直线运动

直线运动（Linear Motion）

直线运动是一维运动学的核心：所有位置都可以用一个坐标 $x$ 描述． 本章会把「位移—速度—加速度」这条链条讲清楚，并给出图像法与分段运动的通用套路．

0. 一维描述与符号约定

选取一条直线作为 $x$ 轴，并规定正方向．

• 位置：$x(t)$
• 位移：$\mathrm{\Delta }x=x_2-x_1$（带正负）
• 路程：$s\ge 0$（只计走过的长度）

例如，规定向东为正，一名学生从 $x_1=3\mathrm{m}$ 走到 $x_2=-2\mathrm{m}$，则位移为 $-5\mathrm{m}$．负号只表示位移指向西方；若学生沿直线没有折返，路程为 $5\mathrm{m}$．

1. 速度与加速度（定义与直观）

1.1 平均速度与瞬时速度

平均速度：

$$\overline{v}=\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}.$$

瞬时速度：

$$v(t)=\frac{dx}{dt}.$$

1.2 平均加速度与瞬时加速度

平均加速度：

$$\overline{a}=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}.$$

瞬时加速度：

$$a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}.$$

判断物体加速还是减速，应比较 $v$ 与 $a$ 的符号：二者同号时速率增大，异号时速率减小．某一瞬间 $v=0$ 也不能推出 $a=0$，例如竖直上抛物体在最高点的速度为零，但加速度仍为重力加速度．

2. 三大图像法：$x-t$、$v-t$、$a-t$

图像法既是直观工具，也是计算工具．

2.1 $x-t$ 图像

• 斜率：$\frac{dx}{dt}=v$
• 斜率随时间变化：反映加速度的存在

2.2 $v-t$ 图像

• 斜率：$\frac{dv}{dt}=a$
• 面积：

$$\mathrm{\Delta }x={\int }_{t_1}^{t_2}v(t)dt$$

即 $v-t$ 图下 有符号面积 就是位移．

2.3 $a-t$ 图像

• 面积：

$$\mathrm{\Delta }v={\int }_{t_1}^{t_2}a(t)dt.$$

读图时应先确认纵轴物理量，不能把图线的高低直接当成运动快慢．在 $x-t$ 图中应看斜率；在 $v-t$ 图中，图线高度才表示速度，图线与时间轴围成的有符号面积表示位移．

3. 匀速直线运动

3.1 定义

匀速直线运动：速度恒定（大小与方向都不变），因此

$$a=0,v=\text{常数}.$$

3.2 位移公式

若取 $t_0=0$，初位置为 $x_0$，则

$$x(t)=x_0+vt,\mathrm{\Delta }x=vt.$$

3.3 图像特征

• $x-t$：直线，斜率为 $v$
• $v-t$：水平直线
• $a-t$：$0$

3.4 例题

例题：匀速运动的位移

一辆汽车以 $20\mathrm{m}/\mathrm{s}$ 的速度匀速行驶，求 $10\mathrm{s}$ 内的位移．

解：

$$\mathrm{\Delta }x=vt=20\times 10=200\mathrm{m}.$$

若同一汽车在 $t=0$ 时位于 $x_0=-50\mathrm{m}$，则 $10\mathrm{s}$ 后的位置是 $x=150\mathrm{m}$．位置依赖坐标原点，位移 $200\mathrm{m}$ 不依赖原点选择．

4. 匀变速直线运动（概览）

匀变速直线运动指 加速度为常量 的直线运动．其系统推导与常用结论详见 匀变速直线运动．

这里先记住两个最重要的直观：

• $v-t$ 图像为直线（斜率为 $a$）．
• 位移等于 $v-t$ 图像下面积．

5. 分段运动与连接条件

很多题目不是单一运动，而是分成若干时间段，每段有不同 $a$ 或不同约束． 做题建议固定一个流程：

1. 画数轴，规定正方向．
2. 列出每段的 $x(t)$、$v(t)$ 或段末关系．
3. 用「连接条件」把各段串起来（段末速度 = 下一段初速度，段末位置 = 下一段初位置）．

例如，物体先以 $2\mathrm{m}/\mathrm{s}$ 匀速运动 $3\mathrm{s}$，再以 $-1\mathrm{m}/\mathrm{s}$ 运动 $2\mathrm{s}$．若初位置为零，则第一段末位置为 $6\mathrm{m}$，它也是第二段的初位置；最终位置为 $6-2=4\mathrm{m}$．不能把第二段仍从 $x=0$ 开始计算．

若速度在分段点发生突变，位置通常仍连续；若加速度改变但没有冲量，速度和位置都连续．题目给出的物理过程决定需要使用哪些连接条件．

6. 相对运动与追及/相遇

追及或相遇问题通常要抓住一句话：

$$x_A(t)=x_B(t)(\text{相遇/追上条件}).$$

若题目问「追上时的速度/时间/距离」，先解 $t$，再回代求所需量．

若两物体都在同一直线上运动，定义相对量：

$$\mathrm{\Delta }{x}_{A/B}=x_A-x_B,v_{A/B}=v_A-v_B,a_{A/B}=a_A-a_B.$$

那么「追及/相遇」就变成相对位移为 0．

例如，A 位于 $x_A(0)=0$ 并以 $6\mathrm{m}/\mathrm{s}$ 向正方向运动，B 位于 $x_B(0)=20\mathrm{m}$ 并以 $4\mathrm{m}/\mathrm{s}$ 同向运动．相对速度为 $2\mathrm{m}/\mathrm{s}$，初始间距为 $20\mathrm{m}$，因此 A 在 $10\mathrm{s}$ 后追上 B．若相对速度不指向缩小初始间距的方向，则即使其绝对值非零也不会在未来相遇．

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