惯性力 (Inertial Forces)

惯性力是一类虚拟力，它们出现在非惯性参考系中，用于解释物体在该参考系中的运动。由于非惯性参考系本身是加速的，因此需要引入惯性力来补偿加速度的影响，使牛顿运动定律在非惯性系中仍然适用。

1. 惯性力的定义

在非惯性参考系中，惯性力的大小和方向由参考系的加速度决定。惯性力的表达式为：

$${\mathit{F}}_{\text{inertial}}=-m{\mathit{a}}_{\text{ref}}$$

其中：

• $m$ 是物体的质量；
• ${\mathit{a}}_{\text{ref}}$ 是非惯性参考系相对于惯性参考系的加速度；
• ${\mathit{F}}_{\text{inertial}}$ 是惯性力，方向与参考系加速度的方向相反。

惯性力并不是一种真实的力，而是一种数学上的修正项，用于在非惯性系中应用牛顿定律。

例题

一辆汽车以 $2\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$ 的加速度向前行驶，车内有一质量为 $10\mathrm{kg}$ 的物体。求物体在汽车参考系中受到的惯性力。

解答：

$${\mathit{F}}_{\text{inertial}}=-m{\mathit{a}}_{\text{ref}}=-10\times 2=-20\mathrm{N}$$

惯性力的大小为 $20\mathrm{N}$，方向与汽车加速度方向相反。

2. 常见的惯性力

2.1 离心力 (Centrifugal Force)

离心力是由于旋转参考系的角速度而产生的惯性力。它的大小与物体的质量、旋转角速度和到旋转轴的距离有关。

公式：

$${\mathit{F}}_{\text{centrifugal}}=m{\omega }^2\mathit{r}$$

其中：

• $m$ 是物体的质量；
• $\omega$ 是旋转参考系的角速度；
• $\mathit{r}$ 是物体到旋转轴的距离。

特点：

• 离心力的方向总是指向远离旋转轴的方向。
• 离心力的大小与距离 $r$ 成正比。

例题

一物体质量为 $5\mathrm{kg}$，位于距离旋转轴 $2\mathrm{m}$ 的位置，旋转角速度为 $3\mathrm{rad}/\mathrm{s}$。求物体受到的离心力。

解答：

$${\mathit{F}}_{\text{centrifugal}}=m{\omega }^{2}r=5\times 3^2\times 2=90\mathrm{N}$$

物体受到的离心力为 $90\mathrm{N}$，方向远离旋转轴。

2.2 科里奥利力 (Coriolis Force)

科里奥利力是由于物体在旋转参考系中运动而产生的惯性力。它的存在是非惯性参考系中一个重要的现象，尤其在地球自转的背景下，科里奥利力对天气系统、海洋流动等有重要影响。

引入：

假设有一个矢量 $\mathit{P}$，它表示某物体的位置、速度或其他物理量。我们希望研究 $\mathit{P}$ 的变化率（即导数）在惯性参考系和旋转参考系中的关系。

1. 惯性参考系中的变化率： 在惯性参考系中，矢量 $\mathit{P}$ 的变化率为：

$${\left(\frac{d\mathit{P}}{dt}\right)}_{\text{inertial}}$$

1. 旋转参考系中的变化率： 在旋转参考系中，矢量 $\mathit{P}$ 的变化率不仅包括惯性参考系中的变化，还需要考虑参考系本身的旋转。设旋转参考系的角速度为 $\mathit{\omega }$，则有：

$${\left(\frac{d\mathit{P}}{dt}\right)}_{\text{inertial}}={\left(\frac{d\mathit{P}}{dt}\right)}_{\text{rotating}}+\mathit{\omega }\times \mathit{P}$$

其中：

• ${\left(\frac{d\mathit{P}}{dt}\right)}_{\text{rotating}}$ 是矢量 $\mathit{P}$ 在旋转参考系中的变化率；
• $\mathit{\omega }\times \mathit{P}$ 是由于参考系旋转引入的附加项。

推导：

1. 坐标系设置

设惯性系 $S$ 的坐标为 $(x,y,z)$，对应基矢量为 ${\hat{e}}_x,{\hat{e}}_y,{\hat{e}}_z$。旋转系 $S^{\prime }$ 的坐标为 $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$，对应基矢量为 ${\hat{e}}_{x^{\prime }},{\hat{e}}_{y^{\prime }},{\hat{e}}_{z^{\prime }}$。两坐标系原点重合，且 $S^{\prime }$ 绕 $z$ 轴以恒定角速度 $\omega$ 旋转，故角速度矢量 $\overrightarrow{\omega }=\omega {\hat{e}}_z$。为简化，设 $t=0$ 时两坐标系完全重合，则坐标变换关系为：

基矢量变换关系为：

2. 位置矢量与速度变换

位置矢量在惯性系和旋转系中表示为：

$$\overrightarrow{r}=x{\hat{e}}_x+y{\hat{e}}_y+z{\hat{e}}_z=x^{\prime }{\hat{e}}_{x^{\prime }}+y^{\prime }{\hat{e}}_{y^{\prime }}+z^{\prime }{\hat{e}}_{z^{\prime }}.$$

在惯性系中对时间求导得速度：

$${\overrightarrow{v}}_{\text{in}}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\frac{d}{dt}(x^{\prime }{\hat{e}}_{x^{\prime }}+y^{\prime }{\hat{e}}_{y^{\prime }}+z^{\prime }{\hat{e}}_{z^{\prime }}).$$

注意旋转系基矢量随时间变化，其导数为：

$$\frac{d{\hat{e}}_{x^{\prime }}}{dt}=\omega {\hat{e}}_{y^{\prime }},\frac{d{\hat{e}}_{y^{\prime }}}{dt}=-\omega {\hat{e}}_{x^{\prime }},\frac{d{\hat{e}}_{z^{\prime }}}{dt}=0.$$

代入得：

其中 ${\overrightarrow{v}}_{\text{rot}}=\frac{d{x}^{\prime }}{dt}{\hat{e}}_{x^{\prime }}+\frac{d{y}^{\prime }}{dt}{\hat{e}}_{y^{\prime }}+\frac{d{z}^{\prime }}{dt}{\hat{e}}_{z^{\prime }}$ 为旋转系中测得的速度。而第二项可写为 $\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}$，因为：

$$\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}=(\omega {\hat{e}}_{z^{\prime }})\times (x^{\prime }{\hat{e}}_{x^{\prime }}+y^{\prime }{\hat{e}}_{y^{\prime }}+z^{\prime }{\hat{e}}_{z^{\prime }})=\omega x^{\prime }{\hat{e}}_{y^{\prime }}-\omega y^{\prime }{\hat{e}}_{x^{\prime }}.$$

故速度变换公式为：

$${\overrightarrow{v}}_{\text{in}}={\overrightarrow{v}}_{\text{rot}}+\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}.$$

3. 加速度变换与科里奥利力项

对惯性系速度再求导得加速度：

$${\overrightarrow{a}}_{\text{in}}=\frac{d{\overrightarrow{v}}_{\text{in}}}{dt}=\frac{d}{dt}({\overrightarrow{v}}_{\text{rot}}+\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}).$$

分别计算两项。首先，对旋转系中的速度矢量 ${\overrightarrow{v}}_{\text{rot}}$ 求导时，需考虑其基矢量的旋转，利用旋转系中对矢量的时间导数关系：

$${\left(\frac{d\overrightarrow{Q}}{dt}\right)}_{\text{in}}={\left(\frac{d\overrightarrow{Q}}{dt}\right)}_{\text{rot}}+\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{Q},$$

其中 ${\left(\frac{d\overrightarrow{Q}}{dt}\right)}_{\text{rot}}$ 表示在旋转系中观察时 $\overrightarrow{Q}$ 的变化率（仅对分量求导，基矢量视为不变）。将 $\overrightarrow{Q}$ 取为 ${\overrightarrow{v}}_{\text{rot}}$，得：

$$\frac{d{\overrightarrow{v}}_{\text{rot}}}{dt}={\left(\frac{d{\overrightarrow{v}}_{\text{rot}}}{dt}\right)}_{\text{rot}}+\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{v}}_{\text{rot}}.$$

而 ${\left(\frac{d{\overrightarrow{v}}_{\text{rot}}}{dt}\right)}_{\text{rot}}$ 正是旋转系中测得的加速度 ${\overrightarrow{a}}_{\text{rot}}$。故：

$$\frac{d{\overrightarrow{v}}_{\text{rot}}}{dt}={\overrightarrow{a}}_{\text{rot}}+\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{v}}_{\text{rot}}.$$

其次，对 $\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}$ 求导（设 $\overrightarrow{\omega }$ 恒定）：

$$\frac{d}{dt}(\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r})=\overrightarrow{\omega }\times \frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{v}}_{\text{in}}=\overrightarrow{\omega }\times ({\overrightarrow{v}}_{\text{rot}}+\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r})=\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{v}}_{\text{rot}}+\overrightarrow{\omega }\times (\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}).$$

将两部分合并：

$${\overrightarrow{a}}_{\text{in}}={\overrightarrow{a}}_{\text{rot}}+\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{v}}_{\text{rot}}+\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{v}}_{\text{rot}}+\overrightarrow{\omega }\times (\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r})={\overrightarrow{a}}_{\text{rot}}+2\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{v}}_{\text{rot}}+\overrightarrow{\omega }\times (\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}).$$

4. 旋转系中的有效力

在惯性系中，牛顿第二定律为 $m{\overrightarrow{a}}_{\text{in}}={\overrightarrow{F}}_{\text{real}}$。代入加速度变换式：

$$m{\overrightarrow{a}}_{\text{rot}}+2m\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{v}}_{\text{rot}}+m\overrightarrow{\omega }\times (\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r})={\overrightarrow{F}}_{\text{real}}.$$

移项得旋转系中的运动方程：

$$m{\overrightarrow{a}}_{\text{rot}}={\overrightarrow{F}}_{\text{real}}-2m\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{v}}_{\text{rot}}-m\overrightarrow{\omega }\times (\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}).$$

因此，在旋转系中观察时，除了真实力 ${\overrightarrow{F}}_{\text{real}}$ 外，还需引入两个惯性力：

• 科里奥利力：${\overrightarrow{F}}_{\text{cor}}=-2m\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{v}}_{\text{rot}}$，
• 离心力：${\overrightarrow{F}}_{\text{cen}}=-m\overrightarrow{\omega }\times (\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r})$。

特点：

• 方向：科里奥利力的方向由右手法则确定。右手四指指向 $\mathit{v}$ 的方向，弯向 $\mathit{\omega }$ 的方向，大拇指指向科里奥利力的方向。
• 大小：科里奥利力的大小与物体的速度和旋转角速度成正比。
• 性质：科里奥利力是一种惯性力，仅在旋转参考系中存在。

例题

一质量为 $2\mathrm{kg}$ 的物体以 $5\mathrm{m}/\mathrm{s}$ 的速度沿东向运动，所在参考系的角速度为 $0.1\mathrm{rad}/\mathrm{s}$，方向指向北。求物体受到的科里奥利力。

解答：

$${\mathit{F}}_{\text{Coriolis}}=2m(\mathit{v}\times \mathit{\omega })$$

设 $\mathit{v}=5\hat{i}$，$\mathit{\omega }=0.1\hat{j}$，则：

$${\mathit{F}}_{\text{Coriolis}}=2\times 2\times 0.5\hat{k}=2\hat{k}\mathrm{N}$$

科里奥利力的大小为 $2\mathrm{N}$，方向竖直向上。

2.3 欧拉力 (Euler Force)

欧拉力是由于旋转参考系的角速度变化而产生的惯性力。它的大小与物体的质量和角速度的变化率有关。

公式：

$${\mathit{F}}_{\text{Euler}}=-m\frac{d\mathit{\omega }}{dt}\times \mathit{r}$$

其中： - $m$ 是物体的质量； - $\frac{d\mathit{\omega }}{dt}$ 是角速度的变化率； - $\mathit{r}$ 是物体到旋转轴的距离。

特点：

• 欧拉力的方向由右手法则确定。
• 欧拉力仅在角速度变化时存在。

例题

一物体质量为 $1\mathrm{kg}$，位于距离旋转轴 $3\mathrm{m}$ 的位置，旋转参考系的角速度变化率为 $0.2\mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2$。求物体受到的欧拉力。

解答：

$${\mathit{F}}_{\text{Euler}}=-m\frac{d\mathit{\omega }}{dt}\times \mathit{r}=-1\times 0.2\times 3=-0.6\mathrm{N}$$

欧拉力的大小为 $0.6\mathrm{N}$，方向由右手法则确定。

本页面最近更新：2026/1/31 23:45:52，更新历史
发现错误？想一起完善？ 在 GitHub 上编辑此页！
本页面贡献者：Leafuke
本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用

评论