动量与能量

牛顿运动定律关注力的瞬时作用，而动量和能量的观点则关注力在时间或空间上的累积效果．它们提供了解决物理问题的另一套强大工具，特别是对于碰撞、变力做功等问题．

1. 动量（Momentum）

1.1 动量定理（Impulse-Momentum Theorem）

力在时间上的累积称为 冲量（Impulse）．

I = \int_{t_{1}}^{t_{2}} F d t

I = int_t_1^t_2 F dt

根据牛顿第二定律 $F = d p / d t$ F = dp/dt，积分可得动量定理：

I_{total} = Δ p = p_{2} - p_{1}

I_total = Delta p = p_2 - p_1

补充说明

物体所受合外力的冲量等于其动量的增量．

例题

一颗质量为 $0.5 kg$ 0.5 ,kg 的足球以 $10 m / s$ 10 ,m/s 的速度水平飞来，被守门员用手以 $0.2 s$ 0.2 ,s 的时间将其完全停下．求守门员手对足球施加的平均力．

解答：

已知： m = 0.5 kg, v_{1} = 10 m / s, v_{2} = 0, Δ t = 0.2 s

已知： m = 0.5 ,kg, quad v_1 = 10 ,m/s, quad v_2 = 0, quad Delta t = 0.2 ,s

Δ p = m (v_{2} - v_{1}) = 0.5 (0 - 10) = - 5 kg \cdot m / s

Delta p = m(v_2 - v_1) = 0.5(0 - 10) = -5 ,kg* m/s

F_{avg} = \frac{Δ p}{Δ t} = \frac{- 5}{0.2} = - 25 N

F_avg = Delta pDelta t = -50.2 = -25 ,N

守门员手对足球施加的平均力大小为 $25 N$ 25 ,N，方向与足球初速度相反．

1.2 质点系动量定理

对于由多个质点系成的系统：

\frac{d P}{d t} = \sum F_{ext}

dPdt = sum F_ext

其中 $P = \sum m_{i} v_{i}$ P = sum m_i v_i 是系统的总动量．

内力（系统内部物体间的相互作用）不改变系统的总动量，因为它们成对出现且相互抵消．

例题

一艘质量为 $200 kg$ 200 ,kg 的小船静止在水面上，船上有一名质量为 $50 kg$ 50 ,kg 的人．此人以 $5 m / s$ 5 ,m/s 的速度水平跳离小船，求小船的反向速度（假设水的阻力可忽略）

解答：

已知： m_{1} = 50 kg, m_{2} = 200 kg, v_{1} = 5 m / s, v_{2} = ?

已知： m_1 = 50 ,kg, quad m_2 = 200 ,kg, quad v_1 = 5 ,m/s, quad v_2 = ?

根据动量守恒：

0 = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}

0 = m_1v_1 + m_2v_2

v_{2} = - \frac{m_{1} v_{1}}{m_{2}} = - \frac{50 \times 5}{200} = - 1.25 m / s

v_2 = -m_1v_1m_2 = -50 * 5200 = -1.25 ,m/s

小船的反向速度为 $1.25 m / s$ 1.25 ,m/s．

1.3 动量守恒定律（Conservation of Momentum）

补充说明

若系统所受合外力为零（ $\sum F_{ext} = 0$ sum F_ext = 0），则系统的总动量保持不变．

P = const

P = const

这是一个矢量方程，可以在某个分量方向上单独成立（例如水平方向不受外力，则水平动量守恒）．
适用范围极广，从微观粒子碰撞到天体运动均适用．

例题

两辆小车在光滑水平面上发生碰撞．小车 A 的质量为 $2 kg$ 2 ,kg，初速度为 $3 m / s$ 3 ,m/s；小车 B 的质量为 $3 kg$ 3 ,kg，初速度为 $- 2 m / s$ -2 ,m/s．碰撞后，小车 A 的速度变为 $1 m / s$ 1 ,m/s，求小车 B 的速度．

解答：

已知： m_{A} = 2 kg, m_{B} = 3 kg, v_{A 1} = 3 m / s, v_{B 1} = - 2 m / s, v_{A 2} = 1 m / s, v_{B 2} = ?

已知： m_A = 2 ,kg, quad m_B = 3 ,kg, quad v_A1 = 3 ,m/s, quad v_B1 = -2 ,m/s, quad v_A2 = 1 ,m/s, quad v_B2 = ?

根据动量守恒：

m_{A} v_{A 1} + m_{B} v_{B 1} = m_{A} v_{A 2} + m_{B} v_{B 2}

m_Av_A1 + m_Bv_B1 = m_Av_A2 + m_Bv_B2

2 \times 3 + 3 \times (- 2) = 2 \times 1 + 3 \times v_{B 2}

2 * 3 + 3 * (-2) = 2 * 1 + 3 * v_B2

6 - 6 = 2 + 3 v_{B 2}

6 - 6 = 2 + 3v_B2

3 v_{B 2} = - 2 ⟹ v_{B 2} = - \frac{2}{3} m / s

3v_B2 = -2 implies v_B2 = -23 ,m/s

碰撞后，小车 B 的速度为 $- \frac{2}{3} m / s$ -2/3 ,m/s．

2. 功与能（Work and Energy）

2.1 功（Work）

力在空间上的累积称为功．

W = \int_{A}^{B} F \cdot d r

W = int_A^B F * dr

功是标量．
只有力在位移方向上的分量才做功．

例题

一辆小车在水平面上受到 $10 N$ 10 ,N 的水平拉力作用，沿拉力方向移动了 $5 m$ 5 ,m，求拉力对小车所做的功．

解答：

W = F \cdot d = 10 \times 5 = 50 J

W = F * d = 10 * 5 = 50 ,J

拉力对小车所做的功为 $50 J$ 50 ,J．

2.2 动能定理（Work-Energy Theorem）

合外力对物体所做的功等于物体 动能（Kinetic Energy） 的变化．

W_{total} = Δ E_{k} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{1}{2} m v_{1}^{2}

W_total = Delta E_k = 12mv_2^2 - 12mv_1^2

其中动能定义为 $E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}$ E_k = 1/2mv^2．

例题

一辆质量为 $1000 kg$ 1000 ,kg 的汽车从静止开始加速，经过 $10 s$ 10 ,s 达到 $20 m / s$ 20 ,m/s 的速度．求汽车的动能变化量．

解答：

Δ E_{k} = \frac{1}{2} m (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) = \frac{1}{2} \times 1000 \times (20^{2} - 0^{2}) = 200, 000 J

Delta E_k = 12m(v_2^2 - v_1^2) = 12 * 1000 * (20^2 - 0^2) = 200,000 ,J

汽车的动能变化量为 $200, 000 J$ 200,000 ,J．

2.3 保守力与势能（Conservative Forces and Potential Energy）

如果一个力做功只与始末位置有关，而与路径无关，则称该力为 保守力．对于保守力，可以定义 势能（Potential Energy, $E_{p}$ E_p）：

W_{cons} = - Δ E_{p} = E_{p 1} - E_{p 2}

W_cons = -Delta E_p = E_p1 - E_p2

补充说明

保守力做正功，势能减少；保守力做负功，势能增加．

常见势能公式：

重力势能（近地）： $E_{p} = m g h$ E_p = mgh
引力势能（一般）： $E_{p} = - G \frac{M m}{r}$ E_p = -GMm/r（取无穷远处为零势能点）
弹性势能: $E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2}$ E_p = 1/2kx^2

例题

一物体质量为 $2 kg$ 2 ,kg，从 $10 m$ 10 ,m 高处自由下落到地面，求重力势能的变化量（取 $g = 10 m / s^{2}$ g = 10 ,m/s^2）．

解答：

Δ E_{p} = m g h_{1} - m g h_{2} = 2 \times 10 \times 10 - 2 \times 10 \times 0 = 200 J

Delta E_p = mgh_1 - mgh_2 = 2 * 10 * 10 - 2 * 10 * 0 = 200 ,J

重力势能的变化量为 $200 J$ 200 ,J．

2.4 机械能守恒定律（Conservation of Mechanical Energy）

对于一个系统，如果只有保守力做功（或者非保守力不做功），则系统的 机械能（动能 + 势能）保持不变．

E_{k} + E_{p} = const

E_k + E_p = const

或者：

Δ E_{k} + Δ E_{p} = 0

Delta E_k + Delta E_p = 0

例题

一质量为 $1 kg$ 1 ,kg 的小球从 $5 m$ 5 ,m 高处自由下落，求小球到达地面时的速度（取 $g = 10 m / s^{2}$ g = 10 ,m/s^2）．

解答：

根据机械能守恒：

Δ E_{k} + Δ E_{p} = 0

Delta E_k + Delta E_p = 0

\frac{1}{2} m v^{2} - 0 + 0 - m g h = 0

12mv^2 - 0 + 0 - mgh = 0

v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = 10 m / s

v = 2gh = 2 * 10 * 5 = 10 ,m/s

小球到达地面时的速度为 $10 m / s$ 10 ,m/s．

2.5 功能原理

若存在非保守力（如摩擦力、爆炸力）做功 $W_{n c}$ W_nc，则机械能不守恒，其变化量等于非保守力做的功：

W_{n c} = Δ E = Δ E_{k} + Δ E_{p}

W_nc = Delta E = Delta E_k + Delta E_p

例题

一质量为 $10 kg$ 10 ,kg 的物体沿水平面滑动，受到 $50 N$ 50 ,N 的摩擦力作用，滑行了 $4 m$ 4 ,m 后停止．求摩擦力对物体做的功．

解答：

W_{n c} = F \cdot d = - 50 \times 4 = - 200 J

W_nc = F * d = -50 * 4 = -200 ,J

摩擦力对物体做的功为 $- 200 J$ -200 ,J．

3. 碰撞（Collisions）

碰撞是一个相互作用时间极短、相互作用力极大的过程．通常忽略外力（如重力），认为系统动量守恒．

3.1 弹性碰撞（Elastic Collision）

动量守恒．
机械能（动能）守恒．
例子：钢球碰撞、微观粒子散射．

对于一维弹性碰撞，两物体碰后速度满足：

v_{1 f} = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{1 i} + \frac{2 m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{2 i}

v_1f = m_1 - m_2m_1 + m_2v_1i + 2m_2m_1 + m_2v_2i

v_{2 f} = \frac{2 m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{1 i} + \frac{m_{2} - m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{2 i}

v_2f = 2m_1m_1 + m_2v_1i + m_2 - m_1m_1 + m_2v_2i

特别地，若 $m_{1} = m_{2}$ m_1 = m_2，则两物体 交换速度．

3.2 非弹性碰撞（Inelastic Collision）

动量守恒．
动能不守恒（部分动能转化为内能、热能、声能等）．
恢复系数（Coefficient of Restitution, $e$ e）:

e = \frac{| v_{2 f} - v_{1 f} |}{| v_{2 i} - v_{1 i} |} = \frac{分离速度}{接近速度}

e = |v_2f - v_1f||v_2i - v_1i| = 分离速度接近速度

$e = 1$ e=1: 弹性碰撞．

$0 < e < 1$ 0 < e < 1: 非弹性碰撞．

$e = 0$ e=0:完全非弹性碰撞（碰后粘在一起，动能损失最大）．

4. 质心系（Center of Mass Frame）

在处理多体问题（特别是二体碰撞）时，引入 质心参考系(C 系）会极大简化计算．C 系定义：以系统质心为原点的平动参考系．零动量系：在 C 系中，系统总动量恒为零 ( $\sum p_{i}^{'} = 0$ sum p'_i = 0)．

柯尼希定理（Koenig's Theorem）

质点系的总动能等于 质心平动动能 加上 各质点相对于质心的动能．

E_{k} = \frac{1}{2} M v_{C}^{2} + E_{k, rel}

E_k = 12M v_C^2 + E_k, rel

在碰撞问题中， $\frac{1}{2} M v_{C}^{2}$ 1/2M v_C^2 是「携带」动能，通常不变；只有 $E_{k, rel}$ E_k, rel 参与能量转化．

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动量与能量

1. 动量（Momentum）

1.1 动量定理（Impulse-Momentum Theorem）

1.2 质点系动量定理

1.3 动量守恒定律（Conservation of Momentum）

2. 功与能（Work and Energy）

2.1 功（Work）

2.2 动能定理（Work-Energy Theorem）

2.3 保守力与势能（Conservative Forces and Potential Energy）

2.4 机械能守恒定律（Conservation of Mechanical Energy）

2.5 功能原理

3. 碰撞（Collisions）

3.1 弹性碰撞（Elastic Collision）

3.2 非弹性碰撞（Inelastic Collision）

4. 质心系（Center of Mass Frame）

柯尼希定理（Koenig's Theorem）

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