非线性振动

注意

非线性振动对大一学生的要求不高，可以直接跳到本章节的 自激振动 部分，了解基本概念即可．

线性振动理论（如简谐振动、线性阻尼、线性受迫）建立在「力与位移（或速度）成正比」的近似上．当振幅不再很小、回复力/阻尼出现高次项、或系统存在几何/材料非线性时，系统方程常变为非线性微分方程：

\ddot{x} + F (x, \dot{x}, t) = 0 或 \ddot{x} + F (x, \dot{x}, t) = 外驱动 .

ddot x+F(x,dot x,t)=0quad或quad ddot x+F(x,dot x,t)=外驱动.

非线性会带来：

频率随振幅变化（非等时性）
多稳态与跳跃现象
自激振动与极限环
倍周期分岔与混沌（进阶）

本页给出竞赛/入门学习中最常见的几类模型与关键推导．

注意

非线性系统一般不满足叠加原理；频域分析与相量法很多时候需要谨慎使用．

1. 非线性回复力：从势能展开看起

若平衡点附近势能可展开为

U (x) = U (0) + \frac{1}{2} k x^{2} + \frac{1}{3} α x^{3} + \frac{1}{4} β x^{4} + \dots

U(x)=U(0)+frac12kx^2+frac13alpha x^3+frac14beta x^4+cdots

则回复力

F = - \frac{d U}{d x} = - k x - α x^{2} - β x^{3} - \dots

F=-dUdx=-kx-alpha x^2-beta x^3-cdots

代入牛顿第二定律：

m \ddot{x} + k x + α x^{2} + β x^{3} + \dots = 0.

mddot x+kx+alpha x^2+beta x^3+cdots=0.

在很多场景中，最低阶非线性项就足以描述主要效应．

2. Duffing 振子（最经典的非线性模型）

Duffing 方程（含三次非线性）

\ddot{x} + 2 γ \dot{x} + ω_{0}^{2} x + ε x^{3} = \frac{F_{0}}{m} \cos (Ω t) .

ddot x+2gammadot x+omega_0^2 x+varepsilon x^3=F_0mcos(Omega t).

$ε > 0$ varepsilon>0：硬化弹簧（振幅越大，等效刚度越大，频率上移）．
$ε < 0$ varepsilon<0：软化弹簧（频率下移）．

下面给出一个常用的近似推导：在弱阻尼、弱非线性、近共振时，求稳态近似振幅 - 频率关系．

2.1 谐波平衡法（只保留基频）

假设稳态近似为

x (t) \approx A \cos (Ω t - δ) .

x(t)~ Acos(Omega t-delta).

则

x^{3} = A^{3} \cos^{3} (Ω t - δ) = \frac{A^{3}}{4} [3 \cos (Ω t - δ) + \cos (3 Ω t - 3 δ)] .

x^3=A^3cos^3(Omega t-delta)=A^34left[3cos(Omega t-delta)+cos(3Omega t-3delta)right].

若系统响应主要集中在驱动频率 $Ω$ Omega，忽略 $3 Ω$ 3Omega 的高次谐波项，得到

x^{3} \approx \frac{3 A^{3}}{4} \cos (Ω t - δ) .

x^3~ 3A^34cos(Omega t-delta).

代回方程，把同频项系数匹配（将 $\cos (Ω t - δ)$ cos(Omega t-delta) 和 $\sin (Ω t - δ)$ sin(Omega t-delta) 分离），可得幅频关系：

[{(ω_{0}^{2} + \frac{3 ε}{4} A^{2} - Ω^{2})}^{2} + (2 γ Ω)^{2}] A^{2} = {(\frac{F_{0}}{m})}^{2} .

left[left(omega_0^2+34A^2-Omega^2right)^2+(2gammaOmega)^2right]A^2=left(F_0mright)^2.

图例

Duffing 振子受迫响应的多值分支示意

上图用数值方式解出了上式在不同 $Ω$ Omega 下可能的稳态振幅分支（硬化型 $ε > 0$ varepsilon>0 示意）．在某些频段会出现多值，物理上对应跳跃/滞回现象．

这是 Duffing 振子最重要的结论之一：共振曲线会因非线性而弯折，并可能出现多值与跳跃．

理解

线性受迫振动中，稳态振幅

A = \frac{F_{0} / m}{\sqrt{(ω_{0}^{2} - Ω^{2})^{2} + (2 γ Ω)^{2}}}

A=F_0/m(omega_0^2-Omega^2)^2+(2gammaOmega)^2

现在只需把 $ω_{0}^{2}$ omega_0^2 替换为一个随 $A$ A 变化的等效量 $ω_{0}^{2} + \frac{3 ε}{4} A^{2}$ omega_0^2+3varepsilon/4A^2．

3. 非等时性：频率随振幅变化（无阻尼无驱动）

考虑无阻尼无驱动的 Duffing 自由振动：

\ddot{x} + ω_{0}^{2} x + ε x^{3} = 0.

ddot x+omega_0^2 x+varepsilon x^3=0.

能量守恒：

E = \frac{1}{2} {\dot{x}}^{2} + \frac{1}{2} ω_{0}^{2} x^{2} + \frac{1}{4} ε x^{4} .

E=frac12dot x^2+frac12omega_0^2 x^2+frac14varepsilon x^4.

若振幅为 $A$ A（转折点 $\dot{x} = 0, x = A$ dot x=0, x=A），则

E = \frac{1}{2} ω_{0}^{2} A^{2} + \frac{1}{4} ε A^{4} .

E=frac12omega_0^2 A^2+frac14varepsilon A^4.

周期可由积分给出（一般为椭圆积分）：

T = 4 \int_{0}^{A} \frac{d x}{\sqrt{2 (E - U (x))}} .

T=4int_0^Adx2(E-U(x)).

在弱非线性 $| ε | A^{2} ≪ ω_{0}^{2}$ |varepsilon|A^2llomega_0^2 下，可做近似得到频率修正（只给常用结果）：

ω (A) \approx ω_{0} (1 + \frac{3 ε A^{2}}{8 ω_{0}^{2}}) .

omega(A)~ omega_0left(1+3varepsilon A^28omega_0^2right).

$ε > 0$ varepsilon>0：频率随振幅增大而增大．
$ε < 0$ varepsilon<0：频率随振幅增大而减小．

4. Van der Pol 振子与自激振动（入门版）

Van der Pol 方程

\ddot{x} - μ (1 - x^{2}) \dot{x} + ω_{0}^{2} x = 0, μ > 0.

ddot x-mu(1-x^2)dot x+omega_0^2 x=0,quad mu>0.

其阻尼项 $- μ (1 - x^{2}) \dot{x}$ -mu(1-x^2)dot x 在 $| x | < 1$ |x|<1 时为「负阻尼」（能量注入），在 $| x | > 1$ |x|>1 时为正阻尼（能量耗散），导致系统趋向稳定的 极限环（自维持振动）．

4.1 能量观点（定性推导）

定义能量

E = \frac{1}{2} {\dot{x}}^{2} + \frac{1}{2} ω_{0}^{2} x^{2} .

E=frac12dot x^2+frac12omega_0^2 x^2.

对时间求导并代入方程：

\dot{E} = \dot{x} (\ddot{x} + ω_{0}^{2} x) = μ (1 - x^{2}) {\dot{x}}^{2} .

dot E=dot x(ddot x+omega_0^2 x)=mu(1-x^2)dot x^2.

当 $| x | < 1$ |x|<1， $\dot{E} > 0$ dot E>0：能量增长，振幅变大．
当 $| x | > 1$ |x|>1， $\dot{E} < 0$ dot E<0：能量衰减，振幅变小．

因此存在一个稳定的振幅区间，系统最终进入稳定周期运动．

例题：Van der Pol 极限环振幅的量级估计（小

μ

mu）

对 Van der Pol 方程

\ddot{x} - μ (1 - x^{2}) \dot{x} + ω_{0}^{2} x = 0, μ > 0,

ddot x-mu(1-x^2)dot x+omega_0^2 x=0,quad mu>0,

在 $μ ≪ 1$ mull 1 情况下用能量平均法估计极限环振幅的量级（给出结论即可）．

解：把系统视为「弱非线性振子 + 缓慢能量变化」．
近似取 $x \approx A \cos (ω_{0} t)$ x~ Acos(omega_0 t)，则 $\dot{x} \approx - A ω_{0} \sin (ω_{0} t)$ dot x~ -Aomega_0sin(omega_0 t)．
能量满足

\dot{E} = μ (1 - x^{2}) {\dot{x}}^{2} .

dot E=mu(1-x^2)dot x^2.

在一个周期内做平均（只保留到 $A^{4}$ A^4 的量级）：

⟨ \dot{E} ⟩ \propto ⟨ (1 - A^{2} \cos^{2} ω_{0} t) A^{2} ω_{0}^{2} \sin^{2} ω_{0} t ⟩ = A^{2} ω_{0}^{2} (\frac{1}{2} - \frac{A^{2}}{8}) .

langle dot Eranglepropto leftlangle (1-A^2cos^2omega_0 t) ,A^2omega_0^2sin^2omega_0 trightrangle =A^2omega_0^2left(frac12-A^28right).

稳态极限环对应 $⟨ \dot{E} ⟩ = 0$ langle dot Erangle=0，因此

\frac{1}{2} - \frac{A^{2}}{8} = 0 \Rightarrow A \approx 2 .

frac12-A^28=0Rightarrow A~ 2.

这说明：在弱非线性下，Van der Pol 振子的稳定振幅是一个与初始条件无关的常数（在本文无量纲化下约为 2）．

5. 什么时候必须用非线性？（经验判断）

频率/周期随振幅明显变化．
受迫振动出现跳跃、滞回、多个稳态．
响应出现明显高次谐波（ $2 Ω, 3 Ω$ 2Omega,3Omega 等）．
系统出现自激振动（无需外驱动仍能稳定振荡）．

如果你的题目或实验现象包含以上特征，线性模型往往不够，需要引入非线性项．

6. 入门了解版

6.1 自激振动（Self-Excited Oscillations）

自激振动是指系统在没有外部周期性驱动的情况下，能够维持自身振荡的现象．自然界中的自激振动例子有：风吹树梢．生活中的例子有：钟摆时钟中的擒纵机构、小提琴的弓弦振动、自来水管的喘振．

干摩擦引起的自激振动

干摩擦力通常与速度方向相反，大小近似恒定．当系统振幅较小时，摩擦力做正功，能量输入大于耗散，振幅增大；当振幅较大时，摩擦力做负功，能量耗散大于输入，振幅减小．最终系统达到一个稳定的振幅，实现自激振动．

想象一个传送带上放置一个物体，物体的一侧通过弹簧与墙相连，传送带以恒定速度运动．当物体与传送带之间存在干摩擦时，物体会在传送带上产生振动，这种振动就是由于干摩擦引起的自激振动．

由机械控制的自激振动

钟表的擒纵机构就是一个典型的机械控制自激振动系统．摆锤通过擒纵轮与齿轮相连，摆锤的振动使得擒纵轮周期性地释放能量给齿轮，从而维持摆锤的振动．这种机制确保了钟表能够持续运行．

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本页面贡献者：Leafuke, 匿名同学
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