直线运动（Linear Motion）

直线运动是一维运动学的核心：所有位置都可以用一个坐标 $x$ 描述。 本章会把“位移—速度—加速度”这条链条讲清楚，并给出图像法与分段运动的通用套路。

0. 一维描述与符号约定

选取一条直线作为 $x$ 轴，并规定正方向。

• 位置：$x(t)$
• 位移：$\mathrm{\Delta }x=x_2-x_1$（带正负）
• 路程：$s\ge 0$（只计走过的长度）

1. 速度与加速度（定义与直观）

1.1 平均速度与瞬时速度

平均速度：

$$\overline{v}=\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}.$$

瞬时速度：

$$v(t)=\frac{dx}{dt}.$$

1.2 平均加速度与瞬时加速度

平均加速度：

$$\overline{a}=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}.$$

瞬时加速度：

$$a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}.$$

2. 三大图像法：$x-t$、$v-t$、$a-t$

图像法既是直观工具，也是计算工具。

2.1 $x-t$ 图像

• 斜率：$\frac{dx}{dt}=v$
• 斜率随时间变化：反映加速度的存在

2.2 $v-t$ 图像

• 斜率：$\frac{dv}{dt}=a$
• 面积：

$$\mathrm{\Delta }x={\int }_{t_1}^{t_2}v(t)dt$$

即 $v-t$ 图下有符号面积就是位移。

2.3 $a-t$ 图像

• 面积：

$$\mathrm{\Delta }v={\int }_{t_1}^{t_2}a(t)dt.$$

3. 匀速直线运动

3.1 定义

匀速直线运动：速度恒定（大小与方向都不变），因此

$$a=0,v=\text{常数}.$$

3.2 位移公式

若取 $t_0=0$，初位置为 $x_0$，则

$$x(t)=x_0+vt,\mathrm{\Delta }x=vt.$$

3.3 图像特征

• $x-t$：直线，斜率为 $v$
• $v-t$：水平直线
• $a-t$：$0$

3.4 例题

4. 匀变速直线运动（概览）

匀变速直线运动指加速度为常量的直线运动。其系统推导与常用结论详见 匀变速直线运动。

这里先记住两个最重要的直观：

• $v-t$ 图像为直线（斜率为 $a$）。
• 位移等于 $v-t$ 图像下面积。

5. 分段运动与“追及/相遇”通用套路

很多题目不是单一运动，而是分成若干时间段，每段有不同 $a$ 或不同约束。 做题建议固定一个流程：

1. 画数轴，规定正方向。
2. 列出每段的 $x(t)$、$v(t)$ 或段末关系。
3. 用“连接条件”把各段串起来（段末速度=下一段初速度，段末位置=下一段初位置）。

追及/相遇问题通常只要抓住一句话：

$$x_A(t)=x_B(t)(\text{相遇/追上条件}).$$

若题目问“追上时的速度/时间/距离”，先解 $t$，再回代求所需量。

6. 相对运动（同一直线）

若两物体都在同一直线上运动，定义相对量：

$$\mathrm{\Delta }{x}_{A/B}=x_A-x_B,v_{A/B}=v_A-v_B,a_{A/B}=a_A-a_B.$$

那么“追及/相遇”就变成相对位移为 0。

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