拉格朗日建模实例

会写欧拉—拉格朗日方程，并不意味着已经会构造它的输入．单摆与双摆很适合训练这个过程：新增一根杆后，难点不在换一种方程，而在正确表达两个质点的速度与耦合．

本页假定已读拉格朗日方程，能对坐标表达式求时间导数．读完应能从模型自己写出动能与势能，建立方程，并判断结果是否合理．这里先得到运动方程，不要求求出全部解析解．

一套可重复的建模步骤

系统与假设：哪些物体有质量，哪些杆或弹簧理想化，约束是否固定、完整、理想？
参考系与坐标：在惯性参考系中说明正方向，选取独立参数；给出位置映射以验证约束．
位置与速度：逐个质点求全时间导数，检查是否遗漏移动约束项．
动能与势能：先写各质点能量，再求和；明确重力势能零点．
运动方程：构造 $L = T - V$ L=T-V，必要时另加没有计入势能的广义力．
结果检查：核对量纲、回复方向、无耦合或小角度极限；求解时给出足够的初始位置和速度．

采用统一坐标与绝对摆角的单摆和双摆模型

例题一：固定悬点单摆

模型、坐标与能量

均匀重力场中，质量为 $m > 0$ m>0 的质点由长度 $l > 0$ l>0 的不可伸长轻杆连接固定悬点，在竖直平面运动．忽略阻力与铰链摩擦．用杆而非绳，是为了让长度约束在整个转动中保持有效，且杆可受拉也可受压．

悬点为原点， $x$ x 向右、 $y$ y 向上，角度 $θ$ theta 从竖直向下逆时针量取．位置、速度为

\begin{aligned} x & = l \sin θ, & y & = - l \cos θ, \\ \dot{x} & = l \dot{θ} \cos θ, & \dot{y} & = l \dot{θ} \sin θ \end{aligned}

aligned x&=lsintheta,& y&=-lcostheta, dot x&=ldotthetacostheta,& dot y&=ldotthetasintheta aligned

两项速度平方相加后得 $v^{2} = l^{2} {\dot{θ}}^{2}$ v^2=l^2dottheta^2．取悬点高度的势能为零：

T = \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{θ}}^{2}, V = - m g l \cos θ, L = \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{θ}}^{2} + m g l \cos θ

T=frac12ml^2dottheta^2,qquad V=-mglcostheta,qquad L=frac12ml^2dottheta^2+mglcostheta

方程与检查

将 $\partial L / \partial \dot{θ} = m l^{2} \dot{θ}$ d L/ddottheta=ml^2dottheta 和 $\partial L / \partial θ = - m g l \sin θ$ d L/dtheta=-mglsintheta 代入方程：

\ddot{θ} + \frac{g}{l} \sin θ = 0

ddottheta+g/lsintheta=0

$g / l$ g/l 的量纲为 $s^{- 2}$ s^-2，与角加速度匹配．质量约掉，符合重力与惯性质量同比例的模型．
$| θ | ≪ 1$ |theta|ll1 时 $\sin θ \approx θ$ sintheta~theta，固有角频率为 $ω_{0} = \sqrt{g / l}$ omega_0=g/l．这是小角度近似，不适用于任意振幅．
机械能 $E = m l^{2} {\dot{θ}}^{2} / 2 - m g l \cos θ$ E=ml^2dottheta^2/2-mglcostheta 沿方程满足 $d E / d t = \dot{θ} (m l^{2} \ddot{θ} + m g l \sin θ) = 0$ mathrm dE/mathrm dt=dottheta(ml^2ddottheta+mglsintheta)=0，可作独立检查．

给定 $θ (0)$ theta(0) 和 $\dot{θ} (0)$ dottheta(0) 才确定一条运动．如果改用轻绳，还必须验证张力 $F_{t e n} = m (l {\dot{θ}}^{2} + g \cos θ) \geq 0$ F_rm ten=m(ldottheta^2+gcostheta)>=0；绳松弛后需改换模型，不能继续沿圆周方程求解．

能量方程在转向点不能直接除以角速度

从能量守恒求导只得到 $\dot{θ} (m l^{2} \ddot{θ} + m g l \sin θ) = 0$ dottheta(ml^2ddottheta+mglsintheta)=0．当 $\dot{θ} = 0$ dottheta=0 时，不能直接消去这个因子．对已知光滑的非静止运动，可在转向点两侧用运动方程并连续延拓；但单独一条能量关系不能在所有静止情形替代动力学方程．本页用拉格朗日方程作为建模依据，以能量作检查．

为什么不能把受限的位置分量当成两个独立坐标

若直接写 $L = m ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2}) / 2 - m g y$ L=m(dot x^2+dot y^2)/2-mgy，并对 $x, y$ x,y 各套一条无约束方程，会得到 $\ddot{x} = 0$ ddot x=0、 $\ddot{y} = - g$ ddot y=-g，描述的是自由落体．问题不在笛卡尔坐标，而在遗漏了 $x^{2} + y^{2} = l^{2}$ x^2+y^2=l^2 与相应反力．

可以用角度把约束消去，也可以在后续的乘子法中保留冗余坐标和约束方程．不能既保留受限坐标，又假定它们的变分相互独立．

补充解法：用水平位置作为局部坐标

在下半圆且 $| x | < l$ |x|<l 时，可令 $y = - \sqrt{l^{2} - x^{2}}$ y=-l^2-x^2．得到

L = \frac{m l^{2} {\dot{x}}^{2}}{2 (l^{2} - x^{2})} + m g \sqrt{l^{2} - x^{2}},

L=ml^2dot x^2/2(l^2-x^2)+mgl^2-x^2,

对 $x$ x 建立方程为

\frac{m l^{2} \ddot{x}}{l^{2} - x^{2}} + \frac{m l^{2} x {\dot{x}}^{2}}{(l^{2} - x^{2})^{2}} + \frac{m g x}{\sqrt{l^{2} - x^{2}}} = 0

ml^2ddot x/l^2-x^2 +ml^2xdot x^2/(l^2-x^2)^2 +mgx/l^2-x^2=0

在这段坐标有效区域内代入 $x = l \sin θ$ x=lsintheta、 $\cos θ > 0$ costheta>0，可还原角度方程．它增加了计算量，也无法跨过 $x = \pm l$ x=+/- l，说明选坐标既要正确，也要方便．

例题二：平面双摆

模型与位置映射

两个质点质量为 $m_{1}, m_{2} > 0$ m_1,m_2>0，两根不可伸长轻杆长度为 $l_{1}, l_{2} > 0$ l_1,l_2>0，上端固定、关节无摩擦，运动在竖直平面内．忽略杆的质量和空气阻力．沿用 $x$ x 向右、 $y$ y 向上，两个角 $θ_{1}, θ_{2}$ theta_1,theta_2 各自相对于竖直向下方向量取，不是第二杆相对第一杆的角度．

\begin{aligned} r_{1} & = (l_{1} \sin θ_{1}, - l_{1} \cos θ_{1}), \\ r_{2} & = r_{1} + (l_{2} \sin θ_{2}, - l_{2} \cos θ_{2}) \end{aligned}

aligned boldsymbol r_1&=(l_1sintheta_1,-l_1costheta_1), boldsymbol r_2&=boldsymbol r_1+(l_2sintheta_2,-l_2costheta_2) aligned

两个距离约束已自动满足，两角独立．记 $Δ = θ_{1} - θ_{2}$ Delta=theta_1-theta_2，求导后第二个质点的速度平方为

v_{2}^{2} = l_{1}^{2} {\dot{θ}}_{1}^{2} + l_{2}^{2} {\dot{θ}}_{2}^{2} + 2 l_{1} l_{2} {\dot{θ}}_{1} {\dot{θ}}_{2} \cos Δ

v_2^2=l_1^2dottheta_1^2+l_2^2dottheta_2^2 +2l_1l_2dottheta_1dottheta_2cosDelta

交叉项来自两个速度贡献的标量积：上杆带动第一个关节，下杆相对关节转动；第二质点的绝对速度是二者之和．它不是另外添加的一种力，也不能因为“两根杆”就删掉．

构造能量

\begin{aligned} T & = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) l_{1}^{2} {\dot{θ}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} l_{2}^{2} {\dot{θ}}_{2}^{2} + m_{2} l_{1} l_{2} {\dot{θ}}_{1} {\dot{θ}}_{2} \cos Δ, \\ V & = - (m_{1} + m_{2}) g l_{1} \cos θ_{1} - m_{2} g l_{2} \cos θ_{2} \end{aligned}

aligned T&=frac12(m_1+m_2)l_1^2dottheta_1^2 +frac12m_2l_2^2dottheta_2^2 +m_2l_1l_2dottheta_1dottheta_2cosDelta, V&=-(m_1+m_2)gl_1costheta_1-m_2gl_2costheta_2 aligned

注意第一项动能与势能都含 $m_{1} + m_{2}$ m_1+m_2：第一根杆的运动同时改变两质点的位置．仍令 $L = T - V$ L=T-V．

两条耦合方程

令 $B = m_{2} l_{1} l_{2}$ B=m_2l_1l_2．对第一角，有

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial {\dot{θ}}_{1}} & = (m_{1} + m_{2}) l_{1}^{2} {\dot{θ}}_{1} + B {\dot{θ}}_{2} \cos Δ, \\ \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{θ}}_{1}} & = (m_{1} + m_{2}) l_{1}^{2} {\ddot{θ}}_{1} + B {\ddot{θ}}_{2} \cos Δ - B {\dot{θ}}_{2} ({\dot{θ}}_{1} - {\dot{θ}}_{2}) \sin Δ, \\ \frac{\partial L}{\partial θ_{1}} & = - B {\dot{θ}}_{1} {\dot{θ}}_{2} \sin Δ - (m_{1} + m_{2}) g l_{1} \sin θ_{1} \end{aligned}

aligned d L/ddottheta_1 &=(m_1+m_2)l_1^2dottheta_1+Bdottheta_2cosDelta, mathrm d/mathrm dtd L/ddottheta_1 &=(m_1+m_2)l_1^2ddottheta_1+Bddottheta_2cosDelta -Bdottheta_2(dottheta_1-dottheta_2)sinDelta, d L/dtheta_1 &=-Bdottheta_1dottheta_2sinDelta-(m_1+m_2)gl_1sintheta_1 aligned

对第二角，有

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial {\dot{θ}}_{2}} & = m_{2} l_{2}^{2} {\dot{θ}}_{2} + B {\dot{θ}}_{1} \cos Δ, \\ \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{θ}}_{2}} & = m_{2} l_{2}^{2} {\ddot{θ}}_{2} + B {\ddot{θ}}_{1} \cos Δ - B {\dot{θ}}_{1} ({\dot{θ}}_{1} - {\dot{θ}}_{2}) \sin Δ, \\ \frac{\partial L}{\partial θ_{2}} & = B {\dot{θ}}_{1} {\dot{θ}}_{2} \sin Δ - m_{2} g l_{2} \sin θ_{2} \end{aligned}

aligned d L/ddottheta_2 &=m_2l_2^2dottheta_2+Bdottheta_1cosDelta, mathrm d/mathrm dtd L/ddottheta_2 &=m_2l_2^2ddottheta_2+Bddottheta_1cosDelta -Bdottheta_1(dottheta_1-dottheta_2)sinDelta, d L/dtheta_2 &=Bdottheta_1dottheta_2sinDelta-m_2gl_2sintheta_2 aligned

分别相减，混合速度乘积消去，得到

\begin{aligned} (m_{1} + m_{2}) l_{1}^{2} {\ddot{θ}}_{1} + B \cos Δ {\ddot{θ}}_{2} + B \sin Δ {\dot{θ}}_{2}^{2} + (m_{1} + m_{2}) g l_{1} \sin θ_{1} & = 0, \\ m_{2} l_{2}^{2} {\ddot{θ}}_{2} + B \cos Δ {\ddot{θ}}_{1} - B \sin Δ {\dot{θ}}_{1}^{2} + m_{2} g l_{2} \sin θ_{2} & = 0 \end{aligned}

aligned (m_1+m_2)l_1^2ddottheta_1 +BcosDelta ,ddottheta_2 +BsinDelta ,dottheta_2^2 +(m_1+m_2)gl_1sintheta_1&=0, m_2l_2^2ddottheta_2 +BcosDelta ,ddottheta_1 -BsinDelta ,dottheta_1^2 +m_2gl_2sintheta_2&=0 aligned

每项都有能量或力矩量纲．两个方程必须一起求解，需要两角和两角速度共四个初始量．

如何确认耦合结果合理

在下垂平衡附近，令两角及其运动幅度都小，保留一阶项．此时速度平方与 $\sin Δ$ sinDelta 的乘积是高阶项， $\cos Δ \approx 1$ cosDelta~1，得到

\begin{aligned} (m_{1} + m_{2}) l_{1}^{2} {\ddot{θ}}_{1} + B {\ddot{θ}}_{2} + (m_{1} + m_{2}) g l_{1} θ_{1} & = 0, \\ B {\ddot{θ}}_{1} + m_{2} l_{2}^{2} {\ddot{θ}}_{2} + m_{2} g l_{2} θ_{2} & = 0 \end{aligned}

aligned (m_1+m_2)l_1^2ddottheta_1+Bddottheta_2+(m_1+m_2)gl_1theta_1&=0, Bddottheta_1+m_2l_2^2ddottheta_2+m_2gl_2theta_2&=0 aligned

小角度并没有消除耦合．若两质量均为 $m$ m、两杆长均为 $l$ l，寻找同频运动可得 $ω_{\pm}^{2} = (2 \pm \sqrt{2}) g / l$ omega_+/-^2=(2+/-sqrt2)g/l，对应两个简正模；详细讨论留到振动模块的后续拓展．

加速度系数矩阵的行列式为

m_{2} l_{1}^{2} l_{2}^{2} (m_{1} + m_{2} \sin^{2} Δ) > 0,

m_2l_1^2l_2^2left(m_1+m_2sin^2Deltaright)>0,

所以在正质量、正杆长假设下可以由两条方程确定两角加速度．将第一方程乘 ${\dot{θ}}_{1}$ dottheta_1、第二方程乘 ${\dot{θ}}_{2}$ dottheta_2 后相加，得到 $d (T + V) / d t = 0$ mathrm d(T+V)/mathrm dt=0，也是检查交叉项符号的办法．

若物理上移去第二个质点和第二根杆，第一方程恢复单摆方程．不能把 $m_{2} = 0$ m_2=0 直接当成仍有两个正常动力学自由度的模型，因为这会使动能矩阵退化．

文内自测

双摆公式中的第一项动能为什么不能写成 $m_{1} l_{1}^{2} {\dot{θ}}_{1}^{2} / 2$ m_1l_1^2dottheta_1^2/2？

自测一解答

第二个质点的绝对速度包含第一关节的运动，所以它也贡献 $m_{2} l_{1}^{2} {\dot{θ}}_{1}^{2} / 2$ m_2l_1^2dottheta_1^2/2．漏掉这一项等于把第二质点错误地放在一个固定关节上．

若把第二坐标改为两杆夹角 $ψ = θ_{2} - θ_{1}$ psi=theta_2-theta_1，能否直接在上面方程中把 $θ_{2}$ theta_2 的名字换成 $ψ$ psi？

自测二解答

不能．必须代入 $θ_{2} = θ_{1} + ψ$ theta_2=theta_1+psi、 ${\dot{θ}}_{2} = {\dot{θ}}_{1} + \dot{ψ}$ dottheta_2=dottheta_1+dotpsi，重新表达 $L$ L 后对新坐标求导．独立坐标变换不改变物理运动，但改变了偏导时固定哪些变量．

继续学习与参考资料

上一页：拉格朗日方程．下一页：非保守广义力与耗散，为建模步骤加入阻力和外驱动．返回分析力学导读．

高显，《经典力学》，科学出版社，2023 年．
David Tong，The Lagrangian Formalism：广义坐标、拉格朗日建模与小振动．

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