phi }/c^2),|\mathrm{\Phi }|\ll c^2.$$

测地线的空间分量（只保留一阶小量）给出

$$\frac{d^2{x}^i}{d{t}^2}\approx -{\partial }_i\mathrm{\Phi },$$

即恢复牛顿引力势 $\mathrm{\Phi }$ 的运动方程。

4. 曲率：引力的“强度”如何编码

4.1 曲率来自“绕一圈不回原位”

在平直空间，把向量平移绕一圈会回到原向量；在曲空间则会发生偏转。数学上表现为协变导数不对易：

$$({\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }-{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu })v^{\rho }=R_{\sigma \mu \nu }^{\rho }{v}^{\sigma }.$$

这里 $R_{\sigma \mu \nu }^{\rho }$ 是 Riemann 曲率张量。

4.2 Riemann、Ricci 与标量曲率

从 Christoffel 可写出：

$$R_{\sigma \mu \nu }^{\rho }={\partial }_{\mu }{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\rho }-{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \sigma }^{\rho }+{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda }^{\rho }{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \sigma }^{\lambda }-{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \lambda }^{\rho }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \sigma }^{\lambda }.$$

收缩得到 Ricci 张量与标量曲率：

$$R_{\mu \nu }=R_{\mu \rho \nu }^{\rho },R=g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }.$$

4.3 爱因斯坦张量与 Bianchi 恒等式

定义

$$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R.$$

它满足重要恒等式（几何上“守恒”）：

$$\boxed{{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{G}^{\mu \nu }=0}$$

这将迫使右边的物质源也满足能动量守恒：${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$。

5. 爱因斯坦场方程：几何 = 物质

5.1 形式与常数

广义相对论最核心的方程：

$$\boxed{G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }}$$

其中 $T_{\mu \nu }$ 为能动量张量，描述能量密度、动量流、压强/剪应力等。

5.2 为什么是 $G_{\mu \nu }$？（最常用的“推导动机”）

我们希望左边是：

1. 由度规及其一、二阶导数组成（对应“局域”引力）
2. 对称二阶张量（与 $T_{\mu \nu }$ 匹配）
3. 满足协变守恒 ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }(\text{左边})=0$
4. 弱场极限还原泊松方程 ${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=4\pi G\rho$

在这些条件下，最自然且最简单的选择就是 $G_{\mu \nu }$。

5.3 常见物质：理想流体的 $T_{\mu \nu }$

宇宙学与恒星结构常用“理想流体”：

$$T^{\mu \nu }=(\rho c^2+p)u^{\mu }{u}^{\nu }+p{g}^{\mu \nu },$$

其中 $\rho$ 为质量密度（或能量密度除以 $c^2$），$p$ 为各向同性压强。

6. 弱场近似与线性化引力（选学但很实用）

设

$$g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu },|h_{\mu \nu }|\ll 1.$$

在线性近似与合适规范（如 Lorenz 规范）下，场方程会变成“波动方程”形式，真空中存在引力波解。

6.1 线性化方程的标准形（了解即可）

定义迹反转（trace-reversed）扰动

$${\overline{h}}_{\mu \nu }\equiv h_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{\eta }_{\mu \nu }h,h\equiv {\eta }^{\alpha \beta }{h}_{\alpha \beta }.$$

在 Lorenz 规范

$${\partial }_{\mu }{\overline{h}}^{\mu \nu }=0$$

下，Einstein 方程线性化为

$$\boxed{◻{\overline{h}}_{\mu \nu }=-\frac{16\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }}(◻\equiv -\frac{1}{c^2}{\partial }_t^2+{\mathrm{\nabla }}^2)$$

真空区 $T_{\mu \nu }=0$ 给出波动方程：$◻{\overline{h}}_{\mu \nu }=0$。

6.2 引力波最小图景：TT 规范与应变

对沿 $+z$ 传播的平面引力波，可在横向-无迹（TT）规范下写成

$$d{s}^2\approx -c^{2}d{t}^2+(1+h_{+})d{x}^2+(1-h_{+})d{y}^2+2h_{\times }dxdy+d{z}^2,$$

其中 $h_{+},h_{\times }$ 为两种偏振。它们对应干涉仪（LIGO 类）测到的应变 $h\sim \mathrm{\Delta }L/L$。

对于入门最关键的是：在静态弱场、低速下

$$g_{00}\approx -(1+2\mathrm{\Phi }/c^2),{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=4\pi G\rho .$$

因此广义相对论与牛顿引力在日常尺度高度一致，只在精密实验/强引力处显著。

7. Schwarzschild 时空：最重要的精确解

7.1 度规（真空、球对称、静态）

对质量 $M$ 的球对称真空外部，Einstein 方程给出 Schwarzschild 解：

$$\boxed{d{s}^2=-(1-\frac{2GM}{r{c}^2})c^{2}d{t}^2+{(1-\frac{2GM}{r{c}^2})}^{-1}d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)}$$

定义 Schwarzschild 半径

$$r_s=\frac{2GM}{c^2}.$$

当 $r=r_s$ 时，$g_{tt}$ 变号、$g_{rr}$ 发散（在该坐标系下）。这对应事件视界；更好的坐标（Eddington–Finkelstein、Kruskal）能消除坐标奇点。

7.2 静止观测者的引力时间膨胀

对固定 $r,\theta ,\varphi$ 的静止钟，$dr=d\theta =d\varphi =0$，有

$$d\tau =\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}dt.$$

因此远处观察者看到近处的钟变慢。

7.3 能量与角动量守恒（测地线的第一积分）

Schwarzschild 度规对 $t$、$\varphi$ 不显含，导致守恒量：

$$E\equiv (1-\frac{r_s}{r})c^2\frac{dt}{d\tau },L\equiv r^2\frac{d\varphi }{d\tau }.$$

在赤道面 $\theta =\pi /2$ 可将测地线化为“一维有效势”问题。

7.4 有效势（时类测地线）

在几何单位 $G=c=1$ 下，$r_s=2M$，并可写成

$${\left(\frac{dr}{d\tau }\right)}^2+V_{\mathrm{eff}}(r)=E^2,$$

其中（典型形式）

$$V_{\mathrm{eff}}(r)=(1-\frac{2M}{r})(1+\frac{L^2}{r^2}).$$

7.5 光子球与 ISCO（竞赛很常考的两个半径）

在几何单位 $G=c=1$ 的 Schwarzschild 时空：

• 光子球（photon sphere）：不稳定的圆形光子轨道 $$ \boxed{ r_{\text{ph}}=3M=\frac{3}{2}r_s } $$
• 最内稳定圆轨道（ISCO，时类）：稳定圆轨道存在的内边界 $$ \boxed{ r_{\text{ISCO}}=6M=3r_s } $$

直观理解：越靠近黑洞，时空曲率越强，有效势的“势阱”结构改变，稳定圆轨道会消失。

8. 经典检验与常用结果（入门必会）

8.1 引力红移（精确形式：Schwarzschild）

两静止观测者分别在 $r_1$（发射）与 $r_2$（接收，通常更远）处：

$$\boxed{\frac{{\nu }_2}{{\nu }_1}=\sqrt{\frac{1-r_s/r_1}{1-r_s/r_2}}}$$

当 $r_2\to \mathrm{\infty }$：

$$\frac{{\nu }_{\mathrm{\infty }}}{{\nu }_r}=\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}.$$

8.2 光线偏折（弱场近似）

对冲量参数（impact parameter）$b$，弱场一阶：

$$\boxed{\alpha \approx \frac{4GM}{b{c}^2}}$$

8.3 近日点进动（弱场、近开普勒轨道）

椭圆轨道半长轴 $a$、偏心率 $e$，每一周额外进动角

$$\boxed{\mathrm{\Delta }\varphi \approx \frac{6\pi GM}{a(1-e^2)c^2}}$$

8.4 Shapiro 时间延迟（选学）

雷达信号掠过质量 $M$ 的天体会产生额外往返时间延迟。对“从 $r_1$ 发出、掠过最近距离 $b$、到 $r_2$ 接收”的几何，弱场近似常见写法为

$$\boxed{\mathrm{\Delta }{t}_{\text{Shapiro}}\approx \frac{2GM}{c^3}\ln \left(\frac{4r_1{r}_2}{b^2}\right)}$$

（不同教材对几何定义略有差异，但共同点是：它随 $GM/c^3$ 线性增长，并含对数项。）

8.5 宇宙学一瞥：FRW 度规与 Friedmann 方程（选读）

在“大尺度均匀各向同性”的宇宙假设下，度规可写为 FRW 形式：

$$d{s}^2=-c^{2}d{t}^2+a(t{)}^2[\frac{d{r}^2}{1-k{r}^2}+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)],$$

其中 $a(t)$ 为尺度因子，$k=0,\pm 1$ 表示空间曲率符号。

代入 Einstein 方程并取物质为理想流体，可得 Friedmann 方程（最常用版本）：

$$\boxed{{\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}+\frac{\mathrm{\Lambda }{c}^2}{3}}$$

以及加速度方程

$$\boxed{\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +\frac{3p}{c^2})+\frac{\mathrm{\Lambda }{c}^2}{3}}$$

并由 ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$ 得到连续性方程

$$\dot{\rho }+3\frac{\dot{a}}{a}(\rho +\frac{p}{c^2})=0.$$

9. 例题（含全过程推导与计算）

例题 1：用弱场近似估算地球表面与高空的引力红移

已知地球半径 $R\approx 6.37\times {10}^6\text{m}$，质量 $M\approx 5.97\times {10}^{24}\text{kg}$。在高度 $h\ll R$ 处的钟与地面钟相比，频率相对变化 $\mathrm{\Delta }\nu /\nu$ 约为多少？

解：

弱场中

$$\frac{\mathrm{\Delta }\nu }{\nu }\approx -\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{c^2}.$$

地球引力势（取无穷远为 0）为 $\mathrm{\Phi }(r)=-GM/r$，因此

$$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=\mathrm{\Phi }(R+h)-\mathrm{\Phi }(R)=-\frac{GM}{R+h}+\frac{GM}{R}.$$

当 $h\ll R$，用展开

$$\frac{1}{R+h}\approx \frac{1}{R}(1-\frac{h}{R}),$$

得

$$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }\approx -\frac{GM}{R}(1-\frac{h}{R})+\frac{GM}{R}=\frac{GM}{R^2}h=gh.$$

所以

$$\boxed{\frac{\mathrm{\Delta }\nu }{\nu }\approx -\frac{gh}{c^2}}$$

若取 $h=1000\text{m}$、$g\approx 9.8{\text{m/s}}^2$，则

$$\left|\frac{\mathrm{\Delta }\nu }{\nu }\right|\approx \frac{9.8\times 1000}{(3.0\times {10}^8{)}^2}\sim 1.1\times {10}^{-13}.$$

结论：千米量级高度差带来 ${10}^{-13}$ 量级的频移（原子钟可测）。

例题 2：Schwarzschild 时空中的静止钟差（精确公式）

在 Schwarzschild 外部时空中，两只静止钟分别位于 $r_1$ 与 $r_2$（）。若远处坐标时间过了 $\mathrm{\Delta }t$，两钟的固有时分别为多少？两者比值？

解：

静止钟有 $dr=d\theta =d\varphi =0$，于是

$$d\tau =\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}dt.$$

积分得到

$$\mathrm{\Delta }\tau (r)=\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}\mathrm{\Delta }t.$$

所以

$$\boxed{\frac{\mathrm{\Delta }{\tau }_1}{\mathrm{\Delta }{\tau }_2}=\sqrt{\frac{1-r_s/r_1}{1-r_s/r_2}}}$$

与引力红移公式一致（频率与时间尺度互为倒数）。

例题 3：弱场光线偏折（给出标准推导骨架）

证明在弱场近似下，掠过质量 $M$ 的光线偏折角为 $\alpha \approx {\displaystyle \frac{4GM}{b{c}^2}}$。

解题思路骨架：

1. 弱场近似度规（各向同性形式）可写为 $$ ds^{2\approx-(1+2\Phi/c}2)c^2dt2+(1-2\Phi/c^2)(dx2+dy^2+dz2),\quad \Phi=-\frac{GM}{r}. $$
2. 对光线 $d{s}^2=0$，可得到等效“折射率” $$ n®\approx 1-\frac{2\Phi}{c^{2}=1+\frac{2GM}{rc}2}. $$
3. 用几何光学近似（费马原理） $$ \delta\int n\,dl=0 $$ 把光线当作在介质中传播的射线。
4. 在小偏折近似中，偏折角约为 $$ \alpha\approx\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial b}\left(\frac{2GM}{c^2\sqrt{x2+b^2}}\right)dx =\frac{4GM}{bc^2}. $$

例题 4：近日点进动公式（从有效势到近似解）

给出椭圆轨道的相对论修正导致的每周进动

$$\mathrm{\Delta }\varphi \approx \frac{6\pi GM}{a(1-e^2)c^2}.$$

推导要点：

1. 对 Schwarzschild 测地线，可得到轨道方程的近似形式（令 $u=1/r$） $$ \frac{d^2u}{d\phi2}+u=\frac{GM}{L^{2}+3\frac{GM}{c}2}u^2. $$
2. 把 $3\frac{GM}{c^2}{u}^2$ 视为小扰动，设开普勒解 $$ u_0=\frac{GM}{L^2}(1+e\cos\phi). $$
3. 扰动会把角频率从 1 改成 $1-\delta$，使得一周后相位多走 $$ \Delta\phi\approx 2\pi\delta=\frac{6\pi GM}{a(1-e^2)c2}. $$

（竞赛层面通常要求记结论并能解释“为何是小扰动导致的频率偏移”。）

例题 5：求 Schwarzschild 的光子球半径与 ISCO 半径

在几何单位 $G=c=1$ 下，证明 Schwarzschild 时空中光子的圆轨道半径为 $r=3M$，时类最内稳定圆轨道半径为 $r=6M$。

解（思路 + 关键步骤）：

1. 对赤道面运动，利用守恒量可把径向运动写成 $$ \left(\frac{dr}{d\lambda}\right)^{2+V_{\text{eff}}®=E}2. $$
2. 圆轨道条件：$r=\text{常数}$ 意味着 $$ \frac{dr}{d\lambda}=0\quad\Rightarrow\quad V_{\text{eff}}®=E^2, $$ 且要“保持在圆轨道上”还需 $$ \frac{dV_{\text{eff}}}{dr}=0. $$
3. 光子（零质量）的有效势（形式上）为 $$ V_{\text{eff}}^{{(\text{null})}®=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{L}2}{r^2}. $$ 求导并令 $dV/dr=0$ 得 $$ r=3M. $$
4. 时类（有质量）圆轨道的稳定性由二阶导数决定：稳定要求 。 对 Schwarzschild，稳定圆轨道存在于 ；临界点为 $$ r_{\text{ISCO}}=6M. $$

例题 6：径向自由落体到达视界需要多少固有时？坐标时间会怎样？

考虑从 $r=r_0$（静止释放）径向下落到 $r=r_s$。定性说明：

• 自由落体者的固有时 $\tau$ 是否有限？
• 远处静止观察者的坐标时间 $t$ 是否有限？

解（定性 + 关键结论）：

1. 对下落者，$\tau$ 是沿世界线积分得到的真实物理时间。
2. 在 Schwarzschild 坐标下，$t$ 在靠近 $r_s$ 时会出现对数发散（这是坐标效应）。
3. 结论：
   • 固有时有限：自由落体者在有限 $\tau$ 内穿过视界。
   • 坐标时间发散：远处观察者用 $t$ 描述会看到物体“永远接近但不穿过”视界。

（若需要具体积分表达式，可在后续补充“径向测地线第一积分”并做积分计算。）

例题 7：掠日光线偏折角的数量级估算

取 $b\approx R_{\odot }\approx 7.0\times {10}^8\text{m}$，$M\approx M_{\odot }\approx 2.0\times {10}^{30}\text{kg}$。

解：

$$\alpha \approx \frac{4GM}{b{c}^2}.$$

代入 $G\approx 6.67\times {10}^{-11}$、$c\approx 3.0\times {10}^8$，得

$$\alpha \sim \frac{4\times 6.67\times {10}^{-11}\times 2.0\times {10}^{30}}{7.0\times {10}^8\times (3.0\times {10}^8{)}^2}\sim 8.5\times {10}^{-6}\text{rad}.$$

换算为角秒（$1\text{rad}\approx 206265\text{arcsec}$）：

$$\alpha \sim 1.75\text{arcsec}.$$

这就是经典的“掠日偏折约 1.75 角秒”。

例题 8：水星近日点进动的数量级估算

已知水星轨道参数（可查表）：半长轴 $a\approx 5.79\times {10}^{10}\text{m}$，偏心率 $e\approx 0.206$，太阳质量 $M\approx M_{\odot }$。估算每周进动角。

解：

$$\mathrm{\Delta }\varphi \approx \frac{6\pi GM}{a(1-e^2)c^2}.$$

代入数值可得每一周（每绕太阳一圈）约 $\sim 5\times {10}^{-7}\text{rad}$ 量级，对应约 $0.1\text{arcsec}$ 量级。累积到每世纪（约 415 圈）即得到著名的 $\sim 43\text{arcsec/century}$。

10. 习题（含提示/答案要点）

10.1 基础题

1. 证明：在局部惯性系中，某点可令 ${\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho }=0$，但一般不能令 ${\partial }_{\sigma }{g}_{\mu \nu }=0$ 同时在邻域处处为 0。
2. 设弱场度规 $g_{00}=-(1+2\mathrm{\Phi }/c^2)$，证明静止钟的频移满足 $\mathrm{\Delta }\nu /\nu \approx -\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }/c^2$。
3. 写出理想流体 $T^{\mu \nu }$ 并解释各项物理意义。

10.2 计算题（更贴近竞赛/考题）

1. 黑洞视界尺度估算：太阳质量 $M_{\odot }\approx 2.0\times {10}^{30}\text{kg}$，求 $r_s$ 的数量级。
   • 答案要点：$r_s=2GM/c^2\approx 3\text{km}$。
2. 引力时间膨胀：若某天体 $r_s=10\text{km}$，在 $r=40\text{km}$ 静止的钟相对于无穷远的钟慢多少？
   • 提示：$d\tau /dt=\sqrt{1-r_s/r}$。

3. 光偏折角数值：太阳半径 $R_{\odot }\approx 7.0\times {10}^8\text{m}$，质量 $M_{\odot }$，估算掠日光线偏折角。

   • 提示：$\alpha \approx 4GM/(b{c}^2)$，取 $b\approx R_{\odot }$。

4. 光子球数值：对某黑洞 $r_s=30\text{km}$，求光子球半径 $r_{\text{ph}}$ 与 ISCO 半径 $r_{\text{ISCO}}$。

   • 答案要点：$r_{\text{ph}}=\frac{3}{2}{r}_s$，$r_{\text{ISCO}}=3r_s$。

5. 引力波应变量级：若某引力波通过地球时的应变 $h\sim {10}^{-21}$，LIGO 级别的臂长 $L\sim 4\text{km}$，估算长度变化 $\mathrm{\Delta }L$。

   • 答案要点：$\mathrm{\Delta }L\sim hL\sim 4\times {10}^{-18}\text{m}$。

11. 用 Python 复现/绘制示意图（可选）

本文插图由 Python 生成并保存在 docs/modern/images/：

• schwarzschild_time_dilation_factor.png
• schwarzschild_effective_potential.png
• light_deflection_weak_field.png

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
M = 1.0
b = np.linspace(4.0, 80.0, 800)
alpha = 4*M/b
plt.plot(b, alpha)
plt.xlabel(r'$b/M$')
plt.ylabel(r'$\alpha\;\mathrm{(rad)}$')
plt.title(r'弱场近似：$\alpha \approx 4M/b$')
plt.grid(True, alpha=0.25)
plt.show()

参考与延伸阅读

• Misner, Thorne, Wheeler, Gravitation（体系最全，但很厚）
• Schutz, A First Course in General Relativity（入门友好）
• Carroll, Spacetime and Geometry（现代写法，推导清晰）

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