连续介质中的波

连续介质中的波（Waves in Continuous Media）

本页从“连续介质近似”出发，推导最常见的波动方程，并给出弦波、声波等典型波的波速、能量与边界反射/透射的核心结果。

0. 连续介质近似与基本思想

• 把介质看成由无穷多小体元组成，每个体元可用场量（位移、速度、压强、密度等）描述。
• 相邻体元之间存在“弹性耦合”，使局部扰动传播成波。
• 线性小扰动下，方程通常为线性的二阶偏微分方程（波动方程）。

1. 弦上的横波：波动方程与波速

1.1 建模假设

• 弦沿 $x$ 轴平放，小振幅横向位移为 $y(x,t)$。
• 张力大小近似恒定为 $T$。
• 斜率很小：$|\partial y/\partial x|\ll 1$，可用 $\sin \theta \approx \tan \theta \approx \partial y/\partial x$。

1.2 对小弦元受力分析

取区间 $[x,x+\mathrm{\Delta }x]$ 的小弦元，其质量

$$\mathrm{\Delta }m=\mu \mathrm{\Delta }x.$$

两端张力大小都约为 $T$，方向分别与弦切线一致。端点处切线角分别为 $\theta (x)$、$\theta (x+\mathrm{\Delta }x)$。

竖直方向合力（横向）为

$$F_y=T\sin \theta (x+\mathrm{\Delta }x)-T\sin \theta (x).$$

小角度近似 $\sin \theta \approx \tan \theta \approx \partial y/\partial x$，于是

$$F_y\approx T[\frac{\partial y}{\partial x}(x+\mathrm{\Delta }x,t)-\frac{\partial y}{\partial x}(x,t)]\approx T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}\mathrm{\Delta }x.$$

由牛顿第二定律：

$$\mathrm{\Delta }m\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=F_y\Rightarrow \mu \mathrm{\Delta }x\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}\mathrm{\Delta }x.$$

消去 $\mathrm{\Delta }x$ 得到弦波动方程：

$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=\frac{T}{\mu }\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}.$$

因此弦上横波波速

$$v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}.$$

2. 一维纵波与声波：基本方程与声速

以一维管内声波为例（忽略黏性与热传导，做线性小扰动）。

2.1 线性化变量

设静态平衡态为 $p_0,{\rho }_0$。

扰动：

$$p(x,t)=p_0+p^{\prime }(x,t),\rho (x,t)={\rho }_0+{\rho }^{\prime }(x,t),|p^{\prime }|\ll p_0,|{\rho }^{\prime }|\ll {\rho }_0.$$

质点（流体微元）速度为 $u(x,t)$（沿 $x$）。

2.2 连续性方程（质量守恒，线性化）

一维连续性方程：

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}=0.$$

线性化（忽略二阶小量 ${\rho }^{\prime }u$）：

$$\frac{\partial {\rho }^{\prime }}{\partial t}+{\rho }_0\frac{\partial u}{\partial x}=0.$$

2.3 欧拉方程（动量守恒，线性化）

无黏性一维欧拉方程：

$$\rho (\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x})=-\frac{\partial p}{\partial x}.$$

线性化（忽略 $u\partial u/\partial x$，并用 $\rho \approx {\rho }_0$）：

$${\rho }_0\frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{\partial p^{\prime }}{\partial x}.$$

2.4 状态方程（闭合关系）

小扰动可近似为绝热过程：

$$p^{\prime }=c_s^2{\rho }^{\prime },c_s^2={\left(\frac{\partial p}{\partial \rho }\right)}_s.$$

其中 $c_s$ 即声速。

2.5 推导声波方程

对连续性方程对时间再求导：

$$\frac{{\partial }^2{\rho }^{\prime }}{\partial t^2}+{\rho }_0\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)=0.$$

用欧拉方程给出

$$\frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{1}{{\rho }_0}\frac{\partial p^{\prime }}{\partial x},$$

代入得

$$\frac{{\partial }^2{\rho }^{\prime }}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^2{p}^{\prime }}{\partial x^2}=0.$$

再用 $p^{\prime }=c_s^2{\rho }^{\prime }$，得到压强扰动的波动方程：

$$\frac{{\partial }^2{p}^{\prime }}{\partial t^2}=c_s^2\frac{{\partial }^2{p}^{\prime }}{\partial x^2}.$$

同理可得 ${\rho }^{\prime }$、$u$ 也满足相同形式的波动方程，传播速度均为 $c_s$。

2.6 理想气体声速

理想气体绝热过程 $p{\rho }^{-\gamma }=\text{常数}$，因此

$$c_s^2={\left(\frac{\partial p}{\partial \rho }\right)}_s=\gamma \frac{p_0}{{\rho }_0}.$$

又由 $p_0={\rho }_0\frac{RT}{M}$ 得

$$c_s=\sqrt{\gamma \frac{RT}{M}}.$$

3. 通解：d'Alembert 形式（1D）

一维波动方程

$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$

通解可写为

$$y(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt).$$

解释：

• $f(x-vt)$：向 $+x$ 传播的任意波形
• $g(x+vt)$：向 $-x$ 传播的任意波形

代入检验（给出关键步骤）：

$$\frac{\partial y}{\partial t}=-v{f}^{\prime }(x-vt)+v{g}^{\prime }(x+vt),\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2{f}^{″}(x-vt)+v^2{g}^{″}(x+vt)$$

$$\frac{\partial y}{\partial x}=f^{\prime }(x-vt)+g^{\prime }(x+vt),\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}=f^{″}(x-vt)+g^{″}(x+vt)$$

于是满足方程。

4. 边界与反射：固定端与自由端（弦波）

考虑波到达端点反射，反射波与入射波叠加后需满足边界条件。

4.1 固定端反射（位移为零）

固定端 $x=0$：$y(0,t)=0$。 设入射波 $y_i=A\cos (kx-\omega t)$，反射波 $y_r=A_r\cos (kx+\omega t+\varphi )$。

要求 $y_i(0,t)+y_r(0,t)=0$ 对任意 $t$ 成立，得到

$$A_r=A,\varphi =\pi .$$

即固定端反射发生 相位反转（反射系数为 $-1$）。

4.2 自由端反射（张力横向分量为零）

自由端近似满足 $\partial y/\partial x=0$。 同理可得反射不反相（反射系数为 $+1$）。

两段轻弦在 $x=0$ 处连接，张力均为 $T$，但线密度分别为 ${\mu }_1$（）与 ${\mu }_2$（）。 一列从左侧入射的简谐波

$$ y_i=A_i\cos(k_1x-\omega t) $$

传播到连接处发生反射与透射。设反射与透射振幅为 $A_r,A_t$。 求振幅反射系数 $r=A_r/A_i$ 与透射系数 $t=A_t/A_i$。

解：两侧波速 $$ v_j=\sqrt{\frac{T}{\mu_j}},\quad k_j=\frac{\omega}{v_j} (j=1,2). $$

连接处需满足（小振动线性近似下）两条边界条件： 1) 位移连续：$y(0^{-},t)=y(0^{+},t)$； 2) 横向力连续：$T\partial y/\partial x$ 连续，即 $\partial y/\partial x$ 连续（因张力相同）。

取复表示，令 $$ y_1=(A_i e^{ik_1x}+A_r e^{-ik_1x})e{-i\omega t},\quad y_2=(A_t e^{ik_2x})e{-i\omega t}. $$

在 $x=0$ 处： $$ A_i+A_r=A_t, $$ $$ ik_1(A_i-A_r)=ik_2A_t. $$

解得 $$ r=\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}=\frac{v_2-v_1}{v_2+v_1},\qquad t=\frac{2k_1}{k_1+k_2}=\frac{2v_2}{v_1+v_2}. $$

常把 $Z=T/v=\sqrt{T\mu }$ 称作弦的“机械阻抗”（对能流更自然），也可写成 $$ \boxed{ r=\frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1},\qquad t=\frac{2Z_2}{Z_1+Z_2} }. $$

5. 弦波的能量与功率（时间平均）

对弦上横波 $y(x,t)$，小振幅下弦元的动能密度与势能密度分别可写为

$${\mathcal{E}}_K=\frac{1}{2}\mu {\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)}^2,{\mathcal{E}}_P=\frac{1}{2}T{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}^2.$$

对简谐行波 $y=A\cos (kx-\omega t)$：

$$\frac{\partial y}{\partial t}=A\omega \sin (kx-\omega t),\frac{\partial y}{\partial x}=-Ak\sin (kx-\omega t).$$

代入并用 $\omega =vk$ 与 $v^2=T/\mu$ 可得两者时间平均相等：

$$⟨{\mathcal{E}}_K⟩=⟨{\mathcal{E}}_P⟩=\frac{1}{4}\mu {\omega }^2{A}^2.$$

总能量密度时间平均

$$⟨\mathcal{E}⟩=\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^2.$$

能流（功率）平均值为

$$⟨P⟩=⟨\mathcal{E}⟩v=\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^{2}v.$$

这说明：在线性无耗散下，功率与 $A^2$ 成正比。

6. 小结与学习建议

• 记住两条“标准推导链”： 1) 弦：受力分析 $\to$ 波动方程 $\to$ 波速 $\sqrt{T/\mu }$ 2) 声波：连续性 + 欧拉 + 状态方程 $\to$ 声波方程 $\to$ 声速
• 熟练掌握边界条件（固定端/自由端）与驻波条件（$k_n=n\pi /L$）。

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本页面贡献者：Leafuke, 匿名同学
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