牛顿运动定律

牛顿运动定律 (Newton's Laws of Motion)

1687 年，艾萨克·牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出了三条运动定律，奠定了经典力学的基础．

1. 牛顿第一定律 (Newton's First Law)

表述

任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到受到其它物体的作用力迫使它改变这种状态为止．

物理意义

1. 惯性 (Inertia)：揭示了物体具有保持原有运动状态不变的性质，称为惯性．质量是物体惯性大小的量度．
2. 力的定义：力不是维持运动的原因，而是 改变 运动状态（即产生加速度）的原因．
3. 惯性系 (Inertial Frame)：定义了一类特殊的参考系——惯性系．在惯性系中，不受外力的物体加速度为零．
   • 地球参考系通常可近似看作惯性系．
   • 太阳参考系比地球参考系更接近惯性系．

惯性不是一种力，也不随速度增大而增大．同一物体无论静止还是运动，质量不变时惯性大小不变．在加速列车等非惯性系中，直接使用牛顿定律需要引入惯性力；阶段一的小测默认题目明确给出或可近似采用惯性系．

2. 牛顿第二定律 (Newton's Second Law)

表述

物体动量的变化率与作用在物体上的力成正比，且方向相同．

数学表达

$$\mathit{F}=\frac{d\mathit{p}}{dt}$$

其中 $\mathit{p}=m\mathit{v}$ 是动量．

当物体质量 $m$ 为常数时，公式简化为我们最熟悉的形式：

$$\mathit{F}=m\frac{d\mathit{v}}{dt}=m\mathit{a}$$

物理意义

1. 因果关系：力 $\mathit{F}$ 是因，加速度 $\mathit{a}$ 是果．
2. 矢量性：方程在三个坐标轴方向上独立成立．

$$\{\begin{array}{l}{F}_x=m{a}_x\\ F_y=m{a}_y\\ F_z=m{a}_z\end{array}$$

1. 瞬时性：力和加速度同时产生、同时变化、同时消失．
2. 叠加性：若物体受到多个力作用，$\mathit{F}$ 指的是 合外力．

$$\sum {\mathit{F}}_i=m\mathit{a}$$

例如，质量为 $2\mathrm{kg}$ 的物体受到向右 $10\mathrm{N}$ 和向左 $4\mathrm{N}$ 的水平力，合外力为向右 $6\mathrm{N}$，加速度为向右 $3\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$．不能把任意一个单独的力写成 $m\mathit{a}$．

3. 牛顿第三定律 (Newton's Third Law)

表述

两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上．

数学表达

$${\mathit{F}}_{12}=-{\mathit{F}}_{21}$$

其中 ${\mathit{F}}_{12}$ 是物体 2 施加给物体 1 的力，${\mathit{F}}_{21}$ 是物体 1 施加给物体 2 的力．

物理意义

1. 成对出现：力是物体间的相互作用，不可能单独存在．
2. 同性质：作用力与反作用力性质相同（例如都是万有引力，或都是弹力）．
3. 异体作用：分别作用在两个不同的物体上，因此不能求和抵消（除非研究包含这两个物体的系统整体）．

桌面对书的支持力与书对桌面的压力互为作用力与反作用力；书受到的重力与桌面对书的支持力作用在同一物体上，在书静止时构成平衡力，但不是第三定律力对．判断时应分别写出两个力的施力物体和受力物体．

4. 牛顿定律的应用方法

解决动力学问题的标准步骤：

1. 确定研究对象：可以是单个物体，也可以是多个物体组成的系统（隔离法或整体法）．
2. 受力分析：画出 受力图 (Free Body Diagram, FBD)．只画受到的外力，不画物体施加给别人的力，也不画内力．
3. 建立坐标系：通常选取沿加速度方向和垂直加速度方向建立轴，以简化计算．
4. 列方程：根据 $\sum F_x=m{a}_x$ 和 $\sum F_y=m{a}_y$ 列出方程组．
5. 求解与讨论：解方程求出未知量，并检查结果的物理合理性．

4.1 受力图

受力图只画作用在选定研究对象上的真实力．以斜面上的滑块为研究对象时，可以画重力、支持力和可能存在的摩擦力，但不能画滑块对斜面的压力，也不能因为滑块沿斜面运动就额外画一个“运动力”．“向心力”通常是若干真实力沿径向的合力，不应重复画成新力．

画图前可逐一询问：研究对象与哪些物体发生相互作用？每个相互作用给研究对象什么力？这样能减少漏力和多画力．

4.2 坐标轴与分量方程

坐标轴可以根据约束选择，不必总是水平和竖直．斜面问题常取沿斜面和垂直斜面的方向，此时重力需要分解，而支持力通常只出现在垂直方向．确定正方向后，每个力分量和加速度分量必须遵循同一套符号约定．

若物体没有离开斜面，垂直斜面方向的加速度为零，可列 $\sum F_{⟂}=0$；沿斜面方向则列 $\sum F_{\parallel }=m{a}_{\parallel }$．约束方向合力为零并不意味着物体受到的总合力为零．

4.3 单体法、整体法与系统边界

研究两个相互接触的物体时，把二者作为整体可消去它们之间的内力，适合先求整体加速度；若要求接触力，则必须再选其中一个物体单独列方程．“内力”或“外力”不是力的固定属性，而取决于当前选择的系统边界．

例如，水平面上质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$ 的两物体一起在外力 $F$ 作用下运动，忽略摩擦时整体加速度为 $a=F/(m_1+m_2)$．求两物体之间的作用力时，再隔离其中一个物体并使用同一个加速度列式．

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