匀变速直线运动

匀变速直线运动是指物体在一维（直线）上运动，且 加速度为常量：

a = 常数 .

a=常数.

它是中学与竞赛运动学中最常用的模型之一，许多题目（自由落体、上抛、刹车、追及）都可以归结到本章的结论．

0. 适用条件与符号约定

运动限制在同一直线上．
加速度在研究时间段内近似不变．
一维中所有量均可带符号： $x, v, a$ x, ,v, ,a．

建议统一记号：

初时刻 $t_{0} = 0$ t_0=0，初位置 $x_{0}$ x_0，初速度 $v_{0}$ v_0．
时刻 $t$ t 的位置 $x$ x、速度 $v$ v．
位移 $Δ x = x - x_{0}$ Delta x=x-x_0．

匀变速 ≠ 匀速

匀变速是「加速度恒定」，速度一般随时间改变；只有当 $a = 0$ a=0 时才退化为匀速运动．

1. 从定义推导三大基本公式

1.1 速度 - 时间关系

由加速度定义 $a = \frac{d v}{d t}$ a=dv/dt 且 $a$ a 为常数：

\frac{d v}{d t} = a \Rightarrow v (t) = v_{0} + a t .

dvdt=a quadRightarrowquad v(t)=v_0+at.

1.2 位移 - 时间关系

又因为 $v = \frac{d x}{d t}$ v=dx/dt：

\frac{d x}{d t} = v_{0} + a t \Rightarrow x (t) = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} .

dxdt=v_0+at quadRightarrowquad x(t)=x_0+v_0 t+frac12 a t^2.

因此

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} .

Delta x=v_0 t+frac12 a t^2.

1.3 速度 - 位移关系（不含时间）

消去时间的一种常用做法是用链式法则：

a = \frac{d v}{d t} = \frac{d v}{d x} \frac{d x}{d t} = v \frac{d v}{d x} .

a=dvdt=dvdxdxdt=vdvdx.

于是

v d v = a d x \Rightarrow \int_{v_{0}}^{v} v d v = \int_{x_{0}}^{x} a d x \Rightarrow \frac{1}{2} (v^{2} - v_{0}^{2}) = a (x - x_{0}) .

v ,dv=a ,dx quadRightarrowquad int_v_0^vv ,dv=int_x_0^xa ,dx Rightarrowquad frac12left(v^2-v_0^2right)=a ,(x-x_0).

得到

v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x .

v^2=v_0^2+2aDelta x .

什么时候用哪条公式？

已知 $t$ t：优先用 $v = v_{0} + a t$ v=v_0+at、 $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ Delta x=v_0 t+tfrac12 a t^2．
不想引入时间或题目不给 $t$ t：优先用 $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ v^2=v_0^2+2aDelta x．

2. 平均速度与位移的几何理解

对匀变速直线运动， $v - t$ v-t 图像为直线，位移是该图下方（有符号）面积．

若从 $t = 0$ t=0 到 $t$ t，速度从 $v_{0}$ v_0 线性变到 $v$ v，则平均速度

\bar{v} = \frac{Δ x}{t} = \frac{v_{0} + v}{2} .

bar v=Delta xt=v_0+v2.

于是位移也可写为

Δ x = \bar{v} t = \frac{v_{0} + v}{2} t .

Delta x=bar v ,t=v_0+v2 ,t.

这在解题中非常高效（尤其是已知 $v_{0}$ v_0、 $v$ v、 $t$ t 的情形）．

3. 图像法总结

3.1 $v - t$ v-t 图像

斜率： $a$ a
面积： $Δ x$ Delta x

3.2 $x - t$ x-t 图像

x = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

x=x_0+v_0 t+frac12 a t^2

是一条抛物线；其切线斜率为速度 $v$ v．

3.3 $a - t$ a-t 图像

匀变速下为常数水平线；面积给出 $Δ v$ Delta v．

4. 典型模型

4.1 自由落体（近地面，忽略空气阻力）

常取竖直向上为正方向，则重力加速度

a = - g (g \approx 9.8 m / s^{2}) .

a=-gquad (g~ 9.8 ,m/s^2).

从静止释放（ $v_{0} = 0$ v_0=0）且初位置 $y_{0}$ y_0：

v = - g t, y = y_{0} - \frac{1}{2} g t^{2} .

v=-gt,qquad y=y_0-frac12 gt^2.

若关心下落高度 $h = y_{0} - y$ h=y_0-y，则

h = \frac{1}{2} g t^{2}, v^{2} = 2 g h .

h=frac12 gt^2,qquad v^2=2gh.

4.2 竖直上抛

仍取向上为正，则 $a = - g$ a=-g．若初速度 $v_{0} > 0$ v_0>0：

到达最高点时 $v = 0$ v=0，因此到顶时间

t_{max} = \frac{v_{0}}{g} .

t_max=v_0g.

最大高度增量

Δ y_{max} = \frac{v_{0}^{2}}{2 g} .

Delta y_max=v_0^22g.

4.3 刹车/制动距离

若汽车以初速度 $v_{0}$ v_0 刹车，近似做匀减速（ $a < 0$ a<0），直到停下 $v = 0$ v=0．

由 $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ v^2=v_0^2+2aDelta x 得制动距离

Δ x_{stop} = \frac{- v_{0}^{2}}{2 a} = \frac{v_{0}^{2}}{2 | a |} .

Delta x_stop=-v_0^22a=v_0^22|a|.

该结论在估算题中非常常用．

5. 解题套路：分段、追及与相遇

若运动分为多个阶段，每段都有自己的 $a$ a、 $v_{0}$ v_0、 $x_{0}$ x_0．关键是写清连接条件：

上一段末速度 = 下一段初速度
上一段末位置 = 下一段初位置

追及/相遇问题通常写成

x_{A} (t) = x_{B} (t)

x_A(t)=x_B(t)

或用相对运动

Δ x_{A / B} (t) = 0.

Delta x_A/B(t)=0.

6. 例题

例题 1：已知

v_{0}, a, t

v_0,a,t 求位移

一物体以 $v_{0} = 5 m / s$ v_0=5 ,m/s 做匀加速直线运动，加速度 $a = 2 m / s^{2}$ a=2 ,m/s^2，求 $t = 3 s$ t=3 ,s 内的位移．

解：

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} = 5 \times 3 + \frac{1}{2} \times 2 \times 3^{2} = 15 + 9 = 24 m .

Delta x=v_0 t+frac12 a t^2 =5* 3+frac12* 2* 3^2 =15+9=24 ,m.

例题 2：已知制动距离反求减速度

某车以 $v_{0} = 20 m / s$ v_0=20 ,m/s 刹车， $30 m$ 30 ,m 后停下，求其加速度（取前进方向为正）．

解：

0 = v_{0}^{2} + 2 a Δ x \Rightarrow a = - \frac{v_{0}^{2}}{2 Δ x} = - \frac{20^{2}}{2 \times 30} = - \frac{400}{60} \approx - 6.67 m / s^{2} .

0=v_0^2+2aDelta x Rightarrow a=-v_0^22Delta x =-20^22* 30 =-40060~ -6.67 ,m/s^2.

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