线性振动

线性振动是物理学中一种重要的运动形式，广泛存在于各种物理系统中．它通常指系统在平衡位置附近的小幅度振动，其运动方程可以用线性微分方程描述．

简单谐振动

如果某一物量在平衡点附近往复振动，且随时间的变化是余弦（或正弦）的函数形式，我们就把这种振动称为简谐振动．

运动方程推导

简单谐振动是最基本的线性振动形式，其运动方程为：

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=0$$

这一方程可以通过牛顿第二定律推导得到．例如，对于一个质量为 $m$ 的物体，受到的回复力 $F$ 满足胡克定律：

$$F=-kx$$

根据牛顿第二定律：

$$F=m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$$

代入回复力表达式：

$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx$$

整理得：

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{k}{m}x=0$$

令 $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$，即得简单谐振动的运动方程．

解的形式

该方程的通解为：

$$x(t)=A\cos (\omega t+\varphi )$$

其中：

• $A$ 为振幅，振子离开平衡位置的最大位移的绝对值，由初始条件决定．是求解上述微分方程时引入的常量；
• $\varphi$ 为初相位，初始时刻振子的相位，由初始条件决定．是求解上述微分方程时引入的常量；
• $\omega$ 为角频率（圆频率），在简谐振动的几何表示中，表示旋转矢量的角速度；
• $x$ 为位移，表示振子相对于平衡位置的偏移量．

例 1

设一个质量为 $m$ 的物体连接在弹簧上，弹簧劲度系数为 $k$．求该系统的角频率 $\omega$ 及其运动方程．

解：
易得运动方程为：

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{k}{m}x=0$$

角频率：

$$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$$

因此，运动方程为：

$$x(t)=A\cos (\sqrt{\frac{k}{m}}t+\varphi )$$

其中 $A$ 和 $\varphi$ 由初始条件决定．

例 2

设一个质量为 $m$ 的物体连接在摆绳上，摆长为 $l$．求该单摆系统的角频率 $\omega$ 及其运动方程．

解：

$$M=-mgl\sin \theta =I\beta =m{l}^2\frac{d^2\theta }{d{t}^2}$$

对于小角度摆动，$\sin \theta \approx \theta$，单摆的运动方程为：

$$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{g}{l}\theta =0$$

角频率：

$$\omega =\sqrt{\frac{g}{l}}$$

因此，运动方程为：

$$\theta (t)=A\cos (\sqrt{\frac{g}{l}}t+\varphi )$$

其中 $A$ 和 $\varphi$ 由初始条件决定．

周期与频率

振动的周期 $T$ 和频率 $f$ 分别为：

$$T=\frac{2\pi }{\omega },f=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }.$$

相位

振动的相位 $\theta$ 定义为：

$$\theta =\omega t+\varphi .$$

相位表示振动在某一时刻所处的位置状态．规定 ．

对于两个同频简谐振动，其相位差 $\mathrm{\Delta }\theta$ 为：

$$\mathrm{\Delta }\theta ={\theta }_1-{\theta }_2={\varphi }_1-{\varphi }_2.$$

若 $\mathrm{\Delta }\theta =0$，则两振动 同相，若 $\mathrm{\Delta }\theta =\pi$，则两振动 反相． 若 ，则称 $x_1$ 比 $x_2$ 超前，若 ，则则称 $x_1$ 比 $x_2$ 落后．

x, v, a 三者的相位关系

$$x(t)=A\cos (\omega t+\varphi )$$

$$v(t)=-A\omega \cos (\omega t+\varphi +\frac{\pi }{2})=A\omega \sin (\omega t+\varphi )$$

$$a(t)=-A{\omega }^2\cos (\omega t+\varphi +\pi )=-A{\omega }^2\cos (\omega t+\varphi )$$

由此可见，速度 $v$ 比位移 $x$ 超前 $\frac{\pi }{2}$，加速度 $a$ 与位移 $x$ 反相．你可以想想为什么会有这样的相位关系．

能量分析

动能与势能

简单谐振动的能量包括动能和势能，其表达式分别为：

• 动能：

$$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2{\sin }^2(\omega t+\varphi )$$

在一个周期内的平均值：

$$\overline{E_k}=\frac{1}{T}{\int }_0^T{E}_{k}dt=\frac{1}{4}k{A}^2$$

• 势能：

$$E_p=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}k{A}^2{\cos }^2(\omega t+\varphi )$$

在一个周期内的平均值：

$$\overline{E_p}=\frac{1}{T}{\int }_0^T{E}_{p}dt=\frac{1}{4}k{A}^2$$

总能量守恒

总能量为动能与势能之和：

$$E=E_k+E_p=\frac{1}{2}k{A}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2$$

总能量在振动过程中保持不变，动能和势能在振动过程中相互转化．

简谐振动的几何表示

简谐振动可以通过旋转矢量的投影来几何表示．设一个长度为 $A$ 的旋转矢量以角速度 $\omega$ 绕原点逆时针旋转，其在水平轴上的投影即为简谐振动的位移 $x(t)$：

简正模

在多自由度系统中，线性振动可以分解为若干个独立的简正模（Normal Modes）．每个简正模对应一个特定的频率和振动模式，系统的总振动可以看作这些简正模的叠加．

用复数表示简谐振动

简谐振动

$$x(t)=A\cos (\omega t+\phi )$$

也可以用复数的实部和虚部表示：

$$\tilde{x}(t)=A{e}^{i(\omega t+\phi )}$$

其中，$A$ 为振幅，$\omega$ 为角频率，$\phi$ 为初相位．

上式的右端又可以写为 $(A{e}^{i\phi })e^{i\omega t}=\tilde{A}{e}^{i\omega t}$，其中 $A{e}^{i\phi }=\tilde{A}$ 是一个复常数，表示振动的初始状态，称为 复振幅．

$$\tilde{x}(t)=\tilde{A}{e}^{i\omega t}$$

如果我们取上式的实部，就得到了简谐振动的标准形式：

$$x(t)=\mathrm{Re}(\tilde{x}(t))=\mathrm{Re}(\tilde{A}{e}^{i\omega t})=A\cos (\omega t+\phi )$$

用 $\tilde{x}(t)$ 表示简谐振动，则速度和加速度为

$$\{\begin{array}{l}\tilde{v}(t)={\displaystyle \frac{d\tilde{x}(t)}{dt}}=i\omega \tilde{A}{e}^{i\omega t}=i\omega \tilde{x}(t)\\ \tilde{a}(t)={\displaystyle \frac{d\tilde{v}(t)}{dt}}={\displaystyle \frac{d^2\tilde{x}(t)}{d{t}^2}}=-{\omega }^2\tilde{A}{e}^{i\omega t}=-{\omega }^2\tilde{x}(t)\end{array}$$

例题

已知一个线性三原子分子 $A_{2}B$ 的纵向振动模型：质量为 $m$ 的两个 $A$ 原子位于两端，质量为 $M$ 的 $B$ 原子位于中间；相邻原子间由劲度系数均为 $k$ 的弹簧连接（$A$–$B$ 与 $B$–$A$）．求简正模与对应角频率．

** 解：** 设三原子沿直线位移为 $x_1,x_2,x_3$（分别对应 $A,B,A$），取平衡位置为零．
弹簧形变为 $x_1-x_2$ 与 $x_3-x_2$，于是运动方程为

$$\{\begin{array}{l}m{\ddot{x}}_1=-k(x_1-x_2),\\ M{\ddot{x}}_2=-k(x_2-x_1)-k(x_2-x_3)=-k(2x_2-x_1-x_3),\\ m{\ddot{x}}_3=-k(x_3-x_2).\end{array}$$

取简正模形式 $x_j(t)=a_j{e}^{i\omega t}$，得到代数方程

$$\{\begin{array}{l}m{\omega }^2{a}_1=k(a_1-a_2),\\ M{\omega }^2{a}_2=k(2a_2-a_1-a_3),\\ m{\omega }^2{a}_3=k(a_3-a_2).\end{array}$$

利用对称性分两类：

1. 整体平移模：$a_1=a_2=a_3$，此时弹簧不伸长，${\omega }_0=0$．

2. 反对称伸缩模：$a_1=-a_3$，由对称性得 $a_2=0$．
   代入第一式得 $m{\omega }^2{a}_1=k{a}_1$，因此

$${\omega }_{-}=\sqrt{\frac{k}{m}},(a_1,a_2,a_3)\propto (1,0,-1).$$

1. 对称伸缩模：$a_1=a_3=a$，$a_2=b$．
   由第一式 $m{\omega }^{2}a=k(a-b)$，第二式 $M{\omega }^{2}b=2k(b-a)$．
   联立消去 $b$ 可得

$${\omega }_{+}^2=\frac{k}{m}+\frac{2k}{M},(a_1,a_2,a_3)\propto (1,-\frac{2m}{M},1).$$

因此该分子有一个零频平移模与两个非零振动模 ${\omega }_{-},{\omega }_{+}$．

例题：受迫振动中「功率共振」的频率

对线性受迫振动

$$\ddot{x}+2\gamma \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=\frac{F_0}{m}\cos \left(\mathrm{\Omega }t\right),$$

证明稳态下平均耗散功率 $⟨P⟩$ 取最大值时的驱动频率为 $\mathrm{\Omega }={\omega }_0$．

** 解：** 稳态响应 $x=A\cos (\mathrm{\Omega }t-\delta )$．
阻尼耗散功率 $P_d=b{\dot{x}}^2$，周期平均

$$⟨P⟩=b⟨{\dot{x}}^2⟩=b\cdot \frac{1}{2}{A}^2{\mathrm{\Omega }}^2.$$

用 $b=2m\gamma$ 与

$$A^2=\frac{(F_0/m{)}^2}{({\omega }_0^2-{\mathrm{\Omega }}^2{)}^2+(2\gamma \mathrm{\Omega }{)}^2}$$

得

$$⟨P⟩\propto \frac{{\mathrm{\Omega }}^2}{({\omega }_0^2-{\mathrm{\Omega }}^2{)}^2+(2\gamma \mathrm{\Omega }{)}^2}.$$

对 $\mathrm{\Omega }$ 求极值可得最大值发生在 $\mathrm{\Omega }={\omega }_0$．

阻尼振动

运动方程

当系统受到阻尼力作用时，振动会逐渐衰减，其运动方程为：

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+2\beta \frac{dx}{dt}+{\omega }^{2}x=0$$

其中 $\beta$ 为阻尼系数，描述阻尼的强弱．

解的形式

根据阻尼的大小，解的形式不同：

1. 欠阻尼振动（）：

$$x(t)=A{e}^{-\beta t}\cos ({\omega }_{d}t+\varphi )$$

其中 ${\omega }_d=\sqrt{{\omega }^2-{\beta }^2}$ 为阻尼振动的角频率．

1. 临界阻尼（$\beta =\omega$）：

$$x(t)=(C_1+C_{2}t)e^{-\beta t}$$

1. 过阻尼（）：

$$x(t)=C_1{e}^{r_{1}t}+C_2{e}^{r_{2}t}$$

其中 $r_1$ 和 $r_2$ 为两个负实根．

能量衰减

欠阻尼振动中，系统的总能量随时间指数衰减：

$$E(t)=E_0{e}^{-2\beta t}$$

强迫振动

运动方程

当系统受到周期性外力作用时，其运动方程为：

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+2\beta \frac{dx}{dt}+{\omega }^{2}x=F_0\cos \left(\mathrm{\Omega }t\right)$$

其中：

• $F_0$ 为外力的振幅；
• $\mathrm{\Omega }$ 为外力的角频率．

稳态解

稳态解为：

$$x(t)=A\cos (\mathrm{\Omega }t-\delta )$$

其中：

• $A=\frac{F_0}{\sqrt{({\omega }^2-{\mathrm{\Omega }}^2{)}^2+(2\beta \mathrm{\Omega }{)}^2}}$ 为稳态振幅；
• $\delta =\arctan \left(\frac{2\beta \mathrm{\Omega }}{{\omega }^2-{\mathrm{\Omega }}^2}\right)$ 为相位差．

共振现象

当驱动力频率接近系统的固有频率时，即 $\mathrm{\Omega }\approx \omega$，系统的振幅达到最大值，称为 共振．

共振条件下的振幅为：

$$A_{\text{res}}=\frac{F_0}{2\beta \omega }$$

应用

线性振动在工程、物理和日常生活中有广泛的应用，例如：

• 钟摆的运动：简单谐振动的经典例子；
• 弹簧 - 质量系统：描述机械振动；
• 电路中的交流电振荡：电感 - 电容回路的振荡；
• 建筑物的抗震设计：利用阻尼减小振幅．

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本页面贡献者：Leafuke, 匿名同学
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