多普勒效应

当波源与观察者之间存在相对运动时，观察到的频率（或波长）会发生变化，这称为多普勒效应．本页以「介质中的波（如声波）」为主（存在介质参考系），并给出典型推导与例题．

注意

声波多普勒效应依赖介质（空气）作为「特权参考系」．
电磁波在真空中的多普勒效应应使用相对论推导（本页末尾给出最基本公式）．

1. 基本符号与约定

介质中波速： $v$ v（声速）
声源固有频率： $f$ f（声源静止于介质时发声频率）
观察者测得频率： $f^{'}$ f'
观察者速度（相对介质）： $v_{o}$ v_o，取「朝向声源」为正
声源速度（相对介质）： $v_{s}$ v_s，取「朝向观察者」为正

在此约定下：

观察者向声源运动： $v_{o} > 0$ v_o>0，频率升高．
声源向观察者运动： $v_{s} > 0$ v_s>0，波前被压缩，频率升高．

2. 观察者运动、声源静止

声源静止，介质中频率仍为 $f$ f、波长 $λ = v / f$ lambda=v/f．

观察者以速度 $v_{o}$ v_o 迎向波前，相当于波前相对观察者的到达速度为 $v + v_{o}$ v+v_o，单位时间穿过观察者的波峰数为

f^{'} = \frac{v + v_{o}}{λ} = \frac{v + v_{o}}{v / f} = f (1 + \frac{v_{o}}{v}) .

f' = v+v_olambda=v+v_ov/f=fleft(1+v_ovright).

若观察者远离声源（沿传播反方向运动），将 $v_{o} \to - | v_{o} |$ v_o-> -|v_o| 即可．

3. 声源运动、观察者静止

观察者静止，关键在于：声源移动改变了相邻波峰在空间中的间距（波长）．

声源周期 $T = 1 / f$ T=1/f．在一个周期内，声源前进距离 $v_{s} T$ v_s T．

声源向观察者运动（沿传播方向）：前方波长变为

λ^{'} = v T - v_{s} T = (v - v_{s}) T = \frac{v - v_{s}}{f} .

lambda' = vT - v_sT=(v-v_s)T=v-v_sf.

观察者测得频率

f^{'} = \frac{v}{λ^{'}} = \frac{v}{(v - v_{s}) / f} = \frac{f}{1 - \frac{v_{s}}{v}} .

f' = vlambda'=v(v-v_s)/f=f1-v_sv.

声源远离观察者： $v_{s} \to - | v_{s} |$ v_s-> -|v_s|，即

f^{'} = \frac{f}{1 + \frac{| v_{s} |}{v}} .

f' = f1+|v_s|v.

4. 一般情况：声源与观察者都运动

综合 2、3 两步（先由声源运动得到波长，再由观察者运动得到到达速率）：

f^{'} = f \frac{v + v_{o}}{v - v_{s}} .

f' = fv+v_ov-v_s.

这是声波多普勒最常用公式（在我们约定符号下）．

符号最容易错的地方

许多教材用「朝向对方为正」分别定义 $v_{o}, v_{s}$ v_o, v_s，但传播方向在前方/后方会改变，导致符号混乱．
这里固定采用「朝向对方为正」，并直接使用 $f^{'} = f \frac{v + v_{o}}{v - v_{s}}$ f'=fv+v_o/v-v_s，最稳妥．

5. 冲击波与马赫角（声源超声速）

若声源速度 $v_{s} > v$ v_s>v，波前无法在前方传播，形成冲击波．波前包络形成马赫锥（或二维为马赫线）．

马赫数：

Ma = \frac{v_{s}}{v} .

Ma=v_sv.

马赫角 $θ$ theta 满足几何关系：

\sin θ = \frac{v}{v_{s}} = \frac{1}{Ma} .

sintheta=vv_s=1Ma.

图例

马赫锥（二维示意）

圆弧表示声源在过去不同位置发出的波前；红色包络线为冲击波前沿．夹角满足 $\sin θ = v / v_{s}$ sintheta=v/v_s．

例题 3：马赫角与冲击波前沿

声速 $v = 340 m/s$ v=340 ,m/s，飞机速度 $v_{s} = 510 m/s$ v_s=510 ,m/s．
（1）求马赫数与马赫角 $θ$ theta；（2）说明为何此时「前方听不到声音」，但会在冲击波前沿听到爆音．

解：（1）

Ma = \frac{v_{s}}{v} = \frac{510}{340} = 1.5,

Ma=v_sv=510340=1.5,

\sin θ = \frac{1}{Ma} = \frac{2}{3} \Rightarrow θ \approx {41.8}^{\circ} .

sintheta=1Ma=23Rightarrow theta~ 41.8^circ.

（2）因为 $v_{s} > v$ v_s>v，声源发出的波前在介质中传播速度不足以追上并传播到「声源前方」，波前在几何上形成包络（冲击波）．观察者只有在冲击波前沿到达时才会接收到高幅值的压强跃变，表现为爆音．

6. 典型例题

例题 1：救护车靠近

声速 $v = 340 m/s$ v=340 ,m/s．救护车鸣笛频率 $f = 800 Hz$ f=800 ,Hz，以 $v_{s} = 30 m/s$ v_s=30 ,m/s 向静止观察者驶来，求听到的频率．

解：观察者静止 $v_{o} = 0$ v_o=0，

f^{'} = f \frac{v}{v - v_{s}} = 800 \cdot \frac{340}{340 - 30} \approx 877 Hz .

f'=fvv-v_s=800*340340-30~ 877 ,Hz.

例题 2：观察者迎向声源

声源静止 $f = 500 Hz$ f=500 ,Hz，观察者以 $v_{o} = 10 m/s$ v_o=10 ,m/s 迎向声源，声速 $v = 340 m/s$ v=340 ,m/s，求 $f^{'}$ f'．

解：

f^{'} = f (1 + \frac{v_{o}}{v}) = 500 (1 + \frac{10}{340}) \approx 514.7 Hz .

f'=fleft(1+v_ovright)=500left(1+10340right)~ 514.7 ,Hz.

7. 相对论多普勒（电磁波，最简结果）

真空中电磁波无介质参考系．若相对速度为 $u$ u（沿视线方向，接近为正），则

f^{'} = f \sqrt{\frac{1 + β}{1 - β}}, β = \frac{u}{c} .

f'=f1+1-beta,quad beta=uc.

远离则 $u \to - | u |$ u-> -|u|．

（更完整的推导属于狭义相对论内容，可参见近代物理章节．）

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本页面贡献者：Leafuke, 匿名同学
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