动量与能量

动量与能量 (Momentum and Energy)

牛顿运动定律关注力的瞬时作用，而动量和能量的观点则关注力在时间或空间上的累积效果。它们提供了解决物理问题的另一套强大工具，特别是对于碰撞、变力做功等问题。

1. 动量 (Momentum)

1.1 动量定理 (Impulse-Momentum Theorem)

力在时间上的累积称为 冲量 (Impulse)。

I = \int_{t_{1}}^{t_{2}} F d t

根据牛顿第二定律 $F = d p / d t$ ，积分可得动量定理：

I_{total} = Δ p = p_{2} - p_{1}

物体所受合外力的冲量等于其动量的增量。

例题

一颗质量为 $0.5 kg$ 的足球以 $10 m / s$ 的速度水平飞来，被守门员用手以 $0.2 s$ 的时间将其完全停下。求守门员手对足球施加的平均力。

解答：

已知： m = 0.5 kg, v_{1} = 10 m / s, v_{2} = 0, Δ t = 0.2 s

Δ p = m (v_{2} - v_{1}) = 0.5 (0 - 10) = - 5 kg \cdot m / s

F_{avg} = \frac{Δ p}{Δ t} = \frac{- 5}{0.2} = - 25 N

守门员手对足球施加的平均力大小为 $25 N$ ，方向与足球初速度相反。

1.2 质点系动量定理

对于由多个质点组成的系统：

\frac{d P}{d t} = \sum F_{ext}

其中 $P = \sum m_{i} v_{i}$ 是系统的总动量。 * 内力 (系统内部物体间的相互作用) 不改变系统的总动量，因为它们成对出现且相互抵消。

例题

一艘质量为 $200 kg$ 的小船静止在水面上，船上有一名质量为 $50 kg$ 的人。此人以 $5 m / s$ 的速度水平跳离小船，求小船的反向速度（假设水的阻力可忽略）

解答：

已知： m_{1} = 50 kg, m_{2} = 200 kg, v_{1} = 5 m / s, v_{2} = ?

根据动量守恒：

0 = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}

v_{2} = - \frac{m_{1} v_{1}}{m_{2}} = - \frac{50 \times 5}{200} = - 1.25 m / s

小船的反向速度为 $1.25 m / s$ 。

1.3 动量守恒定律 (Conservation of Momentum)

若系统所受合外力为零（ $\sum F_{ext} = 0$ ），则系统的总动量保持不变。

P = const

这是一个矢量方程，可以在某个分量方向上单独成立（例如水平方向不受外力，则水平动量守恒）。
适用范围极广，从微观粒子碰撞到天体运动均适用。

例题

两辆小车在光滑水平面上发生碰撞。小车 A 的质量为 $2 kg$ ，初速度为 $3 m / s$ ；小车 B 的质量为 $3 kg$ ，初速度为 $- 2 m / s$ 。碰撞后，小车 A 的速度变为 $1 m / s$ ，求小车 B 的速度。

解答：

已知： m_{A} = 2 kg, m_{B} = 3 kg, v_{A 1} = 3 m / s, v_{B 1} = - 2 m / s, v_{A 2} = 1 m / s, v_{B 2} = ?

根据动量守恒：

m_{A} v_{A 1} + m_{B} v_{B 1} = m_{A} v_{A 2} + m_{B} v_{B 2}

2 \times 3 + 3 \times (- 2) = 2 \times 1 + 3 \times v_{B 2}

6 - 6 = 2 + 3 v_{B 2}

3 v_{B 2} = - 2 ⟹ v_{B 2} = - \frac{2}{3} m / s

碰撞后，小车 B 的速度为 $- \frac{2}{3} m / s$ 。

2. 功与能 (Work and Energy)

2.1 功 (Work)

力在空间上的累积称为功。

W = \int_{A}^{B} F \cdot d r

功是标量。
只有力在位移方向上的分量才做功。

例题

一辆小车在水平面上受到 $10 N$ 的水平拉力作用，沿拉力方向移动了 $5 m$ ，求拉力对小车所做的功。

解答：

W = F \cdot d = 10 \times 5 = 50 J

拉力对小车所做的功为 $50 J$ 。

2.2 动能定理 (Work-Energy Theorem)

合外力对物体所做的功等于物体 动能 (Kinetic Energy) 的变化。

W_{total} = Δ E_{k} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{1}{2} m v_{1}^{2}

其中动能定义为 $E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}$ 。

例题

一辆质量为 $1000 kg$ 的汽车从静止开始加速，经过 $10 s$ 达到 $20 m / s$ 的速度。求汽车的动能变化量。

解答：

Δ E_{k} = \frac{1}{2} m (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) = \frac{1}{2} \times 1000 \times (20^{2} - 0^{2}) = 200, 000 J

汽车的动能变化量为 $200, 000 J$ 。

2.3 保守力与势能 (Conservative Forces and Potential Energy)

如果一个力做功只与始末位置有关，而与路径无关，则称该力为 保守力。对于保守力，可以定义 势能 (Potential Energy, $E_{p}$ )：

W_{cons} = - Δ E_{p} = E_{p 1} - E_{p 2}

保守力做正功，势能减少；保守力做负功，势能增加。

常见势能公式：

重力势能 (近地): $E_{p} = m g h$
引力势能 (一般): $E_{p} = - G \frac{M m}{r}$ (取无穷远处为零势能点)
弹性势能: $E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2}$

例题

一物体质量为 $2 kg$ ，从 $10 m$ 高处自由下落到地面，求重力势能的变化量（取 $g = 10 m / s^{2}$ ）。

解答：

Δ E_{p} = m g h_{1} - m g h_{2} = 2 \times 10 \times 10 - 2 \times 10 \times 0 = 200 J

重力势能的变化量为 $200 J$ 。

2.4 机械能守恒定律 (Conservation of Mechanical Energy)

对于一个系统，如果只有保守力做功（或者非保守力不做功），则系统的 机械能 (动能 + 势能) 保持不变。

E_{k} + E_{p} = const

或者：

Δ E_{k} + Δ E_{p} = 0

例题

一质量为 $1 kg$ 的小球从 $5 m$ 高处自由下落，求小球到达地面时的速度（取 $g = 10 m / s^{2}$ ）。

解答：

根据机械能守恒：

Δ E_{k} + Δ E_{p} = 0

\frac{1}{2} m v^{2} - 0 + 0 - m g h = 0

v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = 10 m / s

小球到达地面时的速度为 $10 m / s$ 。

2.5 功能原理

若存在非保守力（如摩擦力、爆炸力）做功 $W_{n c}$ ，则机械能不守恒，其变化量等于非保守力做的功：

W_{n c} = Δ E = Δ E_{k} + Δ E_{p}

例题

一质量为 $10 kg$ 的物体沿水平面滑动，受到 $50 N$ 的摩擦力作用，滑行了 $4 m$ 后停止。求摩擦力对物体做的功。

解答：

W_{n c} = F \cdot d = - 50 \times 4 = - 200 J

摩擦力对物体做的功为 $- 200 J$ 。

3. 碰撞 (Collisions)

碰撞是一个相互作用时间极短、相互作用力极大的过程。通常忽略外力（如重力），认为系统动量守恒。

3.1 弹性碰撞 (Elastic Collision)

动量守恒。
机械能（动能）守恒。
例子：钢球碰撞、微观粒子散射。

对于一维弹性碰撞，两物体碰后速度满足：

v_{1 f} = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{1 i} + \frac{2 m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{2 i}

v_{2 f} = \frac{2 m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{1 i} + \frac{m_{2} - m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{2 i}

特别地，若 $m_{1} = m_{2}$ ，则两物体 交换速度。

3.2 非弹性碰撞 (Inelastic Collision)

动量守恒。
动能不守恒（部分动能转化为内能、热能、声能等）。
恢复系数 (Coefficient of Restitution, $e$ ):

e = \frac{| v_{2 f} - v_{1 f} |}{| v_{2 i} - v_{1 i} |} = \frac{分离速度}{接近速度}

$e = 1$ : 弹性碰撞。

$0 < e < 1$ : 非弹性碰撞。

$e = 0$ : 完全非弹性碰撞 (碰后粘在一起，动能损失最大)。

4. 质心系 (Center of Mass Frame)

在处理多体问题（特别是二体碰撞）时，引入 质心参考系 (C系) 会极大简化计算。 C系定义：以系统质心为原点的平动参考系。 零动量系：在C系中，系统总动量恒为零 ( $\sum p_{i}^{'} = 0$ )。

柯尼希定理 (Koenig's Theorem)

质点系的总动能等于 质心平动动能 加上 各质点相对于质心的动能。

E_{k} = \frac{1}{2} M v_{C}^{2} + E_{k, rel}

在碰撞问题中， $\frac{1}{2} M v_{C}^{2}$ 是“携带”动能，通常不变；只有 $E_{k, rel}$ 参与能量转化。

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