抛体运动（Projectile Motion）

抛体运动描述物体在重力作用下的平面曲线运动。它的关键在于：加速度始终竖直向下且大小近似恒定，因此二维运动可以分解成两个独立的一维运动。

0. 模型与适用范围

本章默认以下理想化条件：

只受重力作用，忽略空气阻力与浮力。
研究区域不太大，可把 $g$ 视为常量。
地面参考系近似惯性系。

在这些条件下：

a = (0, - g) .

空气阻力会带来什么变化？

有空气阻力时，加速度不再恒定、轨迹不再是抛物线、射程与最优角度也会改变。本章不讨论该情形。

1. 运动分解（最核心的方法）

取 $x$ 水平向右、 $y$ 竖直向上。

水平方向： $a_{x} = 0$ ，故为匀速运动。
竖直方向： $a_{y} = - g$ ，故为匀加速运动。

1.1 初速度分解

设物体以初速度 $v_{0}$ ，与水平面夹角为 $θ$ 抛出，则：

v_{0 x} = v_{0} \cos θ, v_{0 y} = v_{0} \sin θ

其中：

$v_{0 x}$ 为水平分量。
$v_{0 y}$ 为竖直分量。

1.2 水平运动（匀速）

水平方向为匀速直线运动：

x = v_{0 x} t = v_{0} \cos θ \cdot t

1.3 竖直运动（匀加速）

竖直方向为匀加速直线运动：

速度公式：

v_{y} = v_{0 y} - g t = v_{0} \sin θ - g t

位移公式：

y = v_{0 y} t - \frac{1}{2} g t^{2} = v_{0} \sin θ \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}

速度与位移关系：

v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} - 2 g y

2. 参数方程与运动轨迹

更完整地写出位置随时间的参数方程（假设初位置为原点）：

\begin{aligned} x (t) & = v_{0} \cos θ t, \\ y (t) & = v_{0} \sin θ t - \frac{1}{2} g t^{2} . \end{aligned}

速度分量：

v_{x} = v_{0} \cos θ, v_{y} = v_{0} \sin θ - g t .

加速度分量：

a_{x} = 0, a_{y} = - g .

2.1 消去时间得到轨迹方程

将时间 $t$ 消去，得到抛物线方程：

y = x \tan θ - \frac{g}{2 v_{0}^{2} \cos^{2} θ} x^{2}

其中：

$x$ 为水平位移。
$y$ 为竖直位移。

轨迹为什么是抛物线？

因为 $x$ 与 $t$ 成正比（匀速），而 $y$ 与 $t$ 是二次关系（匀加速）。将 $t = \frac{x}{v_{0} \cos θ}$ 代入 $y (t)$ ，就必然得到 $y$ 关于 $x$ 的二次函数。

3. 关键量（同高度起落）

以下结论适用于：发射点与落地点高度相同（常见的“平地斜抛”）。

飞行时间

飞行时间由竖直方向运动决定，当物体回到初始高度时， $y = 0$ ：

T = \frac{2 v_{0 y}}{g} = \frac{2 v_{0} \sin θ}{g}

最大高度

最大高度由竖直方向速度为零时的位置决定：

h = \frac{v_{0 y}^{2}}{2 g} = \frac{(v_{0} \sin θ)^{2}}{2 g}

水平射程

水平射程由飞行时间和水平速度决定：

R = v_{0 x} \cdot T = \frac{v_{0}^{2} \sin (2 θ)}{g}

最远射程与最优角

在同高度起落、忽略空气阻力时， $R \propto \sin (2 θ)$ ，故当 $2 θ = 90^{\circ}$ 时射程最大，即 $$ heta=45^\circ. $$

4. 水平抛与“从高处抛出”

4.1 水平抛（ $θ = 0$ ）

水平抛是斜抛的特例： $v_{0 y} = 0$ 。

x = v_{0} t, y = - \frac{1}{2} g t^{2} .

若从高度 $H$ 抛出并落地（取发射点为 $y = H$ ，地面为 $y = 0$ ）：

0 = H - \frac{1}{2} g t^{2} \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2 H}{g}},

水平位移（落点距投影点的距离）

R = v_{0} \sqrt{\frac{2 H}{g}} .

4.2 一般的“不同高度起落”

若发射点高度为 $y_{0}$ ，落地点高度为 $y_{f}$ ，则竖直位移 $Δ y = y_{f} - y_{0}$ 。由

Δ y = v_{0} \sin θ t - \frac{1}{2} g t^{2}

解出飞行时间 $t$ （通常取正根），再代入 $x = v_{0} \cos θ t$ 得射程。

二次方程的物理选根

解 $Δ y = v_{0} \sin θ t - \frac{1}{2} g t^{2}$ 得到两个根时： - 一个对应“上升途中/下降途中经过该高度”的时刻； - 若落地点是更低高度（如地面），通常取更大的正根。

5. 速度方向与一些常用结论

5.1 速度方向

速度与水平夹角 $ϕ$ 满足

a n ϕ = \frac{v_{y}}{v_{x}} = \frac{v_{0} \sin θ - g t}{v_{0} \cos θ} .

到最高点时 $v_{y} = 0$ ，速度水平。

5.2 最高点位置

到顶时间 $t_{max} = \frac{v_{0} \sin θ}{g}$ ，代入 $x (t)$ 得

x_{max} = v_{0} \cos θ t_{max} = \frac{v_{0}^{2} \sin θ \cos θ}{g} = \frac{v_{0}^{2} \sin (2 θ)}{2 g} .

可见在同高度起落时，最高点在射程中点（ $x_{max} = R / 2$ ）。

解题技巧

分解运动： 将二维运动分解为水平和竖直两个独立的分量。
先解时间再求水平： 多数题先由竖直方向解出 $t$ ，再用 $x = v_{x} t$ 。
作图分析： 画出运动轨迹和速度分解图，帮助理解物理过程。
单位换算： 确保所有物理量的单位一致。

例题

例题 1：

一颗炮弹以 $v_{0} = 50 m / s$ 的初速度从地面以 $θ = 60^{\circ}$ 的仰角发射，忽略空气阻力，求：

炮弹的飞行时间；
最大高度；
落地点与发射点的水平距离。

解答：

飞行时间：

$$ T = \frac{2v_0 \sin\theta}{g} = \frac{2 \cdot 50 \cdot \sin 60^\circ}{9.8} \approx 8.84\,\mathrm{s} $$

最大高度：

$$ h = \frac{(v_0 \sin\theta)^2}{2g} = \frac{(50 \cdot \sin 60^\circ)2}{2 \cdot 9.8} \approx 95.92\,\mathrm{m} $$

水平射程：

$$ R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{50^2 \cdot \sin 120^\circ}{9.8} \approx 220.94\,\mathrm{m} $$

??? note "例题 2：水平抛（从高处）" 物体以水平速度 $v_{0} = 10 m / s$ 从高度 $H = 20 m$ 处抛出，忽略空气阻力，求落地时间与水平位移（取 $g = 9.8 m / s^{2}$ ）。

  **解：**
  $$
  t=\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{40}{9.8}}\approx 2.02\,\mathrm{s},
  $$
  $$
  R=v_0 t\approx 10\times 2.02\approx 20.2\,\mathrm{m}.
  $$

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