直线运动

直线运动是一维运动学的核心：所有位置都可以用一个坐标 $x$ x 描述．本章会把「位移—速度—加速度」这条链条讲清楚，并给出图像法与分段运动的通用套路．

0. 一维描述与符号约定

选取一条直线作为 $x$ x 轴，并规定正方向．

位置： $x (t)$ x(t)
位移： $Δ x = x_{2} - x_{1}$ Delta x=x_2-x_1（带正负）
路程： $s \geq 0$ s>= 0（只计走过的长度）

先定正方向再写方程

一维题中最常见的错误是「把向左/向下当成负号但没声明」．
正确做法是：画出数轴，写清楚正方向，然后所有量都带符号地算．

例如，规定向东为正，一名学生从 $x_{1} = 3 m$ x_1=3 ,mathrm m 走到 $x_{2} = - 2 m$ x_2=-2 ,mathrm m，则位移为 $- 5 m$ -5 ,mathrm m．负号只表示位移指向西方；若学生沿直线没有折返，路程为 $5 m$ 5 ,mathrm m．

1. 速度与加速度（定义与直观）

1.1 平均速度与瞬时速度

平均速度：

\bar{v} = \frac{Δ x}{Δ t} .

bar v=Delta xDelta t.

瞬时速度：

v (t) = \frac{d x}{d t} .

v(t)=dxdt.

1.2 平均加速度与瞬时加速度

平均加速度：

\bar{a} = \frac{Δ v}{Δ t} .

bar a=Delta vDelta t.

瞬时加速度：

a (t) = \frac{d v}{d t} = \frac{d^{2} x}{d t^{2}} .

a(t)=dvdt=d^2xdt^2.

加速度不等于「速度的大小变化率」

在一维中 $a$ a 是带符号的．若 $v > 0$ v>0 且 $a < 0$ a<0，物体依然可能在「向正方向运动」，只是逐渐减速．

判断物体加速还是减速，应比较 $v$ v 与 $a$ a 的符号：二者同号时速率增大，异号时速率减小．某一瞬间 $v = 0$ v=0 也不能推出 $a = 0$ a=0，例如竖直上抛物体在最高点的速度为零，但加速度仍为重力加速度．

2. 三大图像法： $x - t$ x-t、 $v - t$ v-t、 $a - t$ a-t

图像法既是直观工具，也是计算工具．

2.1 $x - t$ x-t 图像

斜率： $\frac{d x}{d t} = v$ dx/dt=v
斜率随时间变化：反映加速度的存在

2.2 $v - t$ v-t 图像

斜率： $\frac{d v}{d t} = a$ dv/dt=a
面积：

Δ x = \int_{t_{1}}^{t_{2}} v (t) d t

Delta x=int_t_1^t_2v(t) ,dt

即 $v - t$ v-t 图下 有符号面积 就是位移．

2.3 $a - t$ a-t 图像

面积：

Δ v = \int_{t_{1}}^{t_{2}} a (t) d t .

Delta v=int_t_1^t_2a(t) ,dt.

面积的正负

若 $v$ v 或 $a$ a 在某段为负，则对应图像在时间轴下方，面积带负号．

读图时应先确认纵轴物理量，不能把图线的高低直接当成运动快慢．在 $x - t$ x-t 图中应看斜率；在 $v - t$ v-t 图中，图线高度才表示速度，图线与时间轴围成的有符号面积表示位移．

3. 匀速直线运动

3.1 定义

匀速直线运动：速度恒定（大小与方向都不变），因此

a = 0, v = 常数 .

a=0,qquad v=常数.

3.2 位移公式

若取 $t_{0} = 0$ t_0=0，初位置为 $x_{0}$ x_0，则

x (t) = x_{0} + v t, Δ x = v t .

x(t)=x_0+vt,qquad Delta x=vt.

3.3 图像特征

$x - t$ x-t：直线，斜率为 $v$ v
$v - t$ v-t：水平直线
$a - t$ a-t： $0$ 0

3.4 例题

例题：匀速运动的位移

一辆汽车以 $20 m / s$ 20 ,m/s 的速度匀速行驶，求 $10 s$ 10 ,s 内的位移．

解：

Δ x = v t = 20 \times 10 = 200 m .

Delta x=vt=20* 10=200 ,m.

若同一汽车在 $t = 0$ t=0 时位于 $x_{0} = - 50 m$ x_0=-50 ,mathrm m，则 $10 s$ 10 ,mathrm s 后的位置是 $x = 150 m$ x=150 ,mathrm m．位置依赖坐标原点，位移 $200 m$ 200 ,mathrm m 不依赖原点选择．

4. 匀变速直线运动（概览）

匀变速直线运动指 加速度为常量 的直线运动．其系统推导与常用结论详见匀变速直线运动．

这里先记住两个最重要的直观：

$v - t$ v-t 图像为直线（斜率为 $a$ a）．
位移等于 $v - t$ v-t 图像下面积．

5. 分段运动与连接条件

很多题目不是单一运动，而是分成若干时间段，每段有不同 $a$ a 或不同约束．做题建议固定一个流程：

画数轴，规定正方向．
列出每段的 $x (t)$ x(t)、 $v (t)$ v(t) 或段末关系．
用「连接条件」把各段串起来（段末速度 = 下一段初速度，段末位置 = 下一段初位置）．

例如，物体先以 $2 m / s$ 2 ,m/s 匀速运动 $3 s$ 3 ,mathrm s，再以 $- 1 m / s$ -1 ,m/s 运动 $2 s$ 2 ,mathrm s．若初位置为零，则第一段末位置为 $6 m$ 6 ,mathrm m，它也是第二段的初位置；最终位置为 $6 - 2 = 4 m$ 6-2=4 ,mathrm m．不能把第二段仍从 $x = 0$ x=0 开始计算．

若速度在分段点发生突变，位置通常仍连续；若加速度改变但没有冲量，速度和位置都连续．题目给出的物理过程决定需要使用哪些连接条件．

6. 相对运动与追及/相遇

追及或相遇问题通常要抓住一句话：

x_{A} (t) = x_{B} (t) (相遇/追上条件) .

x_A(t)=x_B(t)quad (相遇/追上条件).

若题目问「追上时的速度/时间/距离」，先解 $t$ t，再回代求所需量．

若两物体都在同一直线上运动，定义相对量：

Δ x_{A / B} = x_{A} - x_{B}, v_{A / B} = v_{A} - v_{B}, a_{A / B} = a_{A} - a_{B} .

Delta x_A/B=x_A-x_B,qquad v_A/B=v_A-v_B,qquad a_A/B=a_A-a_B.

那么「追及/相遇」就变成相对位移为 0．

相对速度的直观

若 $v_{A / B} > 0$ v_A/B>0，意味着 A 相对于 B 朝正方向「拉开」；
若 $v_{A / B} < 0$ v_A/B<0，意味着 A 相对于 B 在「靠近」（但仍需结合相对位置判断是否会相遇）．

例如，A 位于 $x_{A} (0) = 0$ x_A(0)=0 并以 $6 m / s$ 6 ,m/s 向正方向运动，B 位于 $x_{B} (0) = 20 m$ x_B(0)=20 ,mathrm m 并以 $4 m / s$ 4 ,m/s 同向运动．相对速度为 $2 m / s$ 2 ,m/s，初始间距为 $20 m$ 20 ,mathrm m，因此 A 在 $10 s$ 10 ,mathrm s 后追上 B．若相对速度不指向缩小初始间距的方向，则即使其绝对值非零也不会在未来相遇．

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