简谐波

简谐波（Harmonic Waves）

「简谐波」指在空间与时间上呈正弦（或余弦）形式的波，是线性波动中最基本的解． 它既是理解波动方程、波速、相速度/群速度、干涉衍射等现象的基石，也是把一般波形分解为频率分量（傅里叶分析）的核心对象．

0. 什么是波动

波动是自然界中一种普遍存在的现象，它描述了某种扰动在空间和时间上的传播．我们在日常生活中可以观察到许多波动的例子：

• 水波：当一颗石子投入平静的湖面时，水面会出现一圈圈向外扩散的波纹，这就是水波．
• 声波：我们通过空气中的声波听到声音．声波是由物体振动引起的空气分子密度的周期性变化．
• 光波：太阳光穿过窗户照亮房间，光波是一种电磁波，它不需要介质也能传播．
• 地震波：地震发生时，地壳的震动会以波的形式传播，形成地震波．

波动的本质是能量的传播，而不是物质的移动．例如，当水波传播时，水分子只是围绕其平衡位置做上下或前后的振动，而不是随着波一起移动．

波动可以分为两大类：

1. 机械波：需要介质传播的波，例如水波、声波和地震波．机械波的传播依赖于介质中粒子的相互作用．
2. 电磁波：不需要介质也能传播的波，例如光波、无线电波和 X 射线．电磁波是由电场和磁场相互作用形成的．

波动的基本特性包括：

• 振幅：描述波动的强度．
• 波长：相邻两个波峰或波谷之间的距离．
• 频率：每秒内波动完成的周期数．
• 波速：波在介质中传播的速度．

通过研究波动，我们能够理解许多自然现象的规律，例如声音的传播、光的折射与干涉、地震的成因等．波动也是现代科技的基础，例如无线通信、激光技术和医学成像等领域都依赖于对波动的深入理解．

1. 一维简谐行波的表达式

沿 $x$ 轴传播的简谐行波可写为

$$y(x,t)=A\cos (\omega t-kx+\phi ).$$

• $A$：振幅
• $k$：波数
• $\omega$：角频率
• $\phi$：初相位

波长与周期：

$$\lambda =\frac{2\pi }{k},T=\frac{2\pi }{\omega },f=\frac{1}{T}.$$

我们可以用 相位传输法 来理解这个简谐波的方程．对于一个从原点开始上下振动的波源，其振动表达式为 $y(0,t)=A\cos (\omega t+\phi )$．当波源在时间 $t$ 处于某一相位时，距离波源 $x$ 处的点需要等到时间 $t+\frac{x}{v}$ 才能感受到这个相位的变化（其中 $v$ 是波速）．因此，距离 $x$ 处的点的振动可以表示为：

$$y(x,t)=A\cos (\omega (t-\frac{x}{v})+\phi )$$

令 $k=\frac{\omega }{v}$，则得到简谐波的标准形式：

$$y(x,t)=A\cos (\omega t-kx+\phi )$$

更一般地，如果这个波源位于 $x=x_0$，则振动表达式为

$$y(x,t)=A\cos (\omega t-k(x-x_0)+\phi )$$

相速度（phase velocity）：保持相位 $\omega t-kx+\phi =\text{常数}$，得

$$v_p=\frac{dx}{dt}=\frac{\omega }{k}.$$

若改为 $kx+\omega t$，则表示向 $-x$ 传播．

2. 由波动方程得到简谐波

一维无耗散波动方程（波速 $v$）

$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}.$$

代入试探解 $y=A\cos (kx-\omega t)$：

$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=-{\omega }^{2}A\cos (kx-\omega t),\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}=-k^{2}A\cos (kx-\omega t).$$

满足方程需要

$${\omega }^2=v^2{k}^2\Rightarrow \omega =vk.$$

因此

$$v_p=\frac{\omega }{k}=v.$$

结论：在「无色散」的理想介质中，相速度等于波动方程中的波速 $v$．

3. 叠加与相位差：干涉的最小模型

两列同频同方向简谐波叠加：

则

$$y=y_1+y_2=2A\cos \left(\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{2}\right)\cos (kx-\omega t+\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{2}).$$

合成振幅

$$A_{\text{res}}=2A|\cos \left(\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{2}\right)|.$$

若相位差来自程差 $\mathrm{\Delta }x$：$\mathrm{\Delta }\phi =k\mathrm{\Delta }x=\frac{2\pi }{\lambda }\mathrm{\Delta }x$．

• 增强干涉：$\mathrm{\Delta }\phi =2m\pi \iff \mathrm{\Delta }x=m\lambda$
• 相消干涉：$\mathrm{\Delta }\phi =(2m+1)\pi \iff \mathrm{\Delta }x=(m+\frac{1}{2})\lambda$

4. 驻波（Standing Waves）

两列同频同振幅、相向传播的行波叠加：

相加得到

$$y=2A\cos \left(kx\right)\cos \left(\omega t\right).$$

这就是驻波：

• 空间因子：$2A\cos \left(kx\right)$ 决定各点振幅
• 时间因子：$\cos \left(\omega t\right)$ 表示各点同频振动

4.1 波节与波腹

• 波节（node）：$\cos \left(kx\right)=0\Rightarrow kx=(m+\frac{1}{2})\pi$

$$x=(m+\frac{1}{2})\frac{\lambda }{2}$$

• 波腹（antinode）：$|\cos \left(kx\right)|=1\Rightarrow kx=m\pi$

$$x=m\frac{\lambda }{2}.$$

4.2 弦的固有频率（两端固定）

长度 $L$ 的弦两端固定：$y(0,t)=y(L,t)=0$． 驻波形式 $y=2A\sin \left(kx\right)\cos \left(\omega t\right)$（换用 $\sin$ 更满足边界），则

$$\sin \left(kL\right)=0\Rightarrow k_n=\frac{n\pi }{L},n=1,2,3,\dots$$

频率

$$f_n=\frac{{\omega }_n}{2\pi }=\frac{v{k}_n}{2\pi }=\frac{nv}{2L}.$$

其中弦波速 $v=\sqrt{T/\mu }$（张力 $T$、线密度 $\mu$），推导见 连续介质中的波．

4.3 半波损失与驻波的产生

当波在介质界面反射时，可能会发生 半波损失（相位变化 $\pi$）．

• 固定端反射：发生半波损失

我们可以把固定端看作一个波节，反射波相对于入射波相位差 $\pi$，即 $y_2=-y_1=A\cos (kx+\omega t+\pi )=-A\cos (kx+\omega t)$．

• 自由端反射：不发生半波损失

我们可以把自由端看作一个波腹，反射波与入射波同相位．$y_2=y_1=A\cos (kx+\omega t)$．

接下来我们通过一个例题来更好地理解半波损失．

例题

一列入射波沿弦向 $+x$ 方向传播，

$$y_i(x,t)=A\cos (kx-\omega t).$$

弦在 $x=0$ 处固定．求反射波 $y_r(x,t)$，并写出叠加后的波形，指出 $x=0$ 处为何一定是波节．

** 解：** 固定端边界条件为 $y(0,t)=0$，即

$$y_i(0,t)+y_r(0,t)=0\mathrm{\forall }t.$$

设反射波形如

$$y_r(x,t)=A\cos (kx+\omega t+\varphi ).$$

代入 $x=0$：$A\cos (-\omega t)+A\cos (\omega t+\varphi )=0$ 对任意 $t$ 成立，需有 $\varphi =\pi$，因此

$$\boxed{y_r(x,t)=A\cos (kx+\omega t+\pi )=-A\cos (kx+\omega t)}.$$

总波为

$$y=y_i+y_r=A\cos (kx-\omega t)-A\cos (kx+\omega t)=2A\sin \left(kx\right)\sin \left(\omega t\right).$$

可见 $x=0$ 处 $\sin \left(kx\right)=0$ 恒成立，故该端点为波节；这对应「固定端反射发生半波损失（相位反转 $\pi$）」．

5. 色散与群速度

5.0 为什么需要群速度？——相速度的局限

首先，我们熟知的 相速度 $v_p=\frac{\omega }{k}$ 描述的是一个 无限长、单一频率 的简谐波（也叫单色波）的波峰/波谷在空间中移动的速度．它回答的问题是：「这个特定相位的点跑得多快？」

但是，现实中几乎不存在完美的单色波．信息（如一个脉冲、一段声音、一个光信号）总是由 许多不同频率的简谐波叠加 而成，形成一个 波包．在能传递信号的波包中，不同频率的波可能以略微不同的相速度传播，这会导致波包在传播过程中形状发生改变．

这时就产生了一个关键问题：这个承载着能量的「波包」整体，其运动速度是多少？ 这个速度就是 群速度，它是波包中心或包络线的传播速度，通常也是能量和信息的传播速度．

5.1 从两个波的叠加开始理解

为了最简单直观地理解波包和群速度，我们从「构建」一个最简单的波包开始：把两个频率和波数都非常接近的简谐波叠加起来．

设这两列波为：

其中，$k_1\approx k_2$，${\omega }_1\approx {\omega }_2$．

第一步：叠加 利用三角函数和差化积公式：$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)$． 令 $\alpha =k_{1}x-{\omega }_{1}t$，$\beta =k_{2}x-{\omega }_{2}t$，则：

第二步：引入「平均量」和「差量」概念 为了使式子更清晰，我们定义：

• 平均波数 和 平均频率：$\overline{k}=\frac{k_1+k_2}{2}$，$\overline{\omega }=\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}$
• 波数差 和 频率差：$\mathrm{\Delta }k=k_1-k_2$，$\mathrm{\Delta }\omega ={\omega }_1-{\omega }_2$（注意 $\mathrm{\Delta }k$ 和 $\mathrm{\Delta }\omega$ 都很小）

代入上式，得到：

$$\boxed{y(x,t)=\underset{\text{缓慢变化的包络}}{\underbrace{2A\cos (\frac{\mathrm{\Delta }k}{2}x-\frac{\mathrm{\Delta }\omega }{2}t)}}\cdot \underset{\text{快速振荡的载波}}{\underbrace{\cos (\overline{k}x-\overline{\omega }t)}}}$$

第三步：解读这个结果——拍（Beat） 这个结果描绘了一个非常经典的物理图像：拍．

1. 载波：高频部分 $\cos (\overline{k}x-\overline{\omega }t)$．它的波数约为 $\overline{k}$，频率约为 $\overline{\omega }$，以 平均相速度 $v_p=\overline{\omega }/\overline{k}$ 传播．
2. 包络：低频部分 $2A\cos (\frac{\mathrm{\Delta }k}{2}x-\frac{\mathrm{\Delta }\omega }{2}t)$．它像一个缓慢变化的振幅调制，形状像一条平滑的曲线，将载波「包裹」在里面．这个包络线就代表了我们直观看到的「波包」．

下图清晰地展示了两列波叠加形成波包，以及包络（虚线）与载波（实线）的关系：

图中实线代表合成波 y(x,t)，虚线代表其包络．包络的移动速度即为群速度．

第四步：求解包络的传播速度（群速度） 包络线是一个波动本身：$E(x,t)=2A\cos (\frac{\mathrm{\Delta }k}{2}x-\frac{\mathrm{\Delta }\omega }{2}t)$． 要跟踪包络线上任何一个特定点（比如一个峰值）的移动，就需要该点的 相位保持恒定．

设包络的相位为常数：$\frac{\mathrm{\Delta }k}{2}x-\frac{\mathrm{\Delta }\omega }{2}t=\text{常数}$．

对这个方程两边关于时间 $t$ 求导（注意 $x$ 是 $t$ 的函数，因为我们跟踪的是那个固定的相位点）：

$$\frac{\mathrm{\Delta }k}{2}\cdot \frac{dx}{dt}-\frac{\mathrm{\Delta }\omega }{2}=0$$

$$\Rightarrow \frac{dx}{dt}=\frac{\mathrm{\Delta }\omega }{\mathrm{\Delta }k}$$

这个 $dx/dt$ 就是包络峰值的移动速度，即 包络速度．

第五步：从「两个波」推广到「连续多个波」——群速度的定义 我们刚才用的是两个频率分量的特殊波包．现实中的波包包含无数个频率连续分布的成分． 当 $\mathrm{\Delta }k\to 0$ 时，两个波数无限接近，上述的包络速度公式就变成了导数形式：

$$v_g=\underset{\mathrm{\Delta }k\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }\omega }{\mathrm{\Delta }k}=\boxed{\frac{d\omega }{dk}}$$

这就是 群速度 的通用定义．它依赖于介质的一个基本属性——色散关系 $\omega (k)$．

5.2 核心对比与物理意义总结

特性	相速度 $v_p$	群速度 $v_g$
定义	$v_p={\displaystyle \frac{\omega }{k}}$	$v_g={\displaystyle \frac{d\omega }{dk}}$
描述对象	单色简谐波的 等相位面 的移动速度	波包 ** 包络（整体形状）** 的移动速度
物理角色	纯单色波的传播速度（不传递信息）	能量与信息 的传播速度
与色散关系	由色散关系直接给出	是色散关系的导数

比喻： 想象一场游行．相速度 好比队列中每个成员 原地踏步 时，手臂上下挥动的波峰传递的速度（很快）．群速度 好比整个游行 方阵 沿着大街向前行进的 整体速度（较慢）．你看游行队伍时，首先注意到的是方阵整体的移动（群速度），而不是每个人手臂的挥动（相速度）．

5.3 与色散的关系

• 无色散介质：$\omega$ 与 $k$ 成正比，即 $\omega =ck$（如真空中的电磁波）．此时 $v_p=c$，且 $v_g=d\omega /dk=c$．相速度等于群速度，波包在传播中 不会变形．
• 有色散介质：$\omega (k)$ 不是简单的正比关系（如光在玻璃中，水波在深水中）．此时 $v_p\ne v_g$．波包在传播过程中 会逐渐扩散、变形，因为其中不同频率的成分「跑」得不一样快．

6. 简谐波的能量

6.1 质元的能量

波传播时，介质质元在振动，具有动能与势能．以弦波为例，弦上质元密度 $\rho$，取一体积为 $\mathrm{\Delta }V$ 的质元，质元质量 $m=\rho \mathrm{\Delta }V$．

设该质元的振动表达式为

$$y=A\cos (\omega t-kx),$$

则质元速度

$$v_y=\frac{\partial y}{\partial t}=-\omega A\sin (\omega t-kx)$$

接下来我们证明质元的动能和势能具有相同的形式．

证明过程

质元的动能为：

$$\mathrm{\Delta }{E}_k=\frac{1}{2}m{v}_y^2=\frac{1}{2}\rho \mathrm{\Delta }V{\omega }^2{A}^2{\sin }^2(\omega t-kx).$$

接下来计算质元的势能．考虑弦波中长度为 $\mathrm{\Delta }x$ 的一小段弦，其原长为 $\mathrm{\Delta }x$．当波传播时，该弦段发生形变，长度变为 $\mathrm{\Delta }s$．弦的张力为 $T$，且在小振动下视为常量．势能等于张力乘以伸长量，即

$$\mathrm{\Delta }{E}_p=T(\mathrm{\Delta }s-\mathrm{\Delta }x).$$

计算伸长量 $\mathrm{\Delta }s-\mathrm{\Delta }x$．弦段两端点的横向位移分别为 $y(x,t)$ 和 $y(x+\mathrm{\Delta }x,t)$，纵向位移忽略不计（横波）．弦段长度近似为

$$\mathrm{\Delta }s=\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}\approx \mathrm{\Delta }x[1+\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}^2],$$

其中 $\mathrm{\Delta }y=y(x+\mathrm{\Delta }x,t)-y(x,t)\approx \frac{\partial y}{\partial x}\mathrm{\Delta }x$．因此，

$$\mathrm{\Delta }s-\mathrm{\Delta }x\approx \frac{1}{2}{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}^2\mathrm{\Delta }x.$$

代入势能表达式得

$$\mathrm{\Delta }{E}_p\approx \frac{1}{2}T{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}^2\mathrm{\Delta }x.$$

对于给定的波函数 $y=A\cos (\omega t-kx)$，求偏导得

$$\frac{\partial y}{\partial x}=-kA\sin (\omega t-kx),$$

所以

$${\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}^2=k^2{A}^2{\sin }^2(\omega t-kx).$$

弦上横波的波速 $v$ 满足 $v=\sqrt{T/\rho }$，其中 $\rho$ 为弦的体密度（若弦的横截面积为 $S$，则线密度 $\mu =\rho S$，波速也可表示为 $v=\sqrt{T/\mu }$）．因此 $T=\rho v^2$．另外，波数 $k$ 与角频率 $\omega$ 满足 $\omega =vk$，即 $v=\omega /k$．

将 $T$ 和 ${\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}^2$ 代入 $\mathrm{\Delta }{E}_p$：

$$\mathrm{\Delta }{E}_p=\frac{1}{2}\rho v^2\cdot k^2{A}^2{\sin }^2(\omega t-kx)\mathrm{\Delta }x=\frac{1}{2}\rho \frac{{\omega }^2}{k^2}\cdot k^2{A}^2{\sin }^2(\omega t-kx)\mathrm{\Delta }x=\frac{1}{2}\rho {\omega }^2{A}^2{\sin }^2(\omega t-kx)\mathrm{\Delta }x.$$

注意到质元的体积 $\mathrm{\Delta }V=S\mathrm{\Delta }x$，其中 $S$ 为弦的横截面积．代入上式得

$$\mathrm{\Delta }{E}_p=\frac{1}{2}\rho {\omega }^2{A}^2{\sin }^2(\omega t-kx)\mathrm{\Delta }V.$$

这与动能表达式 $\mathrm{\Delta }{E}_k=\frac{1}{2}\rho \mathrm{\Delta }V{\omega }^2{A}^2{\sin }^2(\omega t-kx)$ 形式完全相同．因此，质元的动能和势能具有相同的形式，且同步变化．

证明完毕．

我们发现，对于单个质元，$\mathrm{\Delta }{E}_k+\mathrm{\Delta }{E}_p\ne \text{const}$，这是因为波在传播过程中，能量在不同质元之间传递．所以对于整个振动系统，机械能依然是守恒的．

6.2 能量密度与能流

单位体积中波的能量称为 能量密度 $w$：

$$w=w_k+w_p=\frac{\mathrm{\Delta }{E}_k+\mathrm{\Delta }{E}_p}{\mathrm{\Delta }V}=\rho {\omega }^2{A}^2{\sin }^2(\omega t-kx)$$

时间平均能量密度：

$$⟨w⟩=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}wdt=\frac{1}{T}{\int }_0^T\rho {\omega }^2{A}^2{\sin }^2(\omega t-kx)dt=\frac{1}{2}\rho {\omega }^2{A}^2$$

单位时间通过垂直于波传播方向某一面积的能量称为通过该面积的 能流 $P$（单位为瓦特，$W$）：

$$P=w{v}_{p}S=\rho {\omega }^2{A}^{2}v{\sin }^2(\omega t-kx)S$$

时间平均能流：

$$⟨P⟩=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}Pdt=\frac{1}{T}{\int }_0^T\rho {\omega }^2{A}^{2}v{\sin }^2(\omega t-kx)Sdt=\frac{1}{2}\rho {\omega }^2{A}^{2}vS$$

把平均能流除以面积 $S$，得到 能流密度 $I$，也把它称为波的 强度：

$$I=\frac{⟨P⟩}{S}=\frac{1}{2}\rho {\omega }^2{A}^2{v}_p$$

6.3

如果波不被介质吸收，那么在单位时间内穿过任意波面的能量是相等的，于是我们有：

$$I_1{S}_1=I_2{S}_2$$

• 平面波：$S_1=S_2$，则 $I_1=I_2$，强度不变．$A=\text{const}$
• 球面波：$S=4\pi r^2$，则 $I\propto \frac{1}{r^2}$，强度与距离平方成反比．$A\propto \frac{1}{r}$
• 柱面波：$S=2\pi rh$，则 $I\propto \frac{1}{r}$，强度与距离成反比．$A\propto \frac{1}{\sqrt{r}}$

7. 能量与强度（不同介质形式略有差异）

对具体介质（弦、声波、电磁波），能量密度与能流表达不同，但共同点是：

• 强度 $I$ 往往与振幅平方成正比：$I\propto A^2$．
• 线性无耗散下，时间平均能流与群速度相关（进阶结论）．

声波与弦波的能量推导可在 连续介质中的波 中找到．

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