达朗贝尔原理与广义力

虚功原理能判断平衡，但圆环上的小环通常正在加速，主动力的切向投影不为零．要把同一思路用于动力学，必须把加速度项一起投影，而不是继续令主动力虚功为零．

本页从牛顿运动定律出发，学习达朗贝尔原理和 广义力（generalized force）．需要掌握虚位移与理想约束，会使用矢量标量积．

把牛顿方程投影到容许方向

在惯性参考系中，对恒定质量 $m_{i}$ m_i 的质点，有

F_{i}^{(a)} + f_{i} = m_{i} {\ddot{r}}_{i}

boldsymbol F_i^(a)+boldsymbol f_i=m_iboldsymbol r_i

移项后与容许虚位移作标量积，对所有质点求和．如果约束理想，约束力项消失，得到 达朗贝尔原理（d'Alembert's principle）：

\sum_{i} (F_{i}^{(a)} - m_{i} {\ddot{r}}_{i}) \cdot δ r_{i} = 0

sum_ileft(boldsymbol F_i^(a)-m_iboldsymbol r_iright) *deltaboldsymbol r_i=0

它的意思是：主动力与惯性项的差在每个容许方向上的投影都为零，剩余法向部分由反力补足．“动平衡”是一种方程改写，不表示运动质点真的处于静止平衡．

惯性项的含义

这里的 $- m_{i} {\ddot{r}}_{i} = - {\dot{p}}_{i}$ -m_iboldsymbol r_i=-boldsymbol p_i 是移到左边的动力学项，不是 $- p_{i}$ -boldsymbol p_i，也不是新增加的物理相互作用．它与非惯性参考系的惯性力需要区分；本页没有变换参考系．

广义力：每个坐标变化对应的虚功系数

对完整约束下的独立广义坐标，代入

δ r_{i} = \sum_{α = 1}^{n} \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{α}} δ q_{α},

deltaboldsymbol r_i=sum_alpha=1^n dboldsymbol r_i/d q_alphadelta q_alpha,

主动力的总虚功成为

δ W^{(a)} = \sum_{α} Q_{α} δ q_{α}, Q_{α} = \sum_{i} F_{i}^{(a)} \cdot \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{α}}

delta W^(a)=sum_alpha Q_alphadelta q_alpha, qquad Q_alpha=sum_iboldsymbol F_i^(a)* dboldsymbol r_i/d q_alpha

$Q_{α}$ Q_alpha 是与坐标 $q_{α}$ q_alpha 配对的广义力．它不是把某个矢量力简单改名；多个质点的力可以共同贡献于同一个 $Q_{α}$ Q_alpha．

竖直圆环上的质点，重力与径向反力及角度增加方向的切向虚位移

量纲与势能关系

$Q_{α} δ q_{α}$ Q_alphadelta q_alpha 必须具有能量量纲．若 $q_{α}$ q_alpha 是长度，广义力具有力的单位；若是无量纲角度，它具有力矩的单位．更一般地，广义力的单位是能量除以相应坐标的单位．

若主动力由位置势能 $V (r_{1}, \dots, r_{N}, t)$ V(boldsymbol r_1,ldots,boldsymbol r_N,t) 给出，则固定时间的链式法则给出

Q_{α} = \sum_{i} (- \nabla_{i} V) \cdot \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{α}} = - \frac{\partial V}{\partial q_{α}}

Q_alpha=sum_i(-nabla_i V)* dboldsymbol r_i/d q_alpha =-d V/d q_alpha

这一步不要求约束定常，但这里的势能不含速度．对于额外阻力或外驱动力，可以直接从虚功求相应广义力．

独立坐标下的动力学投影

将主动力与惯性项一起代入达朗贝尔原理，有

\sum_{α} [Q_{α} - \sum_{i} m_{i} {\ddot{r}}_{i} \cdot \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{α}}] δ q_{α} = 0

sum_alphaleft[ Q_alpha-sum_i m_iboldsymbol r_i* dboldsymbol r_i/d q_alpha right]delta q_alpha=0

独立坐标的变分可任意选择，所以每个方括号分别为零：

\sum_{i} m_{i} {\ddot{r}}_{i} \cdot \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{α}} = Q_{α}

sum_i m_iboldsymbol r_i* dboldsymbol r_i/d q_alpha=Q_alpha

现在已消去了理想反力，但左边仍涉及位置矢量的二阶导数．下一页把它重写为动能的导数，就得到统一的拉格朗日方程．

例题：竖直圆环上的小环如何运动？

使用上一页的固定光滑圆环模型，半径 $R$ R，质量 $m$ m，坐标 $θ$ theta 从最低点方向逆时针量取， $y$ y 向上．本题训练把加速度投影到容许方向，不要求解出 $θ (t)$ theta(t)．

位置、单位径向与切向矢量为

r = R (\sin θ, - \cos θ), e_{r} = (\sin θ, - \cos θ), e_{θ} = (\cos θ, \sin θ)

boldsymbol r=R(sintheta,-costheta),qquad boldsymbol e_r=(sintheta,-costheta),qquad boldsymbol e_theta=(costheta,sintheta)

固定半径下，加速度为 $a = - R {\dot{θ}}^{2} e_{r} + R \ddot{θ} e_{θ}$ boldsymbol a=-Rdottheta^2boldsymbol e_r+Rddotthetaboldsymbol e_theta，虚位移为 $R e_{θ} δ θ$ Rboldsymbol e_thetadeltatheta．重力 $F^{(a)} = (0, - m g)$ boldsymbol F^(a)=(0,-mg)，所以

Q_{θ} = (0, - m g) \cdot R e_{θ} = - m g R \sin θ

Q_theta=(0,-mg)* Rboldsymbol e_theta=-mgRsintheta

径向加速度与虚位移垂直，因此达朗贝尔原理化为

(- m g R \sin θ - m R^{2} \ddot{θ}) δ θ = 0, \ddot{θ} + \frac{g}{R} \sin θ = 0

left(-mgRsintheta-mR^2ddotthetaright)deltatheta=0, qquad ddottheta+g/Rsintheta=0

正的小角度偏离最低点会产生负角加速度，方向符合回复作用． $g / R$ g/R 的量纲是时间的负二次方．小角度下得到角频率 $\sqrt{g / R}$ g/R；把角度移到最高点附近则得到不稳定运动．

反力被消去，不等于反力不存在

如果还要计算铁丝对小环的法向力，可把已求出的运动代回牛顿方程的径向分量．消元只是不让未知反力阻碍求切向运动．非完整约束下的变分通常相互受限，不能把上面的每个方括号直接分别置零．

文内自测

单摆小球受到水平向右的外力 $F (t)$ F(t)，求它对摆角的广义力．

自测一解答

$\partial r / \partial θ = l (\cos θ, \sin θ)$ dboldsymbol r/dtheta=l(costheta,sintheta)，所以 $Q_{θ}^{e x t} = F (t) l \cos θ$ Q_theta^rm ext=F(t)lcostheta．它的单位为 $N m$ N ,m；小球接近水平位置时，水平力近乎沿杆，广义驱动趋近零．

圆环上的小环受到切向阻力 $F_{D} = - c R \dot{θ} e_{θ}$ boldsymbol F_D=-cRdotthetaboldsymbol e_theta，其中 $c > 0$ c>0，阻力如何改变上例？

自测二解答

阻力的广义力为 $Q_{θ}^{D} = - c R^{2} \dot{θ}$ Q_theta^D=-cR^2dottheta．因此

m R^{2} \ddot{θ} + m g R \sin θ + c R^{2} \dot{θ} = 0

mR^2ddottheta+mgRsintheta+cR^2dottheta=0

$c$ c 的单位为 $kg / s$ kg/s，每项都是力矩．令 $c = 0$ c=0 恢复无阻力方程．

继续学习与参考资料

上一页：虚功与理想约束．下一页：拉格朗日方程．极坐标加速度的推导可查参考系与坐标系．

高显，《经典力学》，科学出版社，2023 年．
MIT OpenCourseWare，Lagrangian dynamics、generalized forces 与运动方程．

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