质点系动力学

质点系动力学研究的是由多个相互作用的质点系成的系统的运动规律．与单个质点相比，质点系引入了内力和质心等新概念，是从质点力学过渡到刚体力学和连续介质力学的桥梁．

质心（Center of Mass）

质心是一个非常重要的概念，它代表了整个系统质量分布的平均位置．对于一个由 $n$ n 个质点系成的系统，其质心位置矢量 ${\vec{r}}_{c}$ r_c 定义为：

{\vec{r}}_{c} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} m_{i} {\vec{r}}_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} m_{i}} = \frac{1}{M} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} {\vec{r}}_{i}

r_c = sum_i=1^n m_i r_isum_i=1^n m_i = 1M sum_i=1^n m_i r_i

其中 $m_{i}$ m_i 和 ${\vec{r}}_{i}$ r_i 分别是第 $i$ i 个质点的质量和位置矢量， $M = \sum m_{i}$ M = sum m_i 是系统的总质量．

质心运动定理

对质心位置的定义求导，我们可以得到质心的速度 ${\vec{v}}_{c}$ v_c 和加速度 ${\vec{a}}_{c}$ a_c：

{\vec{v}}_{c} = \frac{d {\vec{r}}_{c}}{d t} = \frac{1}{M} \sum_{i} m_{i} {\vec{v}}_{i}

v_c = dr_cdt = 1M sum_i m_i v_i

{\vec{a}}_{c} = \frac{d {\vec{v}}_{c}}{d t} = \frac{1}{M} \sum_{i} m_{i} {\vec{a}}_{i}

a_c = dv_cdt = 1M sum_i m_i a_i

根据牛顿第二定律 ${\vec{F}}_{i} = m_{i} {\vec{a}}_{i}$ F_i = m_i a_i，我们有 $M {\vec{a}}_{c} = \sum_{i} {\vec{F}}_{i}$ Ma_c = sum_i F_i．系统所受的力可以分为内力（系统内质点间的相互作用力）和外力（系统外部施加的力）．根据牛顿第三定律，所有内力的矢量和为零 $\sum {\vec{F}}_{i n t} = 0$ sum F_int = 0．

因此，我们得到 质心运动定理：

M {\vec{a}}_{c} = \sum {\vec{F}}_{e x t} = {\vec{F}}_{e x t, n e t}

Ma_c = sum F_ext = F_ext, net

这个定理表明，质心的运动只由作用于系统的合外力决定，其运动规律如同一个质量为系统总质量 $M$ M、位于质心的质点一样．无论系统内部的运动多么复杂，质心的运动可以非常简单．

质点系的动量

线动量

系统的总线动量 $\vec{P}$ P 是所有质点线动量的矢量和：

\vec{P} = \sum_{i} {\vec{p}}_{i} = \sum_{i} m_{i} {\vec{v}}_{i}

P = sum_i p_i = sum_i m_i v_i

结合质心速度的定义，我们发现：

\vec{P} = M {\vec{v}}_{c}

P = M v_c

系统的总动量等于系统总质量乘以质心速度．即惯性系中质点系的总动量等于质心的动量．

对总动量对时间求导，并利用质心运动定理，我们得到 质点系动量定理：

\frac{d \vec{P}}{d t} = M {\vec{a}}_{c} = {\vec{F}}_{e x t, n e t}

dPdt = Ma_c = F_ext, net

即，系统总动量的时间变化率等于系统所受的合外力．

动量守恒定律

如果系统所受的合外力为零 ( ${\vec{F}}_{e x t, n e t} = 0$ F_ext, net = 0)，则 $\frac{d \vec{P}}{d t} = 0$ dPdt = 0，这意味着系统的总动量 $\vec{P}$ P 是一个常矢量．这就是 质点系动量守恒定律．

动量守恒是物理学中最基本、最普适的守恒定律之一，即使在相对论和量子力学中依然成立．

质点系的角动量

角动量定理

质点系的总角动量 $\vec{L}$ L 是各质点相对于同一点（通常是坐标原点）的角动量的矢量和：

\vec{L} = \sum_{i} {\vec{L}}_{i} = \sum_{i} ({\vec{r}}_{i} \times {\vec{p}}_{i})

L = sum_i L_i = sum_i (r_i * p_i)

对总角动量对时间求导，可以证明：

\frac{d \vec{L}}{d t} = \sum_{i} ({\vec{r}}_{i} \times {\vec{F}}_{i, e x t}) = \sum_{i} {\vec{τ}}_{i, e x t} = {\vec{τ}}_{e x t, n e t}

dLdt = sum_i (r_i * F_i, ext) = sum_i tau_i, ext = tau_ext, net

其中 ${\vec{τ}}_{e x t, n e t}$ tau_ext, net 是作用在系统上的总外力矩．这就是 质点系角动量定理．它表明，系统总角动量的时间变化率等于作用于该系统的合外力矩．

角动量守恒定律

如果系统所受的合外力矩为零 ( ${\vec{τ}}_{e x t, n e t} = 0$ tau_ext, net = 0)，则 $\frac{d \vec{L}}{d t} = 0$ dLdt = 0，系统的总角动量 $\vec{L}$ L 守恒．这就是 质点系角动量守恒定律．

角动量守恒在天体运动（如行星的开普勒定律）和微观粒子物理中都扮演着核心角色．

惯性系中质点系的总角动量等于质心的角动量加上质心系中质点系的总角动量．

证明

设惯性系原点为 O，质心位矢为 $R_{c}$ R_c，质点相对质心的位矢为 $r_{i}^{'} = r_{i} - R_{c}$ r_i' = r_i - R_c．总角动量为

L_{O} = \sum_{i} r_{i} \times m_{i} v_{i}

L_O = sum_i r_i * m_i v_i

利用 $v_{i} = V_{c} + v_{i}^{'}$ v_i = V_c + v_i'，得

L_{O} = \sum_{i} (R_{c} + r_{i}^{'}) \times m_{i} (V_{c} + v_{i}^{'})

L_O = sum_i (R_c + r_i') * m_i (V_c + v_i')

展开后为

L_{O} = R_{c} \times M V_{c} + R_{c} \times \sum_{i} m_{i} v_{i}^{'} + (\sum_{i} m_{i} r_{i}^{'}) \times V_{c} + \sum_{i} r_{i}^{'} \times m_{i} v_{i}^{'}

L_O = R_c * M V_c + R_c * sum_i m_i v_i' + left( sum_i m_i r_i' right) * V_c + sum_i r_i' * m_i v_i'

由质心定义 $\sum_{i} m_{i} r_{i}^{'} = 0$ sum_i m_i r_i' = 0 及质心系中总动量 $\sum_{i} m_{i} v_{i}^{'} = 0$ sum_i m_i v_i' = 0，中间两项为零，故

L_{O} = R_{c} \times M V_{c} + \sum_{i} r_{i}^{'} \times m_{i} v_{i}^{'}

L_O = R_c * M V_c + sum_i r_i' * m_i v_i'

即质心对点 O 的角动量（轨道角动量）与质心系中总角动量之和．

质点系的能量

动能定理

系统的总动能 $E_{k}$ E_k 是所有质点动能的标量和：

E_{k} = \sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2}

E_k = sum_i 12 m_i v_i^2

柯尼希定理（König's Theorem） 指出，系统的总动能可以分解为两部分：一部分是系统随质心平动的动能，另一部分是系统相对于质心运动的动能．即，惯性系中质点系的总动能等于质心的动能加上质心系中质点系的总动能．

E_{k} = \frac{1}{2} M v_{c}^{2} + \sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i, r e l}^{2}

E_k = 12 M v_c^2 + sum_i 12 m_i v_i, rel^2

其中 ${\vec{v}}_{i, r e l}$ v_i, rel 是质点 $i$ i 相对于质心的速度．

质点系动能定理：合外力与合内力对系统做的总功等于系统总动能的增量．

W_{n e t} = W_{e x t} + W_{i n t} = Δ E_{k}

W_net = W_ext + W_int = Delta E_k

机械能守恒

如果系统中的内力和外力都是保守力（或非保守力不做功），那么系统的总机械能（动能 + 势能）守恒．

E = E_{k} + U_{e x t} + U_{i n t} = const

E = E_k + U_ext + U_int = const

$U_{e x t}$ U_ext 是由保守外力产生的势能．
$U_{i n t}$ U_int 是由保守内力产生的势能．

如果存在非保守力（如摩擦力）做功，则机械能不守恒，其变化量等于非保守力做的功．

注意：惯性系中质点系的总势能一般不等于质心的势能．总势能一般包括质点在外场中的势能和质点间的相互作用势能．

变质量系统：火箭方程

火箭的飞行是变质量系统的一个经典例子．火箭通过向后喷射燃料来获得向前的推力．

假设火箭在时刻 $t$ t 的质量为 $M$ M，速度为 $v$ v．在 $d t$ dt 时间内，它喷射出质量为 $d M^{'}$ dM' 的燃料，相对于火箭的速度为 $u$ u（喷气速度）．燃料喷出后，火箭质量变为 $M + d M$ M+dM（其中 $d M = - d M^{'}$ dM = -dM' 是负值），速度变为 $v + d v$ v+dv．

对「火箭 + 喷出的燃料」这个系统，在不受外力的情况下应用动量守恒定律：

M v = (M + d M) (v + d v) + (- d M) (v - u)

Mv = (M+dM)(v+dv) + (-dM)(v-u)

展开并忽略二阶无穷小 $d M d v$ dMdv，整理后可得：

M d v = - u d M

Mdv = -udM

这就是 齐奥尔科夫斯基火箭方程 的基本形式．对其积分可得：

Δ v = v_{f} - v_{i} = u \ln (\frac{M_{i}}{M_{f}})

Delta v = v_f - v_i = u lnleft(M_iM_fright)

其中 $M_{i}$ M_i 和 $M_{f}$ M_f 分别是火箭的初始质量和最终质量．这个方程揭示了火箭能获得的速度增量 $Δ v$ Delta v 取决于喷气速度 $u$ u 和质量比 $M_{i} / M_{f}$ M_i/M_f．

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