抛体运动

抛体运动描述物体在重力作用下的平面曲线运动．它的关键在于：加速度始终竖直向下且大小近似恒定, 因此二维运动可以分解成两个独立的一维运动．

0. 模型与适用范围

本章默认以下理想化条件：

只受重力作用，忽略空气阻力与浮力．
研究区域不太大，可把 $g$ g 视为常量．
地面参考系近似惯性系．

在这些条件下：

a = (0, - g) .

boldsymbol a=(0,-g).

空气阻力会带来什么变化？

有空气阻力时，加速度不再恒定、轨迹不再是抛物线、射程与最优角度也会改变．本章不讨论该情形．

1. 运动分解（最核心的方法）

取 $x$ x 水平向右、 $y$ y 竖直向上．

水平方向： $a_{x} = 0$ a_x=0, 故为匀速运动．
竖直方向： $a_{y} = - g$ a_y=-g, 故为匀加速运动．

1.1 初速度分解

设物体以初速度 $v_{0}$ v_0, 与水平面夹角为 $θ$ theta 抛出，则：

v_{0 x} = v_{0} \cos θ, v_{0 y} = v_{0} \sin θ

v_0x = v_0 costheta, quad v_0y = v_0 sintheta

其中：

$v_{0 x}$ v_0x 为水平分量．
$v_{0 y}$ v_0y 为竖直分量．

1.2 水平运动（匀速）

水平方向为匀速直线运动：

x = v_{0 x} t = v_{0} \cos θ \cdot t

x = v_0x t = v_0 costheta * t

1.3 竖直运动（匀加速）

竖直方向为匀加速直线运动：

速度公式：

v_{y} = v_{0 y} - g t = v_{0} \sin θ - g t

v_y = v_0y - gt = v_0 sintheta - gt

位移公式：

y = v_{0 y} t - \frac{1}{2} g t^{2} = v_{0} \sin θ \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}

y = v_0yt - 12gt^2 = v_0 sintheta * t - 12gt^2

速度与位移关系：

v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} - 2 g y

v_y^2 = v_0y^2 - 2gy

2. 参数方程与运动轨迹

更完整地写出位置随时间的参数方程（假设初位置为原点）：

\begin{aligned} x (t) & = v_{0} \cos θ \cdot t, \\ y (t) & = v_{0} \sin θ \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2} . \end{aligned}

aligned x(t)&=v_0costheta * t, y(t)&=v_0sintheta * t-frac12 gt^2. aligned

速度分量：

v_{x} = v_{0} \cos θ, v_{y} = v_{0} \sin θ - g t .

v_x=v_0costheta,qquad v_y=v_0sintheta-gt.

加速度分量：

a_{x} = 0, a_{y} = - g .

a_x=0,qquad a_y=-g.

2.1 消去时间得到轨迹方程

将时间 $t$ t 消去，得到抛物线方程：

y = x \tan θ - \frac{g}{2 v_{0}^{2} \cos^{2} θ} x^{2}

y = x tantheta - g2v_0^2 cos^2theta x^2

其中：

$x$ x 为水平位移．
$y$ y 为竖直位移．

轨迹为什么是抛物线？

因为 $x$ x 与 $t$ t 成正比（匀速），而 $y$ y 与 $t$ t 是二次关系（匀加速）．将 $t = \frac{x}{v_{0} \cos θ}$ t=x/v_0costheta 代入 $y (t)$ y(t), 就必然得到 $y$ y 关于 $x$ x 的二次函数．

3. 关键量（同高度起落）

以下结论适用于：发射点与落地点高度相同（常见的「平地斜抛」).

飞行时间

飞行时间由竖直方向运动决定，当物体回到初始高度时， $y = 0$ y = 0:

T = \frac{2 v_{0 y}}{g} = \frac{2 v_{0} \sin θ}{g}

T = 2v_0yg = 2v_0 sing

最大高度

最大高度由竖直方向速度为零时的位置决定：

h = \frac{v_{0 y}^{2}}{2 g} = \frac{(v_{0} \sin θ)^{2}}{2 g}

h = v_0y^22g = (v_0 sintheta)^22g

水平射程

水平射程由飞行时间和水平速度决定：

R = v_{0 x} \cdot T = \frac{v_{0}^{2} \sin (2 θ)}{g}

R = v_0x * T = v_0^2 sin(2theta)g

最远射程与最优角

在同高度起落、忽略空气阻力时， $R \propto \sin (2 θ)$ Rpropto sin(2theta), 故当 $2 θ = 90^{\circ}$ 2theta=90^circ 时射程最大，即 $θ = 45^{\circ} .$ theta=45^circ .

4. 水平抛与「从高处抛出」

4.1 水平抛（ $θ = 0$ theta=0)

水平抛是斜抛的特例： $v_{0 y} = 0$ v_0y=0.

x = v_{0} t, y = - \frac{1}{2} g t^{2} .

x=v_0 t,qquad y=-frac12 gt^2.

若从高度 $H$ H 抛出并落地（取发射点为 $y = H$ y=H, 地面为 $y = 0$ y=0):

0 = H - \frac{1}{2} g t^{2} \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2 H}{g}},

0=H-frac12 gt^2Rightarrow t=2Hg,

水平位移（落点距投影点的距离）

R = v_{0} \cdot \sqrt{\frac{2 H}{g}} .

R=v_0 * 2H/g.

4.2 一般的「不同高度起落」

若发射点高度为 $y_{0}$ y_0, 落地点高度为 $y_{f}$ y_f, 则竖直位移 $Δ y = y_{f} - y_{0}$ Delta y=y_f-y_0. 由

Δ y = v_{0} \sin θ \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}

Delta y=v_0sintheta * t-frac12 gt^2

解出飞行时间 $t$ t（通常取正根），再代入 $x = v_{0} \cos θ \cdot t$ x=v_0costheta * t 得射程．

二次方程的物理选根

解 $Δ y = v_{0} \sin θ \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}$ Delta y=v_0sintheta* t-tfrac12 gt^2 得到两个根时：

一个对应「上升途中/下降途中经过该高度」的时刻；
若落地点是更低高度（如地面），通常取更大的正根．

5. 速度方向与一些常用结论

5.1 速度方向

速度与水平夹角 $ϕ$ phi 满足

\tan ϕ = \frac{v_{y}}{v_{x}} = \frac{v_{0} \sin θ - g t}{v_{0} \cos θ} .

tanphi=v_y/v_x=v_0sintheta-gt/v_0costheta.

到最高点时 $v_{y} = 0$ v_y=0, 速度水平．

5.2 最高点位置

到顶时间 $t_{max} = \frac{v_{0} \sin θ}{g}$ t_max=v_0sintheta/g, 代入 $x (t)$ x(t) 得

x_{max} = v_{0} \cos θ \cdot t_{max} = \frac{v_{0}^{2} \sin θ \cos θ}{g} = \frac{v_{0}^{2} \sin (2 θ)}{2 g} .

x_max=v_0costheta* t_max=v_0^2sinthetacostheta/g=v_0^2sin(2theta)/2g.

可见在同高度起落时，最高点在射程中点（ $x_{max} = \frac{R}{2}$ x_max=R/2).

解题技巧

分解运动： 将二维运动分解为水平和竖直两个独立的分量．
先解时间再求水平： 多数题先由竖直方向解出 $t$ t, 再用 $x = v_{x} t$ x=v_x t.
作图分析： 画出运动轨迹和速度分解图，帮助理解物理过程．
单位换算： 确保所有物理量的单位一致．

例题

例题 1:

一颗炮弹以 $v_{0} = 50 m / s$ v_0 = 50 m/s 的初速度从地面以 $θ = 60^{\circ}$ theta = 60^circ 的仰角发射，忽略空气阻力，求：

炮弹的飞行时间；
最大高度；
落地点与发射点的水平距离．

解答：

飞行时间：

$T = \frac{2 v_{0} \sin θ}{g} = \frac{2 \cdot 50 \cdot \sin 60^{\circ}}{9.8} \approx 8.84 s .$ T = 2v_0 sintheta/g = 2 * 50 * sin 60^circ/9.8 ~ 8.84 s.

最大高度：

$h = \frac{(v_{0} \sin θ)^{2}}{2 g} = \frac{(50 \cdot \sin 60^{\circ})^{2}}{2 \cdot 9.8} \approx 95.92 m .$ h = (v_0 sintheta)^2/2g = (50 * sin 60^circ)^2/2 * 9.8 ~ 95.92 m.
水平射程：

$R = \frac{v_{0}^{2} \sin (2 θ)}{g} = \frac{50^{2} \cdot \sin 120^{\circ}}{9.8} \approx 220.94 m .$ R = v_0^2 sin(2theta)/g = 50^2 * sin 120^circ/9.8 ~ 220.94 m.

例题 2: 水平抛（从高处）

物体以水平速度 $v_{0} = 10 m / s$ v_0 = 10 m/s 从高度 $H = 20 m$ H = 20 m 处抛出，忽略空气阻力，求落地时间与水平位移（取 $g = 9.8 m / s^{2}$ g = 9.8 m/s^2）．

解：

t = \sqrt{\frac{2 H}{g}} = \sqrt{\frac{40}{9.8}} \approx 2.02 s,

t = 2H/g = 40/9.8 ~ 2.02 s,

R = v_{0} t \approx 10 \times 2.02 \approx 20.2 m .

R = v_0 t ~ 10 * 2.02 ~ 20.2 m.

本页面最近更新：2026/8/24 12:26:19，更新历史
发现错误？想一起完善？在 GitHub 上编辑此页！
本页面贡献者：Leafuke, Find-Light1130, Find_Light
本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用