角动量守恒

守恒条件的局域性与方向性

1. 外力矩为零 $\ne$!= 外力为零：一对大小相等、方向相反但不在同一直线上的力（力偶），其合外力为零，但合外力矩不为零；反之，若合外力作用线恰好通过转轴，则外力矩为零，角动量仍守恒．
2. 对特定轴守恒：即使系统空间总合外力矩不为零，但如果其在 $z$z 轴方向的分量 ${\tau }_z=0$tau_z = 0，则刚体对 $z$z 轴的角动量分量 $L_z$L_z 依然守恒．

题目：一花样滑冰运动员双臂展开时绕身体竖直对称轴旋转，转动惯量为 $I_1=3.6\text{ kg}\cdot {\text{m}}^2$I_1 = 3.6 kg*m^2，初始角速度 ${\omega }_1=5\text{ rad/s}$omega_1 = 5 rad/s．随后运动员迅速将双臂收拢紧贴胸前，转动惯量减小为 $I_2=1.2\text{ kg}\cdot {\text{m}}^2$I_2 = 1.2 kg*m^2．忽略冰面的微小摩擦力矩，求：

1. 运动员收拢双臂后的旋转角速度 ${\omega }_2$omega_2；
2. 该过程中运动员转动动能的变化量 $\mathrm{\Delta }{E}_{\text{rot}}$Delta E_rot．

解答：

1. 冰面支持力与运动员重力均在竖直方向且与转轴共线或平行，对转轴无力矩；忽略摩擦力矩，系统对竖直转轴的合外力矩为零，角动量守恒：

   $$I_1{\omega }_1=I_2{\omega }_2$$I_1 omega_1 = I_2 omega_2

   代入数据得：

   $${\omega }_2=\frac{I_1}{I_2}{\omega }_1=\frac{3.6}{1.2}\times 5=15\text{ rad/s}$$omega_2 = I_1/I_2omega_1 = 3.6/1.2 * 5 = 15 rad/s

   角速度增大为原来的 3 倍．

2. 计算始末转动动能：

   $$E_{\text{rot},1}=\frac{1}{2}{I}_1{\omega }_1^2=\frac{1}{2}\times 3.6\times 5^2=45\text{ J}$$E_rot,1 = 1/2I_1 omega_1^2 = 1/2 * 3.6 * 5^2 = 45 J $$E_{\text{rot},2}=\frac{1}{2}{I}_2{\omega }_2^2=\frac{1}{2}\times 1.2\times {15}^2=135\text{ J}$$E_rot,2 = 1/2I_2 omega_2^2 = 1/2 * 1.2 * 15^2 = 135 J

   动能增加量：

   $$\mathrm{\Delta }{E}_{\text{rot}}=135-45=90\text{ J}$$Delta E_rot = 135 - 45 = 90 J

   这多出的 $90\text{ J}$90 J 动能恰好等于运动员手臂克服惯性离心力收拢时内力所做的功．

题目：一个质量为 $M$M、半径为 $R$R 的均质水平圆盘可绕通过盘心的竖直无摩擦固定轴自由转动．初始时转盘静止．一质量为 $m$m 的人站在转盘边缘处，随后人相对于转盘以恒定速率 $v_r$v_r 沿圆周边缘行走．求转盘相对于地面的角速度 $\mathrm{\Omega }$Omega．

解答：

• 将「转盘 + 人」作为复合系统进行分析；

• 系统受到的重力与轴承支持力均不产生对竖直对称轴的力矩，因此系统对该轴的总角动量守恒；

• 初始系统静止，总角动量为零：

  $$L_{\text{total}}=0$$L_total = 0

• 设转盘对地角速度为 $\mathrm{\Omega }$Omega（取逆时针为正），圆盘的转动惯量为 $I=\frac{1}{2}M{R}^2$I = 1/2MR^2；

• 人相对于转盘速率为 $v_r$v_r（设沿逆时针方向），则人相对于地面的线速度为 $v=v_r+\mathrm{\Omega }R$v = v_r + Omega R；

• 人的质点角动量为 $L_{\text{人}}=mvR=m(v_r+\mathrm{\Omega }R)R$L_人 = m v R = m(v_r + Omega R)R；

• 系统的总角动量表达式为：

  $$L_{\text{total}}=I\mathrm{\Omega }+m(v_r+\mathrm{\Omega }R)R=0$$L_total = IOmega + m(v_r + Omega R)R = 0

• 解得转盘对地的反向角速度：

  $$\mathrm{\Omega }=-\frac{m{v}_{r}R}{I+m{R}^2}=-\frac{m{v}_{r}R}{\frac{1}{2}M{R}^2+m{R}^2}=-\frac{2m{v}_r}{(M+2m)R}$$Omega = -m v_r R/I + m R^2 = -m v_r R/12MR^2 + m R^2 = -2m v_r/(M + 2m)R

• 负号表明转盘顺时针旋转，与人的行走方向相反，系统总角动量始终保持为零．