约束、自由度与广义坐标

单摆小球在平面内有两个位置分量，却不能任意改变它们：小球必须与悬点保持固定距离．如果始终使用两个位置分量，就必须在运动方程之外维护这一限制．能否一开始就用一个角度表示所有容许位置？

本页要学会三件事：写出约束、数清描述位形所需的独立变量、选取使约束自动满足的坐标．需要会对复合函数求导，并了解参考系与坐标系；尚不需要变分法或微分几何．

约束限制了什么

约束（constraint） 是模型对位置或速度施加的运动学限制．它与实现限制的力有关，但两者不是同一个对象：轻杆长度不变是约束，杆对质点的作用力是约束力．

本文采用惯性参考系，质量和杆长保持不变．先讨论持续成立的等式约束，不处理碰撞、脱离接触等约束切换过程．

完整约束与独立性

可以写成仅含位置和时间的等式的约束称为 完整约束（holonomic constraint）：

f_{a} (r_{1}, \dots, r_{N}, t) = 0, a = 1, \dots, k

f_a(boldsymbol r_1,ldots,boldsymbol r_N,t)=0,qquad a=1,ldots,k

这里 $N$ N 是三维空间中的质点数， $k$ k 是独立约束数．若这些方程对位置的雅可比矩阵在所讨论区域内具有秩 $k$ k，则固定时刻的位形空间局部维数为 $3 N - k$ 3N-k．平面系统则从 $2 N$ 2N 开始计数．“写了几个方程”不能直接代替“有几个独立限制”．

例题：平面单摆需要几个坐标？

质量为 $m$ m 的质点通过长度为 $l$ l 的不可伸长轻杆连接固定悬点，运动限制在竖直平面．取悬点为原点， $x$ x 向右、 $y$ y 向上．

位置满足 $x^{2} + y^{2} = l^{2}$ x^2+y^2=l^2．约束的梯度为 $(2 x, 2 y)$ (2x,2y)，由于 $l > 0$ l>0，在圆周上不会同时为零，所以这是一个独立约束．两个平面位置分量减去一个限制，留下一个位形自由度．

以竖直向下为零方向，逆时针量取摆角 $θ$ theta，则

x = l \sin θ, y = - l \cos θ

x=lsintheta,qquad y=-lcostheta

将它们代回约束，得到恒等式 $l^{2} (\sin^{2} θ + \cos^{2} θ) = l^{2}$ l^2(sin^2theta+cos^2theta)=l^2．这个坐标选择的价值是：以后求出的任意角度运动都自动保持杆长．

单摆与双摆的独立角度坐标；坐标轴向右和向上，角度从竖直向下逆时针量取

定常与非定常约束

约束不显含时间称为 定常约束（scleronomic constraint）；显含时间称为 非定常约束（rheonomic constraint）．这个分类与完整／非完整相互独立．

例如悬点按已知函数 $X (t)$ X(t) 水平移动的单摆满足

[x - X (t)]^{2} + y^{2} = l^{2}

[x-X(t)]^2+y^2=l^2

它仍是完整约束，仍可用一个摆角表示位置，只是坐标映射也显含时间．“非定常”不表示运动不稳定．

位形空间与广义坐标

位形（configuration） 描述系统的几何位置与姿态，不包含速度．所有容许位形的集合称为 位形空间（configuration space）．本文以它的维数作为 位形自由度；没有特别限定时，“自由度”指这一数量．

单摆的位形空间是一条圆周，不是小球运动平面的整个区域．球面上的质点需要两个位置参数；平面双摆则需要两个杆的方向角．质点系的位形空间通常也不是三维物理空间本身．

广义坐标（generalized coordinates） 是在某个区域内标记位形的一组参数，记作 $q_{1}, \dots, q_{n}$ q_1,ldots,q_n．首批正文选取独立坐标，使位置写成

r_{i} = r_{i} (q_{1}, \dots, q_{n}, t)

boldsymbol r_i=boldsymbol r_i(q_1,ldots,q_n,t)

它们可以是长度或角度，不一定具有相同量纲．广义速度是 ${\dot{q}}_{α}$ dot q_alpha，而质点的物理速度为

v_{i} = \sum_{α = 1}^{n} \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{α}} {\dot{q}}_{α} + \frac{\partial r_{i}}{\partial t}

boldsymbol v_i =sum_alpha=1^ndboldsymbol r_i/d q_alphadot q_alpha +dboldsymbol r_i/d t

最后一项不能因为“选了广义坐标”而省略：它描述已知移动约束带来的速度．

坐标可能只在局部有效

球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ x^2+y^2+z^2=a^2 有两个位形自由度．常用球面角 $ϑ, φ$ vartheta,varphi 表示位置，但极点处方位角失去唯一性，需要换用其他局部坐标．这是坐标描述的局限，球面本身并没有消失．

单摆也可以在下半圆取 $q = x$ q=x，由 $y = - \sqrt{l^{2} - x^{2}}$ y=-l^2-x^2 消去 $y$ y．但同一个 $x$ x 在整个圆上对应两个可能高度，而且在 $x = \pm l$ x=+/- l 处该表达的导数发散．因此不能把这组局部坐标用于整个摆动或转动过程．角度也有周期性，连续跟踪转动时可使用展开的角度值．

易错点：位置相同不代表运动状态相同

给定位形 $q$ q 后，通常还需要速度 $\dot{q}$ dot q 才能确定动力学初态．“一个坐标足以描述单摆位形”不表示“一个数足以预测它的整个运动”．

非完整约束：坐标数与速度数为什么不同

不能化为位置与时间等式的速度约束称为 非完整约束（nonholonomic constraint）．先把完整约束消去后，常见线性速度约束为

\sum_{α = 1}^{n} A_{a α} (q, t) {\dot{q}}_{α} + b_{a} (q, t) = 0

sum_alpha=1^n A_aalpha(q,t)dot q_alpha+b_a(q,t)=0

若这些速度限制的秩为 $r$ r，则每个位形处的容许速度有 $n - r$ n-r 个独立分量．它们限制沿哪种方向运动，却不一定减少可到达位形的维数．

滚动圆盘的辨析

设半径为 $a$ a 的圆盘始终竖直，在水平面上无滑动滚动．为了区分自转姿态，可想象盘面上有一个标记点．用接触位置的平面坐标 $(x, y)$ (x,y)、前进方向角 $ϕ$ phi、自转角 $θ$ theta 描述位形．已把固定高度和竖直姿态的几何限制消去，所以位形空间局部维数为四．选取 $θ$ theta 的正方向使前进弧长为 $a d θ$ a ,mathrm dtheta，无滑动条件为

\dot{x} = a \dot{θ} \cos ϕ, \dot{y} = a \dot{θ} \sin ϕ

dot x=adotthetacosphi,qquad dot y=adotthetasinphi

两条速度限制独立，给定 $\dot{θ}$ dottheta 和 $\dot{ϕ}$ dotphi 后便确定 $\dot{x}, \dot{y}$ dot x,dot y；所以容许速度有两个独立分量．

竖直滚动圆盘的侧视与俯视示意；前进方向角为 phi，自转角为 theta，平面位置为 x 和 y

为什么不能普遍把这些方程积分为两个位置限制？当 $ϕ$ phi 可变化时，位移取决于转向的历史．例如在理想运动学模型中，可先滚过长度 $s$ s，再原地改变方向角 $β$ beta，然后反向滚过同样长度．自转角回到初值，却产生位移 $s (1 - \cos β, - \sin β)$ s(1-cosbeta,-sinbeta)．再把方向恢复，仍可得到不同位置．这说明不能只凭当前两角消去平面位置；这里的路径操作只用于检验容许运动，不是在求圆盘动力学．

若另加固定方向 $ϕ = ϕ_{0}$ phi=phi_0 的条件，则沿该方向滚动的关系可积分为 $x - x_{0} = a (θ - θ_{0}) \cos ϕ_{0}$ x-x_0=a(theta-theta_0)cosphi_0、 $y - y_{0} = a (θ - θ_{0}) \sin ϕ_{0}$ y-y_0=a(theta-theta_0)sinphi_0，成为另一种、更受限制的模型．

模型	位形自由度	独立容许速度数
固定悬点平面单摆	1	1
球面质点	2	2
平面双摆	2	2
可转向的竖直无滑动圆盘	4	2

术语与方法边界

参考讲义用“自由度”表示独立速度分量数，因此称上述圆盘有两个自由度．本站以位形维数为主，并单列速度数；读其他教材时需先辨认口径．含速度不自动意味着非完整： $\dot{x} - v_{0} = 0$ dot x-v_0=0 可积分为 $x - v_{0} t = C$ x-v_0t=C．含三角函数也不是不可积的判据．

不等式约束如接触不能穿透，应单独说明单侧接触与是否脱离；不能把它们直接代入这里的等式计数公式．普通独立坐标的拉格朗日方程也不能直接套用于圆盘的四个坐标．

文内自测

平面系统写了 $x^{2} + y^{2} = l^{2}$ x^2+y^2=l^2 和 $2 x^{2} + 2 y^{2} = 2 l^{2}$ 2x^2+2y^2=2l^2，是否剩下零个自由度？

自测一解答

不是．第二个方程是第一个的两倍，两行梯度线性相关，约束秩为一．在 $l > 0$ l>0 的圆周上仍有一个位形自由度．

移动悬点单摆取 $x = X (t) + l \sin θ$ x=X(t)+lsintheta、 $y = - l \cos θ$ y=-lcostheta，写出速度，并判断其约束类型．

自测二解答

这是一个非定常完整约束．速度为

\dot{x} = \dot{X} + l \dot{θ} \cos θ, \dot{y} = l \dot{θ} \sin θ

dot x=dot X+ldotthetacostheta,qquad dot y=ldotthetasintheta

位形自由度为一，固定时刻容许速度的集合是带已知平移项的直线，而不是必须穿过零速度的直线．

继续学习与参考资料

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高显，《经典力学》，科学出版社，2023 年．
Sussman 与 Wisdom，Structure and Interpretation of Classical Mechanics，第 1 章：位形空间、广义坐标与约束．

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