非线性振动

注意

非线性振动对大一学生的要求不高，可以直接跳到本章节的自激振动部分，了解基本概念即可。

非线性振动（Nonlinear Oscillations）

线性振动理论（如简谐振动、线性阻尼、线性受迫）建立在“力与位移（或速度）成正比”的近似上。当振幅不再很小、恢复力/阻尼出现高次项、或系统存在几何/材料非线性时，系统方程常变为非线性微分方程：

\ddot{x} + F (x, \dot{x}, t) = 0 或 \ddot{x} + F (x, \dot{x}, t) = 外驱动 .

非线性会带来：

频率随振幅变化（非等时性）
多稳态与跳跃现象
自激振动与极限环
倍周期分岔与混沌（进阶）

本页给出竞赛/入门学习中最常见的几类模型与关键推导。

注意

非线性系统一般不满足叠加原理；频域分析与相量法很多时候需要谨慎使用。

1. 非线性恢复力：从势能展开看起

若平衡点附近势能可展开为

U (x) = U (0) + \frac{1}{2} k x^{2} + \frac{1}{3} α x^{3} + \frac{1}{4} β x^{4} + \dots

则恢复力

F = - \frac{d U}{d x} = - k x - α x^{2} - β x^{3} - \dots

代入牛顿第二定律：

m \ddot{x} + k x + α x^{2} + β x^{3} + \dots = 0.

在很多场景中，最低阶非线性项就足以描述主要效应。

2. Duffing 振子（最经典的非线性模型）

Duffing 方程（含三次非线性）

\ddot{x} + 2 γ \dot{x} + ω_{0}^{2} x + ε x^{3} = \frac{F_{0}}{m} \cos (Ω t) .

$ε > 0$ ：硬化弹簧（振幅越大，等效刚度越大，频率上移）。
$ε < 0$ ：软化弹簧（频率下移）。

下面给出一个常用的近似推导：在弱阻尼、弱非线性、近共振时，求稳态近似振幅-频率关系。

2.1 谐波平衡法（只保留基频）

假设稳态近似为

x (t) \approx A \cos (Ω t - δ) .

则

x^{3} = A^{3} \cos^{3} (Ω t - δ) = \frac{A^{3}}{4} [3 \cos (Ω t - δ) + \cos (3 Ω t - 3 δ)] .

若系统响应主要集中在驱动频率 $Ω$ ，忽略 $3 Ω$ 的高次谐波项，得到

x^{3} \approx \frac{3 A^{3}}{4} \cos (Ω t - δ) .

代回方程，把同频项系数匹配（将 $\cos (Ω t - δ)$ 和 $\sin (Ω t - δ)$ 分离），可得幅相关系：

[{(ω_{0}^{2} + \frac{3 ε}{4} A^{2} - Ω^{2})}^{2} + (2 γ Ω)^{2}] A^{2} = {(\frac{F_{0}}{m})}^{2} .

图例

Duffing 振子受迫响应的多值分支示意

上图用数值方式解出了上式在不同 $Ω$ 下可能的稳态振幅分支（硬化型 $ε > 0$ 示意）。在某些频段会出现多值，物理上对应跳跃/滞回现象。

这是 Duffing 振子最重要的结论之一：共振曲线会因非线性而弯折，并可能出现多值与跳跃。

理解

线性受迫振动中，稳态振幅 $$ A=\frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\Omega2)^{2+(2\gamma\Omega)}2}} $$ 现在只需把 $ω_{0}^{2}$ 替换为一个随 $A$ 变化的等效量 $ω_{0}^{2} + \frac{3 ε}{4} A^{2}$ 。

3. 非等时性：频率随振幅变化（无阻尼无驱动）

考虑无阻尼无驱动的 Duffing 自由振动：

\ddot{x} + ω_{0}^{2} x + ε x^{3} = 0.

能量守恒：

E = \frac{1}{2} {\dot{x}}^{2} + \frac{1}{2} ω_{0}^{2} x^{2} + \frac{1}{4} ε x^{4} .

若振幅为 $A$ （转折点 $\dot{x} = 0, x = A$ ），则

E = \frac{1}{2} ω_{0}^{2} A^{2} + \frac{1}{4} ε A^{4} .

周期可由积分给出（一般为椭圆积分）：

T = 4 \int_{0}^{A} \frac{d x}{\sqrt{2 (E - U (x))}} .

在弱非线性 $| ε | A^{2} ≪ ω_{0}^{2}$ 下，可做近似得到频率修正（只给常用结果）：

ω (A) \approx ω_{0} (1 + \frac{3 ε A^{2}}{8 ω_{0}^{2}}) .

$ε > 0$ ：频率随振幅增大而增大。
$ε < 0$ ：频率随振幅增大而减小。

4. Van der Pol 振子与自激振动（入门版）

Van der Pol 方程

\ddot{x} - μ (1 - x^{2}) \dot{x} + ω_{0}^{2} x = 0, μ > 0.

其阻尼项 $- μ (1 - x^{2}) \dot{x}$ 在 $| x | < 1$ 时为“负阻尼”（能量注入），在 $| x | > 1$ 时为正阻尼（能量耗散），导致系统趋向稳定的极限环（自维持振动）。

4.1 能量观点（定性推导）

定义能量

E = \frac{1}{2} {\dot{x}}^{2} + \frac{1}{2} ω_{0}^{2} x^{2} .

对时间求导并代入方程：

\dot{E} = \dot{x} (\ddot{x} + ω_{0}^{2} x) = μ (1 - x^{2}) {\dot{x}}^{2} .

当 $| x | < 1$ ， $\dot{E} > 0$ ：能量增长，振幅变大。
当 $| x | > 1$ ， $\dot{E} < 0$ ：能量衰减，振幅变小。

因此存在一个稳定的振幅区间，系统最终进入稳定周期运动。

例题：Van der Pol 极限环振幅的量级估计（小

μ

）

对 Van der Pol 方程 $$ \ddot x-\mu(1-x^2)\dot x+\omega_0^2 x=0,\quad \mu>0, $$ 在 $μ ≪ 1$ 情况下用能量平均法估计极限环振幅的量级（给出结论即可）。

解：把系统视为“弱非线性振子 + 缓慢能量变化”。近似取 $x \approx A \cos (ω_{0} t)$ ，则 $\dot{x} \approx - A ω_{0} \sin (ω_{0} t)$ 。能量满足 $$ \dot E=\mu(1-x^2)\dot x^2. $$

在一个周期内做平均（只保留到 $A^{4}$ 的量级）： $$ \langle \dot E\rangle\propto \left\langle (1-A^2\cos2\omega_0 t)\,A^2\omega_02\sin^2\omega_0 t\right\rangle =A^2\omega_02\left(\frac12-\frac{A^2}{8}\right). $$ 稳态极限环对应 $⟨ \dot{E} ⟩ = 0$ ，因此 $$ \frac12-\frac{A^2}{8}=0\Rightarrow \boxed{A\approx 2}. $$

这说明：在弱非线性下，Van der Pol 振子的稳定振幅是一个与初始条件无关的常数量级（约为 2）。

5. 什么时候必须用非线性？（经验判断）

频率/周期随振幅明显变化。
受迫振动出现跳跃、滞回、多个稳态。
响应出现明显高次谐波（ $2 Ω, 3 Ω$ 等）。
系统出现自激振动（无需外驱动仍能稳定振荡）。

如果你的题目或实验现象包含以上特征，线性模型往往不够，需要引入非线性项。

6. 入门了解版

6.1 自激振动（Self-Excited Oscillations）

自激振动是指系统在没有外部周期性驱动的情况下，能够维持自身振荡的现象。自然界中的自激振动例子有：风吹树梢。生活中的例子有：钟摆时钟中的擒纵机构、小提琴的弓弦振动、自来水管的喘振。

干摩擦引起的自激振动

干摩擦力通常与速度方向相反，大小近似恒定。当系统振幅较小时，摩擦力做正功，能量输入大于耗散，振幅增大；当振幅较大时，摩擦力做负功，能量耗散大于输入，振幅减小。最终系统达到一个稳定的振幅，实现自激振动。

想象一个传送带上放置一个物体，物体的一侧通过弹簧与墙相连，传送带以恒定速度运动。当物体与传送带之间存在干摩擦时，物体会在传送带上产生振动，这种振动就是由于干摩擦引起的自激振动。

由机械控制的自激振动

钟表的擒纵机构就是一个典型的机械控制自激振动系统。摆锤通过擒纵轮与齿轮相连，摆锤的振动使得擒纵轮周期性地释放能量给齿轮，从而维持摆锤的振动。这种机制确保了钟表能够持续运行。

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本页面贡献者：Leafuke, 匿名同学
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