惯性力

惯性力是一类虚拟力，它们出现在非惯性参考系中，用于解释物体在该参考系中的运动．由于非惯性参考系本身是加速的，因此需要引入惯性力来补偿加速度的影响，使牛顿运动定律在非惯性系中仍然适用．

1. 惯性力的定义

在非惯性参考系中，惯性力的大小和方向由参考系的加速度决定．惯性力的表达式为：

F_{inertial} = - m a_{ref}

F_inertial = -ma_ref

其中：

$m$ m 是物体的质量；
$a_{ref}$ a_ref 是非惯性参考系相对于惯性参考系的加速度；
$F_{inertial}$ F_inertial 是惯性力，方向与参考系加速度的方向相反．

惯性力并不是一种真实的力，而是一种数学上的修正项，用于在非惯性系中应用牛顿定律．

例题

一辆汽车以 $2 m / s^{2}$ 2 ,m/s^2 的加速度向前行驶，车内有一质量为 $10 kg$ 10 ,kg 的物体．求物体在汽车参考系中受到的惯性力．

解答：

F_{inertial} = - m a_{ref} = - 10 \times 2 = - 20 N

F_inertial = -ma_ref = -10 * 2 = -20 ,N

惯性力的大小为 $20 N$ 20 ,N，方向与汽车加速度方向相反．

2. 常见的惯性力

2.1 离心力（Centrifugal Force）

离心力是由于旋转参考系的角速度而产生的惯性力．它的大小与物体的质量、旋转角速度和到旋转轴的距离有关．

公式：

F_{centrifugal} = m ω^{2} r

F_centrifugal = momega^2r

其中：

$m$ m 是物体的质量；
$ω$ omega 是旋转参考系的角速度；
$r$ r 是物体到旋转轴的距离．

特点：

离心力的方向总是指向远离旋转轴的方向．
离心力的大小与距离 $r$ r 成正比．

例题

一物体质量为 $5 kg$ 5 ,kg，位于距离旋转轴 $2 m$ 2 ,m 的位置，旋转角速度为 $3 rad / s$ 3 ,rad/s．求物体受到的离心力．

解答：

F_{centrifugal} = m ω^{2} r = 5 \times 3^{2} \times 2 = 90 N

F_centrifugal = momega^2r = 5 * 3^2 * 2 = 90 ,N

物体受到的离心力为 $90 N$ 90 ,N，方向远离旋转轴．

2.2 科里奥利力（Coriolis Force）

科里奥利力是由于物体在旋转参考系中运动而产生的惯性力．它的存在是非惯性参考系中一个重要的现象，尤其在地球自转的背景下，科里奥利力对天气系统、海洋流动等有重要影响．

引入：

假设有一个矢量 $P$ P，它表示某物体的位置、速度或其他物理量．我们希望研究 $P$ P 的变化率（即导数）在惯性参考系和旋转参考系中的关系．

惯性参考系中的变化率：在惯性参考系中，矢量 $P$ P 的变化率为：

{(\frac{d P}{d t})}_{inertial}

left(dPdtright)_inertial

旋转参考系中的变化率：在旋转参考系中，矢量 $P$ P 的变化率不仅包括惯性参考系中的变化，还需要考虑参考系本身的旋转．设旋转参考系的角速度为 $ω$ omega，则有：

{(\frac{d P}{d t})}_{inertial} = {(\frac{d P}{d t})}_{rotating} + ω \times P

left(dPdtright)_inertial = left(dPdtright)_rotating + omega * P

其中：

${(\frac{d P}{d t})}_{rotating}$ left(dPdtright)_rotating 是矢量 $P$ P 在旋转参考系中的变化率；
$ω \times P$ omega * P 是由于参考系旋转引入的附加项．

推导：

1. 坐标系设置

设惯性系 $S$ S 的坐标为 $(x, y, z)$ (x, y, z)，对应基矢量为 ${\hat{e}}_{x}, {\hat{e}}_{y}, {\hat{e}}_{z}$ e_x, e_y, e_z．旋转系 $S^{'}$ S' 的坐标为 $(x^{'}, y^{'}, z^{'})$ (x', y', z')，对应基矢量为 ${\hat{e}}_{x^{'}}, {\hat{e}}_{y^{'}}, {\hat{e}}_{z^{'}}$ e_x', e_y', e_z'．两坐标系原点重合，且 $S^{'}$ S' 绕 $z$ z 轴以恒定角速度 $ω$ omega 旋转，故角速度矢量 $\vec{ω} = ω {\hat{e}}_{z}$ omega = omega e_z．为简化，设 $t = 0$ t=0 时两坐标系完全重合，则坐标变换关系为：

\begin{aligned} x & = x^{'} \cos (ω t) - y^{'} \sin (ω t), \\ y & = x^{'} \sin (ω t) + y^{'} \cos (ω t), \\ z & = z^{'} . \end{aligned}

aligned x &= x' cos(omega t) - y' sin(omega t), y &= x' sin(omega t) + y' cos(omega t), z &= z'. aligned

基矢量变换关系为：

\begin{aligned} {\hat{e}}_{x^{'}} & = \cos (ω t) {\hat{e}}_{x} + \sin (ω t) {\hat{e}}_{y}, \\ {\hat{e}}_{y^{'}} & = - \sin (ω t) {\hat{e}}_{x} + \cos (ω t) {\hat{e}}_{y}, \\ {\hat{e}}_{z^{'}} & = {\hat{e}}_{z} . \end{aligned}

aligned e_x' &= cos(omega t) e_x + sin(omega t) e_y, e_y' &= -sin(omega t) e_x + cos(omega t) e_y, e_z' &= e_z. aligned

坐标系

2. 位置矢量与速度变换

位置矢量在惯性系和旋转系中表示为：

\vec{r} = x {\hat{e}}_{x} + y {\hat{e}}_{y} + z {\hat{e}}_{z} = x^{'} {\hat{e}}_{x^{'}} + y^{'} {\hat{e}}_{y^{'}} + z^{'} {\hat{e}}_{z^{'}} .

r = x e_x + y e_y + z e_z = x' e_x' + y' e_y' + z' e_z'.

在惯性系中对时间求导得速度：

{\vec{v}}_{in} = \frac{d \vec{r}}{d t} = \frac{d}{d t} (x^{'} {\hat{e}}_{x^{'}} + y^{'} {\hat{e}}_{y^{'}} + z^{'} {\hat{e}}_{z^{'}}) .

v_in = drdt = ddt(x' e_x' + y' e_y' + z' e_z').

注意旋转系基矢量随时间变化，其导数为：

\frac{d {\hat{e}}_{x^{'}}}{d t} = ω {\hat{e}}_{y^{'}}, \frac{d {\hat{e}}_{y^{'}}}{d t} = - ω {\hat{e}}_{x^{'}}, \frac{d {\hat{e}}_{z^{'}}}{d t} = 0.

de_x'dt = omega e_y', quad de_y'dt = -omega e_x', quad de_z'dt = 0.

代入得：

\begin{aligned} {\vec{v}}_{in} & = (\frac{d x^{'}}{d t} {\hat{e}}_{x^{'}} + \frac{d y^{'}}{d t} {\hat{e}}_{y^{'}} + \frac{d z^{'}}{d t} {\hat{e}}_{z^{'}}) + (x^{'} ω {\hat{e}}_{y^{'}} - y^{'} ω {\hat{e}}_{x^{'}}) \\ = {\vec{v}}_{rot} + ω (x^{'} {\hat{e}}_{y^{'}} - y^{'} {\hat{e}}_{x^{'}}), \end{aligned}

aligned v_in &= left( dx'dt e_x' + dy'dt e_y' + dz'dt e_z' right) + left( x' omega e_y' - y' omega e_x' right) &= v_rot + omega (x' e_y' - y' e_x'), aligned

其中 ${\vec{v}}_{rot} = \frac{d x^{'}}{d t} {\hat{e}}_{x^{'}} + \frac{d y^{'}}{d t} {\hat{e}}_{y^{'}} + \frac{d z^{'}}{d t} {\hat{e}}_{z^{'}}$ v_rot = dx'/dt e_x' + dy'/dt e_y' + dz'/dt e_z' 为旋转系中测得的速度．而第二项可写为 $\vec{ω} \times \vec{r}$ omega * r，因为：

\vec{ω} \times \vec{r} = (ω {\hat{e}}_{z^{'}}) \times (x^{'} {\hat{e}}_{x^{'}} + y^{'} {\hat{e}}_{y^{'}} + z^{'} {\hat{e}}_{z^{'}}) = ω x^{'} {\hat{e}}_{y^{'}} - ω y^{'} {\hat{e}}_{x^{'}} .

omega * r = (omega e_z') * (x' e_x' + y' e_y' + z' e_z') = omega x' e_y' - omega y' e_x'.

故速度变换公式为：

{\vec{v}}_{in} = {\vec{v}}_{rot} + \vec{ω} \times \vec{r} .

v_in = v_rot + omega * r.

3. 加速度变换与科里奥利力项

对惯性系速度再求导得加速度：

{\vec{a}}_{in} = \frac{d {\vec{v}}_{in}}{d t} = \frac{d}{d t} ({\vec{v}}_{rot} + \vec{ω} \times \vec{r}) .

a_in = dv_indt = ddt(v_rot + omega * r).

分别计算两项．首先，对旋转系中的速度矢量 ${\vec{v}}_{rot}$ v_rot 求导时，需考虑其基矢量的旋转，利用旋转系中对矢量的时间导数关系：

{(\frac{d \vec{Q}}{d t})}_{in} = {(\frac{d \vec{Q}}{d t})}_{rot} + \vec{ω} \times \vec{Q},

left( dQdt right)_in = left( dQdt right)_rot + omega * Q,

其中 ${(\frac{d \vec{Q}}{d t})}_{rot}$ left( dQdt right)_rot 表示在旋转系中观察时 $\vec{Q}$ Q 的变化率（仅对分量求导，基矢量视为不变）．将 $\vec{Q}$ Q 取为 ${\vec{v}}_{rot}$ v_rot，得：

\frac{d {\vec{v}}_{rot}}{d t} = {(\frac{d {\vec{v}}_{rot}}{d t})}_{rot} + \vec{ω} \times {\vec{v}}_{rot} .

dv_rotdt = left( dv_rotdt right)_rot + omega * v_rot.

而 ${(\frac{d {\vec{v}}_{rot}}{d t})}_{rot}$ left( dv_rotdt right)_rot 正是旋转系中测得的加速度 ${\vec{a}}_{rot}$ a_rot．故：

\frac{d {\vec{v}}_{rot}}{d t} = {\vec{a}}_{rot} + \vec{ω} \times {\vec{v}}_{rot} .

dv_rotdt = a_rot + omega * v_rot.

其次，对 $\vec{ω} \times \vec{r}$ omega * r 求导（设 $\vec{ω}$ omega 恒定）：

\frac{d}{d t} (\vec{ω} \times \vec{r}) = \vec{ω} \times \frac{d \vec{r}}{d t} = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{in} = \vec{ω} \times ({\vec{v}}_{rot} + \vec{ω} \times \vec{r}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{rot} + \vec{ω} \times (\vec{ω} \times \vec{r}) .

ddt(omega * r) = omega * drdt = omega * v_in = omega * (v_rot + omega * r) = omega * v_rot + omega * (omega * r).

将两部分合并：

{\vec{a}}_{in} = {\vec{a}}_{rot} + \vec{ω} \times {\vec{v}}_{rot} + \vec{ω} \times {\vec{v}}_{rot} + \vec{ω} \times (\vec{ω} \times \vec{r}) = {\vec{a}}_{rot} + 2 \vec{ω} \times {\vec{v}}_{rot} + \vec{ω} \times (\vec{ω} \times \vec{r}) .

a_in = a_rot + omega * v_rot + omega * v_rot + omega * (omega * r) = a_rot + 2omega * v_rot + omega * (omega * r).

4. 旋转系中的有效力

在惯性系中，牛顿第二定律为 $m {\vec{a}}_{in} = {\vec{F}}_{real}$ ma_in = F_real．代入加速度变换式：

m {\vec{a}}_{rot} + 2 m \vec{ω} \times {\vec{v}}_{rot} + m \vec{ω} \times (\vec{ω} \times \vec{r}) = {\vec{F}}_{real} .

ma_rot + 2momega * v_rot + momega * (omega * r) = F_real.

移项得旋转系中的运动方程：

m {\vec{a}}_{rot} = {\vec{F}}_{real} - 2 m \vec{ω} \times {\vec{v}}_{rot} - m \vec{ω} \times (\vec{ω} \times \vec{r}) .

ma_rot = F_real - 2momega * v_rot - momega * (omega * r).

因此，在旋转系中观察时，除了真实力 ${\vec{F}}_{real}$ F_real 外，还需引入两个惯性力：

科里奥利力： ${\vec{F}}_{cor} = - 2 m \vec{ω} \times {\vec{v}}_{rot}$ F_cor = -2momega * v_rot，
离心力： ${\vec{F}}_{cen} = - m \vec{ω} \times (\vec{ω} \times \vec{r})$ F_cen = -momega * (omega * r)．

特点：

方向：科里奥利力的方向由右手法则确定．右手四指指向 $v$ v 的方向，弯向 $ω$ omega 的方向，大拇指指向科里奥利力的方向．
大小：科里奥利力的大小与物体的速度和旋转角速度成正比．
性质：科里奥利力是一种惯性力，仅在旋转参考系中存在．

例题

一质量为 $2 kg$ 2 ,kg 的物体以 $5 m / s$ 5 ,m/s 的速度沿东向运动，所在参考系的角速度为 $0.1 rad / s$ 0.1 ,rad/s，方向指向北．求物体受到的科里奥利力．

解答：

F_{Coriolis} = 2 m (v \times ω)

F_Coriolis = 2m(v * omega)

设 $v = 5 \hat{i}$ v = 5i， $ω = 0.1 \hat{j}$ omega = 0.1j，则：

v \times ω = | \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.1 & 0 \end{matrix} | = \hat{k} \cdot (5 \times 0.1) = 0.5 \hat{k}

v * omega = vmatrix i & j & k 5 & 0 & 0 0 & 0.1 & 0 vmatrix = k * (5 * 0.1) = 0.5k

F_{Coriolis} = 2 \times 2 \times 0.5 \hat{k} = 2 \hat{k} N

F_Coriolis = 2 * 2 * 0.5k = 2k ,N

科里奥利力的大小为 $2 N$ 2 ,N，方向竖直向上．

2.3 欧拉力（Euler Force）

欧拉力是由于旋转参考系的角速度变化而产生的惯性力．它的大小与物体的质量和角速度的变化率有关．

公式：

F_{Euler} = - m \frac{d ω}{d t} \times r

F_Euler = -mddt * r

其中：

$m$ m 是物体的质量；
$\frac{d ω}{d t}$ ddt 是角速度的变化率；
$r$ r 是物体到旋转轴的距离．

特点：

欧拉力的方向由右手法则确定．
欧拉力仅在角速度变化时存在．

例题

一物体质量为 $1 kg$ 1 ,kg，位于距离旋转轴 $3 m$ 3 ,m 的位置，旋转参考系的角速度变化率为 $0.2 rad / s^{2}$ 0.2 ,rad/s^2．求物体受到的欧拉力．

解答：

F_{Euler} = - m \frac{d ω}{d t} \times r = - 1 \times 0.2 \times 3 = - 0.6 N

F_Euler = -mddt * r = -1 * 0.2 * 3 = -0.6 ,N

欧拉力的大小为 $0.6 N$ 0.6 ,N，方向由右手法则确定．

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惯性力

1. 惯性力的定义

2. 常见的惯性力

2.1 离心力（Centrifugal Force）

公式：

特点：

2.2 科里奥利力（Coriolis Force）

引入：

推导：

1. 坐标系设置

2. 位置矢量与速度变换

3. 加速度变换与科里奥利力项

4. 旋转系中的有效力

特点：

2.3 欧拉力（Euler Force）

公式：

特点：

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