匀变速直线运动

匀变速直线运动（Uniformly Accelerated Motion）

匀变速直线运动是指物体在一维（直线）上运动，且 加速度为常量：

a = 常数 .

它是中学与竞赛运动学中最常用的模型之一，许多题目（自由落体、上抛、刹车、追及）都可以归结到本章的结论．

0. 适用条件与符号约定

运动限制在同一直线上．
加速度在研究时间段内近似不变．
一维中所有量均可带符号： $x, v, a$ ．

建议统一记号：

初时刻 $t_{0} = 0$ ，初位置 $x_{0}$ ，初速度 $v_{0}$ ．
时刻 $t$ 的位置 $x$ 、速度 $v$ ．
位移 $Δ x = x - x_{0}$ ．

匀变速 ≠ 匀速

匀变速是「加速度恒定」，速度一般随时间改变；只有当 $a = 0$ 时才退化为匀速运动．

1. 从定义推导三大基本公式

1.1 速度 - 时间关系

由加速度定义 $a = \frac{d v}{d t}$ 且 $a$ 为常数：

\frac{d v}{d t} = a \Rightarrow v (t) = v_{0} + a t .

1.2 位移 - 时间关系

又因为 $v = \frac{d x}{d t}$ ：

\frac{d x}{d t} = v_{0} + a t \Rightarrow x (t) = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} .

因此

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} .

1.3 速度 - 位移关系（不含时间）

消去时间的一种常用做法是用链式法则：

a = \frac{d v}{d t} = \frac{d v}{d x} \frac{d x}{d t} = v \frac{d v}{d x} .

于是

v d v = a d x \Rightarrow \int_{v_{0}}^{v} v d v = \int_{x_{0}}^{x} a d x \Rightarrow \frac{1}{2} (v^{2} - v_{0}^{2}) = a (x - x_{0}) .

得到

v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x .

什么时候用哪条公式？

已知 $t$ ：优先用 $v = v_{0} + a t$ 、 $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ．
不想引入时间或题目不给 $t$ ：优先用 $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ．

2. 平均速度与位移的几何理解

对匀变速直线运动， $v - t$ 图像为直线，位移是该图下方（有符号）面积．

若从 $t = 0$ 到 $t$ ，速度从 $v_{0}$ 线性变到 $v$ ，则平均速度

\bar{v} = \frac{Δ x}{t} = \frac{v_{0} + v}{2} .

于是位移也可写为

Δ x = \bar{v} t = \frac{v_{0} + v}{2} t .

这在解题中非常高效（尤其是已知 $v_{0}$ 、 $v$ 、 $t$ 的情形）．

3. 图像法总结

3.1 $v - t$ 图像

斜率： $a$
面积： $Δ x$

3.2 $x - t$ 图像

x = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

是一条抛物线；其切线斜率为速度 $v$ ．

3.3 $a - t$ 图像

匀变速下为常数水平线；面积给出 $Δ v$ ．

4. 典型模型

4.1 自由落体（近地面，忽略空气阻力）

常取竖直向上为正方向，则重力加速度

a = - g (g \approx 9.8 m / s^{2}) .

从静止释放（ $v_{0} = 0$ ）且初位置 $y_{0}$ ：

v = - g t, y = y_{0} - \frac{1}{2} g t^{2} .

若关心下落高度 $h = y_{0} - y$ ，则

h = \frac{1}{2} g t^{2}, v^{2} = 2 g h .

4.2 竖直上抛

仍取向上为正，则 $a = - g$ ．若初速度 $v_{0} > 0$ ：

到达最高点时 $v = 0$ ，因此到顶时间

t_{max} = \frac{v_{0}}{g} .

最大高度增量

Δ y_{max} = \frac{v_{0}^{2}}{2 g} .

4.3 刹车/制动距离

若汽车以初速度 $v_{0}$ 刹车，近似做匀减速（ $a < 0$ ），直到停下 $v = 0$ ．

由 $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ 得制动距离

Δ x_{stop} = \frac{- v_{0}^{2}}{2 a} = \frac{v_{0}^{2}}{2 | a |} .

该结论在估算题中非常常用．

5. 解题套路：分段、追及与相遇

若运动分为多个阶段，每段都有自己的 $a$ 、 $v_{0}$ 、 $x_{0}$ ．关键是写清连接条件：

上一段末速度 = 下一段初速度
上一段末位置 = 下一段初位置

追及/相遇问题通常写成

x_{A} (t) = x_{B} (t)

或用相对运动

Δ x_{A / B} (t) = 0.

6. 例题

例题 1：已知

v_{0}, a, t

求位移

一物体以 $v_{0} = 5 m / s$ 做匀加速直线运动，加速度 $a = 2 m / s^{2}$ ，求 $t = 3 s$ 内的位移．

解：

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} = 5 \times 3 + \frac{1}{2} \times 2 \times 3^{2} = 15 + 9 = 24 m .

例题 2：已知制动距离反求减速度

某车以 $v_{0} = 20 m / s$ 刹车， $30 m$ 后停下，求其加速度（取前进方向为正）．

解：

0 = v_{0}^{2} + 2 a Δ x \Rightarrow a = - \frac{v_{0}^{2}}{2 Δ x} = - \frac{20^{2}}{2 \times 30} = - \frac{400}{60} \approx - 6.67 m / s^{2} .

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