连续介质中的波

本页从「连续介质近似」出发，推导最常见的波动方程，并给出弦波、声波等典型波的波速、能量与边界反射/透射的核心结果．

0. 连续介质近似与基本思想

把介质看成由无穷多小体元组成，每个体元可用场量（位移、速度、压强、密度等）描述．
相邻体元之间存在「弹性耦合」，使局部扰动传播成波．
线性小扰动下，方程通常为线性的二阶偏微分方程（波动方程）．

常见符号

弦横向位移： $y (x, t)$ y(x,t)
弦张力： $T$ T（本文用 $T$ T 表示张力，与周期 $T$ T 区分时会写 $T$ T 表示周期）
线密度： $μ$ mu
声波：压强扰动 $p^{'} (x, t)$ p'(x,t)、质点速度 $u (x, t)$ u(x,t)、密度扰动 $ρ^{'} (x, t)$ rho'(x,t)

1. 弦上的横波：波动方程与波速

1.1 建模假设

弦沿 $x$ x 轴平放，小振幅横向位移为 $y (x, t)$ y(x,t)．
张力大小近似恒定为 $T$ T．
斜率很小： $| \partial y / \partial x | ≪ 1$ |d y/d x|ll 1，可用 $\sin θ \approx \tan θ \approx \partial y / \partial x$ sintheta~tantheta~d y/d x．

1.2 对小弦元受力分析

取区间 $[x, x + Δ x]$ [x, x+Delta x] 的小弦元，其质量

Δ m = μ Δ x .

Delta m=muDelta x.

两端张力大小都约为 $T$ T，方向分别与弦切线一致．端点处切线角分别为 $θ (x)$ theta(x)、 $θ (x + Δ x)$ theta(x+Delta x)．

竖直方向合力（横向）为

F_{y} = T \sin θ (x + Δ x) - T \sin θ (x) .

F_y=Tsintheta(x+Delta x)-Tsintheta(x).

小角度近似 $\sin θ \approx \tan θ \approx \partial y / \partial x$ sintheta~ tantheta~ d y/d x，于是

F_{y} \approx T [\frac{\partial y}{\partial x} (x + Δ x, t) - \frac{\partial y}{\partial x} (x, t)] \approx T \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} Δ x .

F_y~ Tleft[d yd x(x+Delta x,t)-d yd x(x,t)right] ~ Td^2 yd x^2Delta x.

由牛顿第二定律：

Δ m \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = F_{y} \Rightarrow μ Δ x \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = T \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} Δ x .

Delta md^2 yd t^2=F_y quadRightarrowquad muDelta xd^2 yd t^2=Td^2 yd x^2Delta x.

消去 $Δ x$ Delta x 得到弦波动方程：

\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = \frac{T}{μ} \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} .

d^2 yd t^2=Tmud^2 yd x^2.

因此弦上横波波速

v = \sqrt{\frac{T}{μ}} .

v=Tmu.

2. 一维纵波与声波：基本方程与声速

以一维管内声波为例（忽略黏性与热传导，做线性小扰动）．

2.1 线性化变量

设静态平衡态为 $p_{0}, ρ_{0}$ p_0,rho_0．

扰动：

p (x, t) = p_{0} + p^{'} (x, t), ρ (x, t) = ρ_{0} + ρ^{'} (x, t), | p^{'} | ≪ p_{0}, | ρ^{'} | ≪ ρ_{0} .

p(x,t)=p_0+p'(x,t),quad rho(x,t)=rho_0+rho'(x,t),quad |p'|ll p_0, |rho'|llrho_0.

质点（流体微元）速度为 $u (x, t)$ u(x,t)（沿 $x$ x）．

2.2 连续性方程（质量守恒，线性化）

一维连续性方程：

\frac{\partial ρ}{\partial t} + \frac{\partial (ρ u)}{\partial x} = 0.

d d t+d (rho u)d x=0.

线性化（忽略二阶小量 $ρ^{'} u$ rho' u）：

\frac{\partial ρ^{'}}{\partial t} + ρ_{0} \frac{\partial u}{\partial x} = 0.

d rho'd t+rho_0d ud x=0.

2.3 欧拉方程（动量守恒，线性化）

无黏性一维欧拉方程：

ρ (\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x}) = - \frac{\partial p}{\partial x} .

rholeft(d ud t+ud ud xright)=-d pd x.

线性化（忽略 $u \partial u / \partial x$ ud u/d x，并用 $ρ \approx ρ_{0}$ rho~rho_0）：

ρ_{0} \frac{\partial u}{\partial t} = - \frac{\partial p^{'}}{\partial x} .

rho_0d ud t=-d p'd x.

2.4 物态方程（闭合关系）

小扰动可近似为绝热过程：

p^{'} = c_{s}^{2} ρ^{'}, c_{s}^{2} = {(\frac{\partial p}{\partial ρ})}_{s} .

p'=c_s^2rho',quad c_s^2=left(d pd rhoright)_s.

其中 $c_{s}$ c_s 即声速．

2.5 推导声波方程

对连续性方程对时间再求导：

\frac{\partial^{2} ρ^{'}}{\partial t^{2}} + ρ_{0} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial u}{\partial t}) = 0.

d^2 rho'd t^2+rho_0dd xleft(d ud tright)=0.

用欧拉方程给出

\frac{\partial u}{\partial t} = - \frac{1}{ρ_{0}} \frac{\partial p^{'}}{\partial x},

d ud t=-1rho_0d p'd x,

代入得

\frac{\partial^{2} ρ^{'}}{\partial t^{2}} - \frac{\partial^{2} p^{'}}{\partial x^{2}} = 0.

d^2 rho'd t^2-d^2 p'd x^2=0.

再用 $p^{'} = c_{s}^{2} ρ^{'}$ p'=c_s^2rho'，得到压强扰动的波动方程：

\frac{\partial^{2} p^{'}}{\partial t^{2}} = c_{s}^{2} \frac{\partial^{2} p^{'}}{\partial x^{2}} .

d^2 p'd t^2=c_s^2d^2 p'd x^2.

同理可得 $ρ^{'}$ rho'、 $u$ u 也满足相同形式的波动方程，传播速度均为 $c_{s}$ c_s．

2.6 理想气体声速

理想气体绝热过程 $p ρ^{- γ} = 常数$ prho^-gamma=常数，因此

c_{s}^{2} = {(\frac{\partial p}{\partial ρ})}_{s} = γ \frac{p_{0}}{ρ_{0}} .

c_s^2=left(d pd rhoright)_s=gammap_0rho_0.

又由 $p_{0} = ρ_{0} \frac{R T}{M}$ p_0=rho_0RT/M 得

c_{s} = \sqrt{γ \frac{R T}{M}} .

c_s=M.

3. 通解：达朗贝尔（d’Alembert）形式（1D）

一维波动方程

\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}

d^2 yd t^2=v^2d^2 yd x^2

通解可写为

y (x, t) = f (x - v t) + g (x + v t) .

y(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt).

解释：

$f (x - v t)$ f(x-vt)：向 $+ x$ +x 传播的任意波形
$g (x + v t)$ g(x+vt)：向 $- x$ -x 传播的任意波形

代入检验（给出关键步骤）：

\frac{\partial y}{\partial t} = - v f^{'} (x - v t) + v g^{'} (x + v t), \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = v^{2} f^{″} (x - v t) + v^{2} g^{″} (x + v t)

d yd t=-v f'(x-vt)+v g'(x+vt),quad d^2 yd t^2=v^2 f''(x-vt)+v^2 g''(x+vt)

\frac{\partial y}{\partial x} = f^{'} (x - v t) + g^{'} (x + v t), \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} = f^{″} (x - v t) + g^{″} (x + v t)

d yd x=f'(x-vt)+g'(x+vt),quad d^2 yd x^2=f''(x-vt)+g''(x+vt)

于是满足方程．

4. 边界与反射：固定端与自由端（弦波）

考虑波到达端点反射，反射波与入射波叠加后需满足边界条件．

4.1 固定端反射（位移为零）

固定端 $x = 0$ x=0： $y (0, t) = 0$ y(0,t)=0．设入射波 $y_{i} = A \cos (k x - ω t)$ y_i=Acos(kx-omega t)，反射波 $y_{r} = A_{r} \cos (k x + ω t + ϕ)$ y_r=A_rcos(kx+omega t+phi)．

要求 $y_{i} (0, t) + y_{r} (0, t) = 0$ y_i(0,t)+y_r(0,t)=0 对任意 $t$ t 成立，得到

A_{r} = A, ϕ = π .

A_r=A,quad phi=pi.

即固定端反射发生 相位反转（反射系数为 $- 1$ -1）．

4.2 自由端反射（张力横向分量为零）

自由端近似满足 $\partial y / \partial x = 0$ d y/d x=0．同理可得反射不反相（反射系数为 $+ 1$ +1）．

例题：两段弦连接处的反射与透射（阻抗匹配）

两段轻弦在 $x = 0$ x=0 处连接，张力均为 $T$ T，但线密度分别为 $μ_{1}$ mu_1（ $x < 0$ x<0）与 $μ_{2}$ mu_2（ $x > 0$ x>0）．
一列从左侧入射的简谐波

y_{i} = A_{i} \cos (k_{1} x - ω t)

y_i=A_icos(k_1x-omega t)

传播到连接处发生反射与透射．设反射与透射振幅为 $A_{r}, A_{t}$ A_r,A_t．
求振幅反射系数 $r = A_{r} / A_{i}$ r=A_r/A_i 与透射系数 $t = A_{t} / A_{i}$ t=A_t/A_i．

解：两侧波速

v_{j} = \sqrt{\frac{T}{μ_{j}}}, k_{j} = \frac{ω}{v_{j}} (j = 1, 2) .

v_j=Tmu_j,quad k_j=v_j (j=1,2).

连接处需满足（小振动线性近似下）两条边界条件：

位移连续： $y (0^{-}, t) = y (0^{+}, t)$ y(0^-,t)=y(0^+,t)；
横向力连续： $T \partial y / \partial x$ T ,d y/d x 连续，即 $\partial y / \partial x$ d y/d x 连续（因张力相同）．

取复表示，令

y_{1} = (A_{i} e^{i k_{1} x} + A_{r} e^{- i k_{1} x}) e^{- i ω t}, y_{2} = (A_{t} e^{i k_{2} x}) e^{- i ω t} .

y_1=(A_i e^ik_1x+A_r e^-ik_1x)e^-iomega t,quad y_2=(A_t e^ik_2x)e^-iomega t.

在 $x = 0$ x=0 处：

A_{i} + A_{r} = A_{t},

A_i+A_r=A_t,

i k_{1} (A_{i} - A_{r}) = i k_{2} A_{t} .

ik_1(A_i-A_r)=ik_2A_t.

解得

r = \frac{k_{1} - k_{2}}{k_{1} + k_{2}} = \frac{v_{2} - v_{1}}{v_{2} + v_{1}}, t = \frac{2 k_{1}}{k_{1} + k_{2}} = \frac{2 v_{2}}{v_{1} + v_{2}} .

r=k_1-k_2k_1+k_2=v_2-v_1v_2+v_1,qquad t=2k_1k_1+k_2=2v_2v_1+v_2.

常把 $Z = T / v = \sqrt{T μ}$ Z=T/v=Tmu 称作弦的「特性阻抗」（行波的力与横向速度之比，也属于机械阻抗）（对能流更自然），也可写成

r = \frac{Z_{2} - Z_{1}}{Z_{2} + Z_{1}}, t = \frac{2 Z_{2}}{Z_{1} + Z_{2}} .

r=Z_2-Z_1Z_2+Z_1,qquad t=2Z_2Z_1+Z_2 .

5. 弦波的能量与功率（时间平均）

对弦上横波 $y (x, t)$ y(x,t)，小振幅下弦元的动能密度与势能密度分别可写为

E_{K} = \frac{1}{2} μ {(\frac{\partial y}{\partial t})}^{2}, E_{P} = \frac{1}{2} T {(\frac{\partial y}{\partial x})}^{2} .

E_K=frac12muleft(d yd tright)^2, quad E_P=frac12 Tleft(d yd xright)^2.

对简谐行波 $y = A \cos (k x - ω t)$ y=Acos(kx-omega t)：

\frac{\partial y}{\partial t} = A ω \sin (k x - ω t), \frac{\partial y}{\partial x} = - A k \sin (k x - ω t) .

d yd t=Aomegasin(kx-omega t),quad d yd x=-Aksin(kx-omega t).

代入并用 $ω = v k$ omega=vk 与 $v^{2} = T / μ$ v^2=T/mu 可得两者时间平均相等：

⟨ E_{K} ⟩ = ⟨ E_{P} ⟩ = \frac{1}{4} μ ω^{2} A^{2} .

langle E_Krangle=langle E_Prangle=frac14muomega^2A^2.

总能量密度时间平均

⟨ E ⟩ = \frac{1}{2} μ ω^{2} A^{2} .

langle Erangle=frac12muomega^2A^2.

能流（功率）平均值为

⟨ P ⟩ = ⟨ E ⟩ v = \frac{1}{2} μ ω^{2} A^{2} v .

langle Prangle=langle Erangle ,v= frac12muomega^2A^2 v.

这说明：在线性无耗散下，功率与 $A^{2}$ A^2 成正比．

6. 小结与学习建议

记住两条「标准推导链」：
1. 弦：受力分析 $\to$ -> 波动方程 $\to$ -> 波速 $\sqrt{T / μ}$ T/mu
2. 声波：连续性 + 欧拉 + 物态方程 $\to$ -> 声波方程 $\to$ -> 声速
熟练掌握边界条件（固定端/自由端）与驻波条件（ $k_{n} = n π / L$ k_n=npi/L）．

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本页面贡献者：Leafuke, 匿名同学
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