多普勒效应

多普勒效应（Doppler Effect）

当波源与观察者之间存在相对运动时，观察到的频率（或波长）会发生变化，这称为多普勒效应。本页以“介质中的波（如声波）”为主（存在介质参考系），并给出典型推导与例题。

注意

声波多普勒效应依赖介质（空气）作为“特权参考系”。电磁波在真空中的多普勒效应应使用相对论推导（本页末尾给出最基本公式）。

1. 基本符号与约定

介质中波速： $v$ （声速）
声源本征频率： $f$ （声源静止于介质时发声频率）
观察者测得频率： $f^{'}$
观察者速度（相对介质）： $v_{o}$ ，取“朝向声源”为正
声源速度（相对介质）： $v_{s}$ ，取“朝向观察者”为正

在此约定下：

观察者向声源运动： $v_{o} > 0$ ，频率升高。
声源向观察者运动： $v_{s} > 0$ ，波前被压缩，频率升高。

2. 观察者运动、声源静止

声源静止，介质中频率仍为 $f$ 、波长 $λ = v / f$ 。

观察者以速度 $v_{o}$ 迎向波前，相当于波前相对观察者的到达速度为 $v + v_{o}$ ，单位时间穿过观察者的波峰数为

f^{'} = \frac{v + v_{o}}{λ} = \frac{v + v_{o}}{v / f} = f (1 + \frac{v_{o}}{v}) .

若观察者远离声源（沿传播反方向运动），将 $v_{o} \to - | v_{o} |$ 即可。

3. 声源运动、观察者静止

观察者静止，关键在于：声源移动改变了相邻波峰在空间中的间距（波长）。

声源周期 $T = 1 / f$ 。在一个周期内，声源前进距离 $v_{s} T$ 。

声源向观察者运动（沿传播方向）：前方波长变为

λ^{'} = v T - v_{s} T = (v - v_{s}) T = \frac{v - v_{s}}{f} .

观察者测得频率

f^{'} = \frac{v}{λ^{'}} = \frac{v}{(v - v_{s}) / f} = \frac{f}{1 - \frac{v_{s}}{v}} .

声源远离观察者： $v_{s} \to - | v_{s} |$ ，即

f^{'} = \frac{f}{1 + \frac{| v_{s} |}{v}} .

4. 一般情况：声源与观察者都运动

综合 2、3 两步（先由声源运动得到波长，再由观察者运动得到到达速率）：

f^{'} = f \frac{v + v_{o}}{v - v_{s}} .

这是声波多普勒最常用公式（在我们约定符号下）。

符号最容易错的地方

许多教材用“朝向对方为正”分别定义 $v_{o}, v_{s}$ ，但传播方向在前方/后方会改变，导致符号混乱。这里固定采用“朝向对方为正”，并直接使用 $f^{'} = f \frac{v + v_{o}}{v - v_{s}}$ ，最稳妥。

5. 冲击波与马赫角（声源超声速）

若声源速度 $v_{s} > v$ ，波前无法在前方传播，形成冲击波。波前包络形成马赫锥（或二维为马赫线）。

马赫数：

Ma = \frac{v_{s}}{v} .

马赫角 $θ$ 满足几何关系：

\sin θ = \frac{v}{v_{s}} = \frac{1}{Ma} .

图例

马赫锥（二维示意）

圆弧表示声源在过去不同位置发出的波前；红色包络线为冲击波前沿。夹角满足 $\sin θ = v / v_{s}$ 。

例题3：马赫角与冲击波前沿

声速 $v = 340 m/s$ ，飞机速度 $v_{s} = 510 m/s$ 。 (1) 求马赫数与马赫角 $θ$ ；(2) 说明为何此时“前方听不到声音”，但会在冲击波前沿听到爆音。

解：(1) $$ \mathrm{Ma}=\frac{v_s}{v}=\frac{510}{340}=1.5, $$ $$ \sin\theta=\frac{1}{\mathrm{Ma}}=\frac{2}{3}\Rightarrow \theta\approx 41.8^\circ. $$

(2) 因为 $v_{s} > v$ ，声源发出的波前在介质中传播速度不足以追上并传播到“声源前方”，波前在几何上形成包络（冲击波）。观察者只有在冲击波前沿到达时才会接收到高幅值的压力跃变，表现为爆音。

6. 典型例题

例题1：救护车靠近

声速 $v = 340 m/s$ 。救护车鸣笛频率 $f = 800 Hz$ ，以 $v_{s} = 30 m/s$ 向静止观察者驶来，求听到的频率。

解：观察者静止 $v_{o} = 0$ ，

f^{'} = f \frac{v}{v - v_{s}} = 800 \cdot \frac{340}{340 - 30} \approx 877 Hz .

例题2：观察者迎向声源

声源静止 $f = 500 Hz$ ，观察者以 $v_{o} = 10 m/s$ 迎向声源，声速 $v = 340 m/s$ ，求 $f^{'}$ 。

解：

f^{'} = f (1 + \frac{v_{o}}{v}) = 500 (1 + \frac{10}{340}) \approx 514.7 Hz .

7. 相对论多普勒（电磁波，最简结果）

真空中电磁波无介质参考系。若相对速度为 $u$ （沿视线方向，接近为正），则

f^{'} = f \sqrt{\frac{1 + β}{1 - β}}, β = \frac{u}{c} .

远离则 $u \to - | u |$ 。

（更完整的推导属于狭义相对论内容，可参见近代物理章节。）

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本页面贡献者：Leafuke, 匿名同学
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