虚位移、理想约束与虚功

把小球限制在光滑圆环上时，支持力保证它不离开轨道，却未必决定沿轨道的运动．如果只问小球沿轨道是否平衡，能否不先求出支持力？关键是把力投影到约束容许的方向．

本页学习如何构造 虚位移（virtual displacement），以及何时可以利用理想约束消去反力．先读约束与广义坐标，并复习功与势能．

冻结时间后，哪些位置变化仍被允许

虚位移是在固定时刻、满足该时刻约束的假想无穷小位形变化，记作 $δ r_{i}$ deltaboldsymbol r_i．它不需要等于真实运动的方向，也不涉及真的经过一段时间；等时条件是 $δ t = 0$ delta t=0．

对完整约束 $f_{a} (r_{1}, \dots, r_{N}, t) = 0$ f_a(boldsymbol r_1,ldots,boldsymbol r_N,t)=0，虚位移满足

\sum_{i} \nabla_{i} f_{a} \cdot δ r_{i} = 0

sum_inabla_i f_a*deltaboldsymbol r_i=0

而真实运动对时间求导后满足

\sum_{i} \nabla_{i} f_{a} \cdot v_{i} + \frac{\partial f_{a}}{\partial t} = 0

sum_inabla_i f_a*boldsymbol v_i +d f_a/d t=0

非定常约束下，两者的区别正是是否包含约束自身随时间移动的项．即使约束定常，虚位移也是所有容许方向中的任意选择，真实速度却由当前运动状态决定．

对独立广义坐标 $q_{α}$ q_alpha，固定时间使虚位移展开为

δ r_{i} = \sum_{α} \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{α}} δ q_{α}

deltaboldsymbol r_i =sum_alphadboldsymbol r_i/d q_alphadelta q_alpha

这里的 $δ q_{α}$ delta q_alpha 相互独立，可以逐个取正、负或零．

移动悬点单摆的真实位移包含悬点移动项；虚位移在同一时刻沿圆周切向

移动悬点的具体比较

取 $x$ x 向右、 $y$ y 向上，悬点位置为 $(X (t), 0)$ (X(t),0)，摆角仍从竖直向下逆时针量取．位置与两类位移为

\begin{aligned} r & = (X + l \sin θ, - l \cos θ), \\ δ r & = l (\cos θ, \sin θ) δ θ, \\ d r & = (\dot{X}, 0) d t + l (\cos θ, \sin θ) \dot{θ} d t \end{aligned}

aligned boldsymbol r&=(X+lsintheta,-lcostheta), deltaboldsymbol r&=l(costheta,sintheta)deltatheta, mathrm dboldsymbol r&=(dot X,0)mathrm dt +l(costheta,sintheta)dottheta ,mathrm dt aligned

虚位移切于冻结后的圆周．真实位移还包含悬点移动，通常不切于同一条冻结的圆周．

理想约束为什么能消去反力

把每个质点所受力分成主动力 $F_{i}^{(a)}$ boldsymbol F_i^(a) 和约束力 $f_{i}$ boldsymbol f_i．主动力是重力、弹簧力等用于驱动运动的力；这种划分取决于模型，并不等同于外力／内力划分．

虚功是力与虚位移的标量积．若所有容许虚位移都满足

\sum_{i} f_{i} \cdot δ r_{i} = 0,

sum_iboldsymbol f_i*deltaboldsymbol r_i=0,

就称约束为 理想约束（ideal constraint）．零虚功要求的是整个系统的代数和，不要求每一个内约束力分别做零虚功．

光滑曲面的支持力沿法向，虚位移沿切向，二者垂直．移动曲面也可以具有这个性质．
不可伸长轻杆两端的轴向力大小相等、方向相反；长度不变使两端虚位移在杆方向上的差为零，因此两端虚功相消．
干摩擦、滚动阻力等是否属于理想约束，需检查模型和容许位移，不能只凭名称判断．固定支承上的理想无滑动滚动通常将静摩擦作为零虚功约束反力；这不包含滚动阻力矩．

零虚功不等于不做实功

移动悬点例子中，设杆对小球的径向力为 $f = F_{r} (\sin θ, - \cos θ)$ boldsymbol f=F_r(sintheta,-costheta)， $F_{r}$ F_r 可正可负．它与 $δ r$ deltaboldsymbol r 正交，虚功为零，但实际功率为

f \cdot v = F_{r} \dot{X} \sin θ,

boldsymbol f*boldsymbol v=F_rdot Xsintheta,

通常不为零．驱动悬点的装置能够向小球传递能量．

虚功原理：沿每个容许方向都没有剩余驱动力

静力平衡时 $F_{i}^{(a)} + f_{i} = 0$ boldsymbol F_i^(a)+boldsymbol f_i=0．与虚位移作标量积、对质点求和，再使用零虚功条件，得到 虚功原理：

\sum_{i} F_{i}^{(a)} \cdot δ r_{i} = 0 对任意容许虚位移成立

sum_iboldsymbol F_i^(a)*deltaboldsymbol r_i=0 qquad对任意容许虚位移成立

在可双向变化的独立坐标、理想等式约束模型下，这给出平衡的切向条件；法向部分由约束反力承担．还要确认所需反力能由实际装置提供，单侧接触和只能受拉的绳不能不加检查．非定常约束一般不能维持静止平衡，本页的平衡例题使用固定约束．

若主动力有与速度无关的势能 $V$ V，则其虚功是 $- δ V$ -delta V．因此平衡条件是势能在每个独立坐标方向上的一阶导数为零．驻点可以是极小、极大或更一般的驻点；平衡与稳定必须分开判断．

例题：竖直圆环上哪里能平衡？

质量为 $m$ m 的小环套在固定、光滑的竖直圆形铁丝上，半径为 $R$ R．套环可由铁丝提供所需法向力，不发生脱离．取环心为原点， $y$ y 向上，角度 $θ$ theta 从最低点方向逆时针量取：

x = R \sin θ, y = - R \cos θ, δ y = R \sin θ δ θ

x=Rsintheta,qquad y=-Rcostheta, qquaddelta y=Rsintheta ,deltatheta

唯一主动力为重力，虚功为 $- m g δ y = - m g R \sin θ δ θ$ -mgdelta y=-mgRsintheta ,deltatheta．由于 $δ θ$ deltatheta 任意，平衡要求 $\sin θ = 0$ sintheta=0：最低点和最高点都是平衡位形．

势能 $V = - m g R \cos θ$ V=-mgRcostheta 的二阶导数是 $m g R \cos θ$ mgRcostheta．最低点二阶导数为正，微小偏离后受回复作用，是稳定平衡；最高点为负，是不稳定平衡．不必先求法向支持力，就能完成这两项判断．

补充：稳定性判断的范围

多自由度系统要检查势能二阶型；正定二阶型是标准自然力学系统稳定平衡的充分条件．若二阶项为零或存在速度相关作用，不能只沿用本例的一维判据．

文内自测

固定单摆恰在转向点，真实速度为零，它的虚位移是否也必须为零？

自测一解答

不必须．虚位移只由该时刻的约束限制，仍可以沿圆周切向任意取值．零真实速度是运动状态，不能当成额外几何约束．

在光滑平台上，由一根不可伸长轻杆连接的两个质点共同平移，杆的两个端力是否都分别做零虚功？

自测二解答

不一定．设两个端力为 $f$ boldsymbol f 和 $- f$ -boldsymbol f，两端虚位移为 $δ r_{1}$ deltaboldsymbol r_1、 $δ r_{2}$ deltaboldsymbol r_2．总虚功为 $f \cdot (δ r_{1} - δ r_{2})$ boldsymbol f*(deltaboldsymbol r_1-deltaboldsymbol r_2)．杆长不变使差位移的轴向分量为零，所以总和为零；单个端力的虚功仍可能非零．

继续学习与参考资料

上一页：约束与广义坐标．下一页：达朗贝尔原理与广义力，把静力平衡扩展到加速运动．

高显，《经典力学》，科学出版社，2023 年．
MIT OpenCourseWare，Lagrangian dynamics 与 admissible variations．

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