线性振动

线性振动是物理学中一种重要的运动形式，广泛存在于各种物理系统中．它通常指系统在平衡位置附近的小幅度振动，其运动方程可以用线性微分方程描述．

简谐振动

如果某一物理量在平衡点附近往复振动，且随时间的变化是余弦（或正弦）的函数形式，我们就把这种振动称为简谐振动．

运动方程推导

简谐振动是最基本的线性振动形式，其运动方程为：

\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + ω^{2} x = 0

d^2xdt^2 + omega^2 x = 0

这一方程可以通过牛顿第二定律推导得到．例如，对于一个质量为 $m$ m 的物体，受到的回复力 $F$ F 满足胡克定律：

F = - k x

F = -kx

根据牛顿第二定律：

F = m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}

F = md^2xdt^2

代入回复力表达式：

m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - k x

md^2xdt^2 = -kx

整理得：

\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + \frac{k}{m} x = 0

d^2xdt^2 + kmx = 0

令 $ω = \sqrt{\frac{k}{m}}$ omega = k/m，即得简谐振动的运动方程．

解的形式

该方程的通解为：

x (t) = A \cos (ω t + ϕ)

x(t) = A cos(omega t + phi)

其中：

$A$ A 为振幅，振子离开平衡位置的最大位移的绝对值，由初始条件决定．是求解上述微分方程时引入的常量；
$ϕ$ phi 为初相位，初始时刻振子的相位，由初始条件决定．是求解上述微分方程时引入的常量；
$ω$ omega 为角频率（圆频率），在简谐振动的几何表示中，表示旋转矢量的角速度；
$x$ x 为位移，表示振子相对于平衡位置的偏移量．

例 1

设一个质量为 $m$ m 的物体连接在弹簧上，弹簧劲度系数为 $k$ k．求该系统的角频率 $ω$ omega 及其运动方程．

解：
易得运动方程为：

\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + \frac{k}{m} x = 0

d^2xdt^2 + kmx = 0

角频率：

ω = \sqrt{\frac{k}{m}}

omega = km

因此，运动方程为：

x (t) = A \cos (\sqrt{\frac{k}{m}} t + ϕ)

x(t) = A cosleft(kmt + phiright)

其中 $A$ A 和 $ϕ$ phi 由初始条件决定．

例 2

设一个质量为 $m$ m 的物体连接在摆绳上，摆长为 $l$ l．求该单摆系统的角频率 $ω$ omega 及其运动方程．

解：

M = - m g l \sin θ = I β = m l^{2} \frac{d^{2} θ}{d t^{2}}

M = -mglsintheta = Ibeta = ml^2 d^2dt^2

对于小角度摆动， $\sin θ \approx θ$ sintheta ~ theta，单摆的运动方程为：

\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + \frac{g}{l} θ = 0

d^2dt^2 + gltheta = 0

角频率：

ω = \sqrt{\frac{g}{l}}

omega = gl

因此，运动方程为：

θ (t) = A \cos (\sqrt{\frac{g}{l}} t + ϕ)

theta(t) = A cosleft(glt + phiright)

其中 $A$ A 和 $ϕ$ phi 由初始条件决定．

小角度近似

在单摆的例子中，我们使用了小角度近似 $\sin θ \approx θ$ sintheta ~ theta．这一近似仅在摆动角度较小时成立（通常小于约 10 度）．对于较大的摆动角度，运动方程将变得非线性，不能再用简谐振动的形式描述．

简谐振动的判断

并非所有往复振动都是简谐振动．简谐振动要求回复力与位移成正比且方向相反，即满足 胡克定律的形式．对于非线性系统或大幅度振动，运动方程可能不再是线性的，不能用简谐振动的形式描述．我们往往也可以通过得到相应的 特征微分方程 来判断振动是否为简谐振动．

周期与频率

振动的周期 $T$ T 和频率 $f$ f 分别为：

T = \frac{2 π}{ω}, f = \frac{1}{T} = \frac{ω}{2 π} .

T = 2omega, quad f = 1T = 2pi.

相位

振动的相位 $θ$ theta 定义为：

θ = ω t + ϕ .

theta = omega t + phi.

相位表示振动在某一时刻所处的位置状态．规定 $0 < θ < 2 π$ 0 < theta < 2pi．

对于两个同频简谐振动，其相位差 $Δ θ$ Delta theta 为：

Δ θ = θ_{1} - θ_{2} = ϕ_{1} - ϕ_{2} .

Delta theta = theta_1 - theta_2 = phi_1 - phi_2.

若 $Δ θ = 0$ Delta theta = 0，则两振动同相，若 $Δ θ = π$ Delta theta = pi，则两振动反相．若 $0 < Δ θ < π$ 0 < Delta theta < pi，则称 $x_{1}$ x_1 比 $x_{2}$ x_2 超前，若 $π < Δ θ < 2 π$ pi < Delta theta < 2pi，则称 $x_{1}$ x_1 比 $x_{2}$ x_2 落后．

x, v, a 三者的相位关系

x (t) = A \cos (ω t + ϕ)

x(t) = A cos(omega t + phi)

v (t) = - A ω \cos (ω t + ϕ + \frac{π}{2}) = A ω \sin (ω t + ϕ)

v(t) = -Aomega cos(omega t + phi + 2) = Aomega sin(omega t + phi)

a (t) = - A ω^{2} \cos (ω t + ϕ + π) = - A ω^{2} \cos (ω t + ϕ)

a(t) = -Aomega^2 cos(omega t + phi + pi) = -Aomega^2 cos(omega t + phi)

由此可见，速度 $v$ v 比位移 $x$ x 超前 $\frac{π}{2}$ pi/2，加速度 $a$ a 与位移 $x$ x 反相．你可以想想为什么会有这样的相位关系．

能量分析

动能与势能

简谐振动的能量包括动能和势能，其表达式分别为：

动能：

E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2} \sin^{2} (ω t + ϕ)

E_k = 12mv^2 = 12momega^2A^2sin^2(omega t + phi)

在一个周期内的平均值：

\overset{―}{E_{k}} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} E_{k} d t = \frac{1}{4} k A^{2}

E_k = 1Tint_0^T E_k dt = 14kA^2

势能：

E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{2} \cos^{2} (ω t + ϕ)

E_p = 12kx^2 = 12kA^2cos^2(omega t + phi)

在一个周期内的平均值：

\overset{―}{E_{p}} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} E_{p} d t = \frac{1}{4} k A^{2}

E_p = 1Tint_0^T E_p dt = 14kA^2

总能量守恒

总能量为动能与势能之和：

E = E_{k} + E_{p} = \frac{1}{2} k A^{2} = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2}

E = E_k + E_p = 12kA^2 = 12momega^2A^2

总能量在振动过程中保持不变，动能和势能在振动过程中相互转化．

简谐振动的几何表示

简谐振动可以通过旋转矢量的投影来几何表示．设一个长度为 $A$ A 的旋转矢量以角速度 $ω$ omega 绕原点逆时针旋转，其在水平轴上的投影即为简谐振动的位移 $x (t)$ x(t)：

简正模

在多自由度系统中，线性振动可以分解为若干个独立的简正模（Normal Modes）．每个简正模对应一个特定的频率和振动模式，系统的总振动可以看作这些简正模的叠加．

用复数表示简谐振动

简谐振动

x (t) = A \cos (ω t + φ)

x(t) = A cos(omega t + varphi)

也可以用复数的实部和虚部表示：

\tilde{x} (t) = A e^{i (ω t + φ)}

x(t)=Ae^i(omega t+varphi)

其中， $A$ A 为振幅， $ω$ omega 为角频率， $φ$ varphi 为初相位．

上式的右端又可以写为 $(A e^{i φ}) e^{i ω t} = \tilde{A} e^{i ω t}$ (Ae^ivarphi)e^iomega t=Ae^iomega t，其中 $A e^{i φ} = \tilde{A}$ Ae^ivarphi=A 是一个复常数，表示振动的初始状态，称为 复振幅．

\tilde{x} (t) = \tilde{A} e^{i ω t}

x(t)=Ae^iomega t

如果我们取上式的实部，就得到了简谐振动的标准形式：

x (t) = Re (\tilde{x} (t)) = Re (\tilde{A} e^{i ω t}) = A \cos (ω t + φ)

x(t)=Re(x(t))=Re(Ae^iomega t)=Acos(omega t+varphi)

用 $\tilde{x} (t)$ x(t) 表示简谐振动，则速度和加速度为

{\begin{cases} \tilde{v} (t) = \frac{d \tilde{x} (t)}{d t} = i ω \tilde{A} e^{i ω t} = i ω \tilde{x} (t) \\ \tilde{a} (t) = \frac{d \tilde{v} (t)}{d t} = \frac{d^{2} \tilde{x} (t)}{d t^{2}} = - ω^{2} \tilde{A} e^{i ω t} = - ω^{2} \tilde{x} (t) \end{cases}

cases v(t)=dx(t)dt=iomega Ae^iomega t=iomega x(t) a(t)=dv(t)dt=d^2x(t)dt^2=-omega^2 Ae^iomega t=-omega^2 x(t) cases

例题

已知一个线性三原子分子 $A_{2} B$ A_2B 的纵向振动模型：质量为 $m$ m 的两个 $A$ A 原子位于两端，质量为 $M$ M 的 $B$ B 原子位于中间；相邻原子间由劲度系数均为 $k$ k 的弹簧连接（ $A$ A– $B$ B 与 $B$ B– $A$ A）．求简正模与对应角频率．

解：设三原子沿直线位移为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ x_1,x_2,x_3（分别对应 $A, B, A$ A,B,A），取平衡位置为零．
弹簧形变为 $x_{1} - x_{2}$ x_1-x_2 与 $x_{3} - x_{2}$ x_3-x_2，于是运动方程为

{\begin{cases} m {\ddot{x}}_{1} = - k (x_{1} - x_{2}), \\ M {\ddot{x}}_{2} = - k (x_{2} - x_{1}) - k (x_{2} - x_{3}) = - k (2 x_{2} - x_{1} - x_{3}), \\ m {\ddot{x}}_{3} = - k (x_{3} - x_{2}) . \end{cases}

cases mddot x_1=-k(x_1-x_2), Mddot x_2=-k(x_2-x_1)-k(x_2-x_3)=-k(2x_2-x_1-x_3), mddot x_3=-k(x_3-x_2). cases

取简正模形式 $x_{j} (t) = a_{j} e^{i ω t}$ x_j(t)=a_j e^iomega t，得到代数方程

{\begin{cases} m ω^{2} a_{1} = k (a_{1} - a_{2}), \\ M ω^{2} a_{2} = k (2 a_{2} - a_{1} - a_{3}), \\ m ω^{2} a_{3} = k (a_{3} - a_{2}) . \end{cases}

cases momega^2 a_1=k(a_1-a_2), Momega^2 a_2=k(2a_2-a_1-a_3), momega^2 a_3=k(a_3-a_2). cases

利用对称性分两类：

整体平移模： $a_{1} = a_{2} = a_{3}$ a_1=a_2=a_3，此时弹簧不伸长， $ω_{0} = 0$ omega_0=0．
反对称伸缩模： $a_{1} = - a_{3}$ a_1=-a_3，由对称性得 $a_{2} = 0$ a_2=0．
代入第一式得 $m ω^{2} a_{1} = k a_{1}$ momega^2 a_1=k a_1，因此

ω_{-} = \sqrt{\frac{k}{m}}, (a_{1}, a_{2}, a_{3}) \propto (1, 0, - 1) .

omega_- = km,quad (a_1,a_2,a_3)propto(1,0,-1).

对称伸缩模： $a_{1} = a_{3} = a$ a_1=a_3=a， $a_{2} = b$ a_2=b．
由第一式 $m ω^{2} a = k (a - b)$ momega^2 a=k(a-b)，第二式 $M ω^{2} b = 2 k (b - a)$ Momega^2 b=2k(b-a)．
联立消去 $b$ b 可得

ω_{+}^{2} = \frac{k}{m} + \frac{2 k}{M}, (a_{1}, a_{2}, a_{3}) \propto (1, - \frac{2 m}{M}, 1) .

omega_+^2=km+2kM,quad (a_1,a_2,a_3)proptoleft(1,-2mM,1right).

因此该分子有一个零频平移模与两个非零振动模 $ω_{-}, ω_{+}$ omega_-,omega_+．

例题：受迫振动中「功率共振」的频率

对线性受迫振动

\ddot{x} + 2 γ \dot{x} + ω_{0}^{2} x = \frac{F_{0}}{m} \cos (Ω t),

ddot x+2gammadot x+omega_0^2x=F_0mcos(Omega t),

证明稳态下平均耗散功率 $⟨ P ⟩$ langle Prangle 取最大值时的驱动频率为 $Ω = ω_{0}$ Omega=omega_0．

解：稳态响应 $x = A \cos (Ω t - δ)$ x=Acos(Omega t-delta)．
阻尼耗散功率 $P_{d} = b {\dot{x}}^{2}$ P_d=bdot x^2，周期平均

⟨ P ⟩ = b ⟨ {\dot{x}}^{2} ⟩ = b \cdot \frac{1}{2} A^{2} Ω^{2} .

langle Prangle=blangledot x^2rangle=b*frac12A^2Omega^2.

用 $b = 2 m γ$ b=2mgamma 与

A^{2} = \frac{(F_{0} / m)^{2}}{(ω_{0}^{2} - Ω^{2})^{2} + (2 γ Ω)^{2}}

A^2=(F_0/m)^2(omega_0^2-Omega^2)^2+(2gammaOmega)^2

得

⟨ P ⟩ \propto \frac{Ω^{2}}{(ω_{0}^{2} - Ω^{2})^{2} + (2 γ Ω)^{2}} .

langle Pranglepropto Omega^2(omega_0^2-Omega^2)^2+(2gammaOmega)^2.

对 $Ω$ Omega 求极值可得最大值发生在 $Ω = ω_{0}$ Omega=omega_0．

阻尼振动

运动方程

当系统受到阻尼力作用时，振动会逐渐衰减，其运动方程为：

\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 2 β \frac{d x}{d t} + ω^{2} x = 0

d^2xdt^2 + 2beta dxdt + omega^2 x = 0

其中 $β$ beta 为阻尼系数，描述阻尼的强弱．

解的形式

根据阻尼的大小，解的形式不同：

欠阻尼振动（ $β < ω$ beta < omega）：

x (t) = A e^{- β t} \cos (ω_{d} t + ϕ)

x(t) = A e^-beta t cos(omega_d t + phi)

其中 $ω_{d} = \sqrt{ω^{2} - β^{2}}$ omega_d = omega^2 - beta^2 为阻尼振动的角频率．

图例

欠阻尼振动

临界阻尼（ $β = ω$ beta = omega）：

x (t) = (C_{1} + C_{2} t) e^{- β t}

x(t) = (C_1 + C_2 t)e^-beta t

图例

临界阻尼振动

过阻尼（ $β > ω$ beta > omega）：

x (t) = C_{1} e^{r_{1} t} + C_{2} e^{r_{2} t}

x(t) = C_1 e^r_1 t + C_2 e^r_2 t

其中 $r_{1}$ r_1 和 $r_{2}$ r_2 为两个负实根．

图例

过阻尼振动

能量衰减

欠阻尼振动中，系统的总能量随时间指数衰减：

E (t) = E_{0} e^{- 2 β t}

E(t) = E_0 e^-2beta t

受迫振动

运动方程

当系统受到周期性外力作用时，其运动方程为：

\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 2 β \frac{d x}{d t} + ω^{2} x = F_{0} \cos (Ω t)

d^2xdt^2 + 2beta dxdt + omega^2 x = F_0 cos(Omega t)

其中：

$F_{0}$ F_0 为外力的振幅；
$Ω$ Omega 为外力的角频率．

稳态解

稳态解为：

x (t) = A \cos (Ω t - δ)

x(t) = A cos(Omega t - delta)

其中：

$A = \frac{F_{0}}{\sqrt{(ω^{2} - Ω^{2})^{2} + (2 β Ω)^{2}}}$ A = F_0/(omega^2 - Omega^2)^2 + (2betaOmega)^2 为稳态振幅；
$δ = \arctan (\frac{2 β Ω}{ω^{2} - Ω^{2}})$ delta = arctanleft(2betaOmega/omega^2 - Omega^2right) 为相位差．

共振现象

当驱动力频率接近系统的固有频率时，即 $Ω \approx ω$ Omega ~ omega，系统的振幅达到最大值，称为共振．

共振条件下的振幅为：

A_{res} = \frac{F_{0}}{2 β ω}

A_res = F_02betaomega

应用

线性振动在工程、物理和日常生活中有广泛的应用，例如：

钟摆的运动：简谐振动的经典例子；
弹簧 - 质量系统：描述机械振动；
电路中的交流电振荡：电感 - 电容回路的振荡；
建筑物的抗震设计：利用阻尼减小振幅．

本页面最近更新：2026/10/3 14:57:39，更新历史
发现错误？想一起完善？在 GitHub 上编辑此页！
本页面贡献者：Leafuke, 匿名同学
本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用

线性振动

简谐振动

运动方程推导

解的形式

周期与频率

相位

x, v, a 三者的相位关系

能量分析

动能与势能

总能量守恒

简谐振动的几何表示

简正模

用复数表示简谐振动

阻尼振动

运动方程

解的形式

能量衰减

受迫振动

运动方程

稳态解

共振现象

应用

评论