转动惯量 (Moment of Inertia)

转动惯量是描述刚体绕某一转轴转动时惯性大小的物理量。它是刚体力学中的一个重要概念，与线性运动中的质量有着密切的对应关系。转动惯量不仅取决于刚体的质量，还与质量分布及转轴的位置密切相关。

1. 转动惯量的定义

转动惯量的数学定义为：

I = \int r^{2} d m

其中： - $I$ 是转动惯量，单位为 $kg \cdot m^{2}$ ； - $r$ 是刚体中质量元 $d m$ 到转轴的垂直距离； - $d m$ 是刚体中微小质量元。

转动惯量在转动运动中对应于线性运动中的质量。质量描述物体对线性加速度的抗性，而转动惯量描述物体对角加速度的抗性。

以下是几种常见刚体的转动惯量及其推导过程：

刚体描述：一根长度为 $L$ 、质量为 $M$ 的均匀细棒，绕其中心垂直于棒的轴转动。

推导过程： 1. 取细棒的微小质量元 $d m$ ，其长度为 $d x$ ，质量为：

d m = \frac{M}{L} d x

I = \int_{- L / 2}^{L / 2} x^{2} d m = \int_{- L / 2}^{L / 2} x^{2} \frac{M}{L} d x

I = \frac{M}{L} \int_{- L / 2}^{L / 2} x^{2} d x = \frac{M}{L} \cdot \frac{1}{3} {[x^{3}]}_{- L / 2}^{L / 2} = \frac{1}{12} M L^{2}

结果：

I = \frac{1}{12} M L^{2}

刚体描述：一质量为 $M$ 、半径为 $R$ 的均匀圆盘，绕其中心垂直于圆盘平面的轴转动。

推导过程： 1. 取圆盘上的微小质量元 $d m$ ，其面积为 $d A = 2 π r d r$ ，质量为：

d m = \frac{M}{π R^{2}} \cdot 2 π r d r = \frac{2 M}{R^{2}} r d r

I = \int_{0}^{R} r^{2} d m = \int_{0}^{R} r^{2} \cdot \frac{2 M}{R^{2}} r d r

I = \frac{2 M}{R^{2}} \int_{0}^{R} r^{3} d r = \frac{2 M}{R^{2}} \cdot \frac{1}{4} r^{4} |_{0}^{R} = \frac{1}{2} M R^{2}

结果：

I = \frac{1}{2} M R^{2}

刚体描述：一质量为 $M$ 、半径为 $R$ 的均匀实心球，绕其直径转动。

推导过程： 1. 取球内的微小质量元 $d m$ ，其体积为 $d V = 4 π r^{2} d r$ ，质量为：

d m = \frac{M}{\frac{4}{3} π R^{3}} \cdot 4 π r^{2} d r = \frac{3 M}{R^{3}} r^{2} d r

I = \int_{0}^{R} r^{2} d m = \int_{0}^{R} r^{2} \cdot \frac{3 M}{R^{3}} r^{2} d r

I = \frac{3 M}{R^{3}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = \frac{3 M}{R^{3}} \cdot \frac{1}{5} r^{5} |_{0}^{R} = \frac{2}{5} M R^{2}

结果：

I = \frac{2}{5} M R^{2}

刚体类型	转轴位置	转动惯量 $I$
均匀细棒	通过中心垂直于棒的轴	$\frac{1}{12} M L^{2}$
均匀细棒	通过一端垂直于棒的轴	$\frac{1}{3} M L^{2}$
均匀圆盘	通过中心垂直于圆盘的轴	$\frac{1}{2} M R^{2}$
均匀圆盘	通过直径	$\frac{1}{4} M R^{2}$
均匀圆环	通过中心垂直于圆环的轴	$M R^{2}$
均匀实心球	通过直径	$\frac{2}{5} M R^{2}$
均匀空心球	通过直径	$\frac{2}{3} M R^{2}$
均匀正方体	通过中心垂直于某一面	$\frac{1}{6} M a^{2}$
均匀正方体	通过一条边	$\frac{1}{3} M a^{2}$