参考系与坐标系

注意

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在物理学中，参考系和坐标系是描述物体运动的基本工具．理解它们对于分析运动学问题至关重要．在实际的分析过程中，选择合适的参考系和坐标系可以简化计算并提供更清晰的物理意义．

参考系（Reference Frames）

参考系是观察和测量物体运动的视角．某物体的运动总是相对于某个参考系而言的．例如研究一辆行驶中汽车的运动时，可以选择地面作为参考系，站在地面上的人看来，此时汽车是 运动的．如果选择汽车内的座椅为参考系，坐着车中的人观察到汽车是 静止的．为什么会出现这种差异呢？这是参考系的选择不同导致的．常见的参考系类型包括：

惯性参考系：在这种参考系中，牛顿第一定律成立，即物体在没有外力作用时保持静止或匀速直线运动．
- 举例：地面参考系、远离引力场的空间参考系等．
非惯性参考系：在这种参考系中，观察到的物体运动会受到额外的惯性力影响，例如旋转参考系中的离心力．关于非惯性参考系的详细讲解见惯性力．
- 举例：加速中的汽车参考系、旋转的地球参考系等．

坐标系（Coordinate Systems）

坐标系是用于描述物体位置的数学工具．常见的坐标系包括直角坐标系、极坐标系和球坐标系．

直角坐标系（Cartesian Coordinates）

使用 x、y、z 轴来描述物体的位置，适用于大多数平面和空间运动问题．

位置矢量: $r = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ r = xi + yj + zk
速度: $v = \frac{d r}{d t} = \dot{x} \hat{i} + \dot{y} \hat{j} + \dot{z} \hat{k}$ v = drdt = xi + yj + zk
加速度: $a = \frac{d v}{d t} = \ddot{x} \hat{i} + \ddot{y} \hat{j} + \ddot{z} \hat{k}$ a = dvdt = xi + yj + zk

空间直角坐标系

例题：抛物运动

一颗炮弹以 $v_{0} = 50 m / s$ v_0 = 50 ,m/s 的初速度从地面以 $θ = 60^{\circ}$ theta = 60^circ 的仰角发射，忽略空气阻力，求：

炮弹的飞行时间；
最大高度；
落地点与发射点的水平距离．

解答：

飞行时间：
- 初速度分解：
$v_{0 x} = v_{0} \cos θ, v_{0 y} = v_{0} \sin θ$ v_0x = v_0 costheta, quad v_0y = v_0 sintheta
- 飞行时间由垂直方向运动决定：
$t = \frac{2 v_{0 y}}{g} = \frac{2 v_{0} \sin θ}{g}$ t = 2v_0yg = 2v_0 sing
代入 $v_{0} = 50 m / s$ v_0 = 50 ,m/s， $θ = 60^{\circ}$ theta = 60^circ， $g = 9.8 m / s^{2}$ g = 9.8 ,m/s^2：
$t \approx 8.84 s$ t ~ 8.84 ,s
最大高度：
- 最大高度由垂直方向速度为零时的位置决定：
$h = \frac{v_{0 y}^{2}}{2 g} = \frac{(v_{0} \sin θ)^{2}}{2 g}$ h = v_0y^22g = (v_0 sintheta)^22g
1
代入数据：
$h \approx 95.92 m$ h ~ 95.92 ,m
水平距离：
- 水平距离由水平速度和飞行时间决定：
$x = v_{0 x} \cdot t = v_{0} \cos θ \cdot \frac{2 v_{0} \sin θ}{g}$ x = v_0x * t = v_0 costheta * 2v_0 sing
1
利用 $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$：
$x = \frac{v_{0}^{2} \sin (2 θ)}{g}$ x = v_0^2 sin(2theta)g
1
代入数据：
$x \approx 220.94 m$ x ~ 220.94 ,m

平面极坐标系（Polar Coordinates）

使用距离和角度来描述位置，适用于圆周运动和旋转运动问题．

定义径向单位矢量 ${\hat{e}}_{r}$ e_r 和横向（切向）单位矢量 ${\hat{e}}_{θ}$ e_theta．注意这两个基矢量随位置变化，即随时间变化．

位置: $r = r {\hat{e}}_{r}$ r = re_r

速度:

v = \frac{d}{d t} (r {\hat{e}}_{r}) = \dot{r} {\hat{e}}_{r} + r {\dot{\hat{e}}}_{r} = \dot{r} {\hat{e}}_{r} + r \dot{θ} {\hat{e}}_{θ}

v = ddt(re_r) = re_r + re_r = re_r + rthetae_theta

其中 $\dot{r}$ r 为径向速度， $r \dot{θ}$ rtheta 为横向速度．

加速度:

a = (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) {\hat{e}}_{r} + (r \ddot{θ} + 2 \dot{r} \dot{θ}) {\hat{e}}_{θ}

a = (r - rtheta^2)e_r + (rtheta + 2rtheta)e_theta

$\ddot{r} {\hat{e}}_{r}$ re_r: 径向加速度分量．

$- r {\dot{θ}}^{2} {\hat{e}}_{r}$ -rtheta^2e_r:向心加速度．

$r \ddot{θ} {\hat{e}}_{θ}$ rthetae_theta: 切向加速度分量．

$2 \dot{r} \dot{θ} {\hat{e}}_{θ}$ 2rthetae_theta:科里奥利加速度(Coriolis acceleration) 的一部分形式．

极坐标系

证明

在极坐标系中，单位矢量 ${\hat{e}}_{r}$ e_r 和 ${\hat{e}}_{θ}$ e_theta 随角度 $θ$ theta 变化，因此求导时需注意基矢量的变化．

重要推论
在图 1 中可以看出：

\begin{aligned} {\hat{e}}_{r} & = \cos θ \hat{i} + \sin θ \hat{j} \\ {\hat{e}}_{θ} & = - \sin θ \hat{i} + \cos θ \hat{j} \end{aligned}

aligned e_r &= costheta ,i + sintheta ,j e_theta &= -sintheta ,i + costheta ,j aligned

\begin{aligned} \frac{d {\hat{e}}_{r}}{d θ} & = - \sin θ \hat{i} + \cos θ \hat{j} = {\hat{e}}_{θ} \\ \frac{d {\hat{e}}_{θ}}{d θ} & = - \cos θ \hat{i} - \sin θ \hat{j} = - {\hat{e}}_{r} \end{aligned}

aligned de_rdtheta &= -sintheta ,i + costheta ,j = e_theta de_dtheta &= -costheta ,i - sintheta ,j = -e_r aligned

则

\begin{aligned} \frac{d {\hat{e}}_{r}}{d t} & = \frac{d {\hat{e}}_{r}}{d θ} \frac{d θ}{d t} = \dot{θ} {\hat{e}}_{θ} \\ \frac{d {\hat{e}}_{θ}}{d t} & = \frac{d {\hat{e}}_{θ}}{d θ} \frac{d θ}{d t} = - \dot{θ} {\hat{e}}_{r} \end{aligned}

aligned de_rdt &= de_rdthetaddt = theta ,e_theta de_dt &= de_dthetaddt = -theta ,e_r aligned

1. 速度的推导：

位置矢量为 $r = r {\hat{e}}_{r}$ r = re_r．

对时间求导：

v = \frac{d r}{d t} = \frac{d}{d t} (r {\hat{e}}_{r}) = \dot{r} {\hat{e}}_{r} + r \frac{d {\hat{e}}_{r}}{d t}

v = drdt = ddt(re_r) = re_r + rde_rdt

由于 ${\hat{e}}_{r}$ e_r 随 $θ$ theta 变化， $\frac{d {\hat{e}}_{r}}{d t} = \dot{θ} {\hat{e}}_{θ}$ de_rdt = thetae_theta，所以：

v = \dot{r} {\hat{e}}_{r} + r \dot{θ} {\hat{e}}_{θ}

v = re_r + rthetae_theta

2. 加速度的推导：

对速度再求导：

a = \frac{d v}{d t} = \frac{d}{d t} (\dot{r} {\hat{e}}_{r} + r \dot{θ} {\hat{e}}_{θ})

a = dvdt = ddt(re_r + rthetae_theta)

展开后：

a = \ddot{r} {\hat{e}}_{r} + \dot{r} \frac{d {\hat{e}}_{r}}{d t} + \dot{r} \dot{θ} {\hat{e}}_{θ} + r \ddot{θ} {\hat{e}}_{θ} + r \dot{θ} \frac{d {\hat{e}}_{θ}}{d t}

a = re_r + rde_rdt + rthetae_theta + rthetae_theta + rthetade_dt

其中

\frac{d {\hat{e}}_{r}}{d t} = \dot{θ} {\hat{e}}_{θ}, \frac{d {\hat{e}}_{θ}}{d t} = - \dot{θ} {\hat{e}}_{r}

de_rdt = thetae_theta,quad de_dt = -thetae_r

代入后整理得：

a = (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) {\hat{e}}_{r} + (r \ddot{θ} + 2 \dot{r} \dot{θ}) {\hat{e}}_{θ}

a = (r - rtheta^2)e_r + (rtheta + 2rtheta)e_theta

这就是极坐标系下速度和加速度的标准表达式．

例题：圆周运动

一颗卫星沿半径为 $r = 7000 km$ r = 7000 ,km 的圆轨道匀速运行，周期为 $T = 90 \min$ T = 90 ,min，求：

卫星的角速度；
卫星的线速度；
卫星的向心加速度．

解答：

角速度：
- 角速度由周期决定：
$ω = \frac{2 π}{T}$ omega = 2T
1
代入 $T = 90\,\mathrm{min} = 5400\,\mathrm{s}$：
$ω \approx 0.00116 rad / s$ omega ~ 0.00116 ,rad/s
线速度：
- 线速度由角速度和半径决定：
$v = ω r$ v = omega r
1
代入 $r = 7000\,\mathrm{km} = 7.0 \times 10^6\,\mathrm{m}$：
$v \approx 8136 m / s$ v ~ 8136 ,m/s
向心加速度：
- 向心加速度由线速度和半径决定：
$a_{c} = \frac{v^{2}}{r}$ a_c = v^2r
1
代入数据：
$a_{c} \approx 9.46 m / s^{2}$ a_c ~ 9.46 ,m/s^2

自然坐标系（Intrinsic Coordinates）

以质点运动轨迹上的点为原点，沿切向 $\hat{τ}$ tau 和法向 $\hat{n}$ n 分解．其中 $ρ$ rho 为曲率半径， $Θ$ Theta 为轨迹切线与某参考方向的夹角．

$\hat{τ} = \frac{d \hat{r}}{d s}$ tau = drds

$\hat{n} = \pm \frac{d \hat{τ}}{d Θ}$ n = +/-ddTheta

$ρ = \pm \frac{d s}{d Θ}$ rho = +/-ds/dTheta

速度: $v = v \hat{τ}$ v = vtau
切向加速度: $a_{τ} = \dot{v}$ a_tau = v
法向加速度: $a_{n} = \frac{v^{2}}{ρ}$ a_n =v^2/rho

自然坐标系

证明

在自然坐标系中，速度和加速度可分解为切向和法向分量．证明如下：

设质点在轨迹上的弧长为 $s$ s，速度大小为 $v = \frac{d s}{d t}$ v = ds/dt，切向单位矢量为 $\hat{τ}$ tau，法向单位矢量为 $\hat{n}$ n，曲率半径为 $ρ$ rho．

1. 速度表达式：

位置矢量 $r (s)$ r(s) 沿轨迹变化，速度为

v = \frac{d r}{d t} = \frac{d r}{d s} \frac{d s}{d t} = \hat{τ} v

v = drdt = drds dsdt = tau , v

2. 加速度分解：

对速度求导：

a = \frac{d v}{d t} = \frac{d}{d t} (v \hat{τ})

a = dvdt = ddt(vtau)

展开为：

a = \frac{d v}{d t} \hat{τ} + v \frac{d \hat{τ}}{d t}

a = dvdttau + vddt

其中， $\frac{d v}{d t}$ dv/dt 是速度大小的变化， $\frac{d \hat{τ}}{d t}$ ddt 是方向的变化．

又有

\frac{d \hat{τ}}{d t} = \frac{d \hat{τ}}{d s} \frac{d s}{d t} = \frac{d \hat{τ}}{d s} v

ddt = dds dsdt = dds v

而 $\frac{d \hat{τ}}{d s} = \frac{1}{ρ} \hat{n}$ dds = 1/rho n，所以

\frac{d \hat{τ}}{d t} = \frac{v}{ρ} \hat{n}

ddt = vrho n

代入加速度表达式：

a = \frac{d v}{d t} \hat{τ} + v \cdot \frac{v}{ρ} \hat{n} = \frac{d v}{d t} \hat{τ} + \frac{v^{2}}{ρ} \hat{n}

a = dvdttau + v * vrho n = dvdttau + v^2rhon

3. 切向加速度：

a_{τ} = \frac{d v}{d t}

a_tau = dvdt

表示速度大小的变化．

4. 法向加速度：

a_{n} = \frac{v^{2}}{ρ}

a_n = v^2rho

表示速度方向的变化，指向轨迹的曲率中心．

因此，自然坐标系下速度和加速度的分解式得证．

例题：弯道上的汽车

一辆汽车以 $v = 20 m / s$ v = 20 ,m/s 的速度通过半径为 $r = 50 m$ r = 50 ,m 的水平弯道，求：

汽车的向心加速度；
如果弯道倾角为 $θ = 15^{\circ}$ theta = 15^circ，汽车不打滑所需的最小摩擦系数．

解答：

向心加速度：
- 向心加速度由速度和半径决定：
$a_{c} = \frac{v^{2}}{r}$ a_c = v^2r
1
代入 $v = 20\,\mathrm{m/s}$，$r = 50\,\mathrm{m}$：
$a_{c} = 8 m / s^{2}$ a_c = 8 ,m/s^2
最小摩擦系数：
- 在倾斜弯道上，摩擦力和重力提供向心力：
$μ \geq \frac{v^{2}}{r g \cos θ} - \tan θ$ mu >= v^2rg costheta - tantheta
1
代入 $g = 9.8\,\mathrm{m/s^2}$，$\theta = 15^\circ$：
$μ \geq 0.36$ mu >= 0.36