参考系与坐标系

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参考系与坐标系 (Reference Frames and Coordinate Systems)

在物理学中，参考系和坐标系是描述物体运动的基本工具。理解它们对于分析运动学问题至关重要。在实际的分析过程中，选择合适的参考系和坐标系可以简化计算并提供更清晰的物理意义。

参考系 (Reference Frames)

参考系是观察和测量物体运动的视角。某物体的运动总是相对于某个参考系而言的。例如研究一辆行驶中汽车的运动时，可以选择地面作为参考系，站在地面上的人看来，此时汽车是运动的。如果选择汽车内的座椅为参考系，坐着车中的人观察到汽车是静止的。为什么会出现这种差异呢？这是参考系的选择不同导致的。常见的参考系类型包括：

惯性参考系：在这种参考系中，牛顿第一定律成立，即物体在没有外力作用时保持静止或匀速直线运动。
- 举例: 地面参考系、远离引力场的空间参考系等。
非惯性参考系：在这种参考系中，观察到的物体运动会受到额外的惯性力影响，例如旋转参考系中的离心力。关于非惯性参考系的详细讲解见惯性力。
- 举例: 加速中的汽车参考系、旋转的地球参考系等。

坐标系 (Coordinate Systems)

坐标系是用于描述物体位置的数学工具。常见的坐标系包括直角坐标系、极坐标系和球坐标系。

直角坐标系 (Cartesian Coordinates)

使用x、y、z轴来描述物体的位置，适用于大多数平面和空间运动问题。

位置矢量: $r = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$
速度: $v = \frac{d r}{d t} = \dot{x} \hat{i} + \dot{y} \hat{j} + \dot{z} \hat{k}$
加速度: $a = \frac{d v}{d t} = \ddot{x} \hat{i} + \ddot{y} \hat{j} + \ddot{z} \hat{k}$

空间直角坐标系

例题：抛物运动

一颗炮弹以 $v_{0} = 50 m / s$ 的初速度从地面以 $θ = 60^{\circ}$ 的仰角发射，忽略空气阻力，求：

炮弹的飞行时间；
最大高度；
落地点与发射点的水平距离。

解答：

- 初速度分解：
飞行时间：
$v_{0 x} = v_{0} \cos θ, v_{0 y} = v_{0} \sin θ$ $v_{0x} = v_0 \cos\theta, \quad v_{0y} = v_0 \sin\theta$
- 飞行时间由垂直方向运动决定：
$t = \frac{2 v_{0 y}}{g} = \frac{2 v_{0} \sin θ}{g}$ $t = \frac{2v_{0y}}{g} = \frac{2v_0 \sin\theta}{g}$
代入 $v_{0} = 50 m / s$ ， $θ = 60^{\circ}$ ， $g = 9.8 m / s^{2}$ ：
$t \approx 8.84 s$ $t \approx 8.84\,\mathrm{s}$
最大高度：
- 最大高度由垂直方向速度为零时的位置决定：
$h = \frac{v_{0 y}^{2}}{2 g} = \frac{(v_{0} \sin θ)^{2}}{2 g}$ $h = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{(v_0 \sin\theta)^2}{2g}$
代入数据：
$h \approx 95.92 m$ $h \approx 95.92\,\mathrm{m}$
水平距离：
- 水平距离由水平速度和飞行时间决定：
$x = v_{0 x} \cdot t = v_{0} \cos θ \cdot \frac{2 v_{0} \sin θ}{g}$ $x = v_{0x} \cdot t = v_0 \cos\theta \cdot \frac{2v_0 \sin\theta}{g}$
利用 $\sin (2 θ) = 2 \sin θ \cos θ$ ：
$x = \frac{v_{0}^{2} \sin (2 θ)}{g}$ $x = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$
代入数据：
$x \approx 220.94 m$ $x \approx 220.94\,\mathrm{m}$

平面极坐标系 (Polar Coordinates)

使用距离和角度来描述位置，适用于圆周运动和旋转运动问题。

定义径向单位矢量 ${\hat{e}}_{r}$ 和横向（切向）单位矢量 ${\hat{e}}_{θ}$ 。注意这两个基矢量随位置变化，即随时间变化。

位置: $r = r {\hat{e}}_{r}$

速度:

v = \frac{d}{d t} (r {\hat{e}}_{r}) = \dot{r} {\hat{e}}_{r} + r {\dot{\hat{e}}}_{r} = \dot{r} {\hat{e}}_{r} + r \dot{θ} {\hat{e}}_{θ}

其中 $\dot{r}$ 为径向速度， $r \dot{θ}$ 为横向速度。

加速度:

a = (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) {\hat{e}}_{r} + (r \ddot{θ} + 2 \dot{r} \dot{θ}) {\hat{e}}_{θ}

$\ddot{r} {\hat{e}}_{r}$ : 径向加速度分量。

$- r {\dot{θ}}^{2} {\hat{e}}_{r}$ : 向心加速度。

$r \ddot{θ} {\hat{e}}_{θ}$ : 切向加速度分量。

$2 \dot{r} \dot{θ} {\hat{e}}_{θ}$ : 科里奥利加速度 (Coriolis acceleration) 的一部分形式。

极坐标系

证明

在极坐标系中，单位矢量 ${\hat{e}}_{r}$ 和 ${\hat{e}}_{θ}$ 随角度 $θ$ 变化，因此求导时需注意基矢量的变化。

重要推论 在图1中可以看出：

\begin{aligned} {\hat{e}}_{r} & = \cos θ \hat{i} + \sin θ \hat{j} \\ {\hat{e}}_{θ} & = - \sin θ \hat{i} + \cos θ \hat{j} \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{d {\hat{e}}_{r}}{d θ} & = - \sin θ \hat{i} + \cos θ \hat{j} = {\hat{e}}_{θ} \\ \frac{d {\hat{e}}_{θ}}{d θ} & = - \cos θ \hat{i} - \sin θ \hat{j} = - {\hat{e}}_{r} \end{aligned}

则

\begin{aligned} \frac{d {\hat{e}}_{r}}{d t} & = \frac{d {\hat{e}}_{r}}{d θ} \frac{d θ}{d t} = \dot{θ} {\hat{e}}_{θ} \\ \frac{d {\hat{e}}_{θ}}{d t} & = \frac{d {\hat{e}}_{θ}}{d θ} \frac{d θ}{d t} = - \dot{θ} {\hat{e}}_{r} \end{aligned}

1. 速度的推导：

位置矢量为 $r = r {\hat{e}}_{r}$ 。

对时间求导：

v = \frac{d r}{d t} = \frac{d}{d t} (r {\hat{e}}_{r}) = \dot{r} {\hat{e}}_{r} + r \frac{d {\hat{e}}_{r}}{d t}

由于 ${\hat{e}}_{r}$ 随 $θ$ 变化， $\frac{d {\hat{e}}_{r}}{d t} = \dot{θ} {\hat{e}}_{θ}$ ，所以：

v = \dot{r} {\hat{e}}_{r} + r \dot{θ} {\hat{e}}_{θ}

2. 加速度的推导：

对速度再求导：

a = \frac{d v}{d t} = \frac{d}{d t} (\dot{r} {\hat{e}}_{r} + r \dot{θ} {\hat{e}}_{θ})

展开后：

a = \ddot{r} {\hat{e}}_{r} + \dot{r} \frac{d {\hat{e}}_{r}}{d t} + \dot{r} \dot{θ} {\hat{e}}_{θ} + r \ddot{θ} {\hat{e}}_{θ} + r \dot{θ} \frac{d {\hat{e}}_{θ}}{d t}

其中

\frac{d {\hat{e}}_{r}}{d t} = \dot{θ} {\hat{e}}_{θ}, \frac{d {\hat{e}}_{θ}}{d t} = - \dot{θ} {\hat{e}}_{r}

代入后整理得：

a = (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) {\hat{e}}_{r} + (r \ddot{θ} + 2 \dot{r} \dot{θ}) {\hat{e}}_{θ}

这就是极坐标系下速度和加速度的标准表达式。

例题：圆周运动

一颗卫星沿半径为 $r = 7000 km$ 的圆轨道匀速运行，周期为 $T = 90 \min$ ，求：

卫星的角速度；
卫星的线速度；
卫星的向心加速度。

解答：

- 角速度由周期决定：
角速度：
$ω = \frac{2 π}{T}$ $\omega = \frac{2\pi}{T}$
代入 $T = 90 \min = 5400 s$ ：
$ω \approx 0.00116 rad / s$ $\omega \approx 0.00116\,\mathrm{rad/s}$
线速度：
- 线速度由角速度和半径决定：
$v = ω r$ $v = \omega r$
代入 $r = 7000 km = 7.0 \times 10^{6} m$ ：
$v \approx 8136 m / s$ $v \approx 8136\,\mathrm{m/s}$
向心加速度：
- 向心加速度由线速度和半径决定：
$a_{c} = \frac{v^{2}}{r}$ $a_c = \frac{v^2}{r}$
代入数据：
$a_{c} \approx 9.46 m / s^{2}$ $a_c \approx 9.46\,\mathrm{m/s^2}$

自然坐标系 (Intrinsic Coordinates)

以质点运动轨迹上的点为原点，沿切向 $\hat{τ}$ 和法向 $\hat{n}$ 分解。其中 $ρ$ 为曲率半径， $Θ$ 为轨迹切线与某参考方向的夹角。

$\hat{τ} = \frac{d \hat{r}}{d s}$

$\hat{n} = \pm \frac{d \hat{τ}}{d Θ}$

$ρ = \pm \frac{d s}{d Θ}$

速度: $v = v \hat{τ}$
切向加速度: $a_{τ} = \dot{v}$
法向加速度: $a_{n} = \frac{v^{2}}{ρ}$

自然坐标系

证明

在自然坐标系中，速度和加速度可分解为切向和法向分量。证明如下：

设质点在轨迹上的弧长为 $s$ ，速度大小为 $v = \frac{d s}{d t}$ ，切向单位矢量为 $\hat{τ}$ ，法向单位矢量为 $\hat{n}$ ，曲率半径为 $ρ$ 。

1. 速度表达式：

位置矢量 $r (s)$ 沿轨迹变化，速度为

v = \frac{d r}{d t} = \frac{d r}{d s} \frac{d s}{d t} = \hat{τ} v

2. 加速度分解：

对速度求导：

a = \frac{d v}{d t} = \frac{d}{d t} (v \hat{τ})

展开为：

a = \frac{d v}{d t} \hat{τ} + v \frac{d \hat{τ}}{d t}

其中， $\frac{d v}{d t}$ 是速度大小的变化， $\frac{d \hat{τ}}{d t}$ 是方向的变化。

又有

\frac{d \hat{τ}}{d t} = \frac{d \hat{τ}}{d s} \frac{d s}{d t} = \frac{d \hat{τ}}{d s} v

而 $\frac{d \hat{τ}}{d s} = \frac{1}{ρ} \hat{n}$ ，所以

\frac{d \hat{τ}}{d t} = \frac{v}{ρ} \hat{n}

代入加速度表达式：

a = \frac{d v}{d t} \hat{τ} + v \cdot \frac{v}{ρ} \hat{n} = \frac{d v}{d t} \hat{τ} + \frac{v^{2}}{ρ} \hat{n}

3. 切向加速度：

a_{τ} = \frac{d v}{d t}

表示速度大小的变化。

4. 法向加速度：

a_{n} = \frac{v^{2}}{ρ}

表示速度方向的变化，指向轨迹的曲率中心。

因此，自然坐标系下速度和加速度的分解式得证。

例题：弯道上的汽车

一辆汽车以 $v = 20 m / s$ 的速度通过半径为 $r = 50 m$ 的水平弯道，求：

汽车的向心加速度；
如果弯道倾角为 $θ = 15^{\circ}$ ，汽车不打滑所需的最小摩擦系数。

解答：

- 向心加速度由速度和半径决定：
向心加速度：
$a_{c} = \frac{v^{2}}{r}$ $a_c = \frac{v^2}{r}$
代入 $v = 20 m / s$ ， $r = 50 m$ ：
$a_{c} = 8 m / s^{2}$ $a_c = 8\,\mathrm{m/s^2}$
最小摩擦系数：
- 在倾斜弯道上，摩擦力和重力提供向心力：
$μ \geq \frac{v^{2}}{r g \cos θ} - \tan θ$ $\mu \geq \frac{v^2}{rg \cos\theta} - \tan\theta$
代入 $g = 9.8 m / s^{2}$ ， $θ = 15^{\circ}$ ：
$μ \geq 0.36$ $\mu \geq 0.36$