曲线坐标系

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在物理学中，虽然笛卡尔坐标系（Cartesian coordinates）是最基础和最直接的坐标系，但在处理具有特定对称性（如圆形、球形或柱形对称）的问题时，使用 曲线坐标系（Curvilinear coordinates）会大大简化计算．最常见的曲线坐标系包括极坐标系、柱坐标系和球坐标系．

正交曲线坐标系

一个坐标系被称为正交的，如果它的坐标曲面在任何一点都相互垂直．这意味着在任何一点，基向量都是相互正交的．我们这里主要讨论正交曲线坐标系．

设一个点在笛卡尔坐标系中的坐标为 $(x, y, z)$ ，在曲线坐标系中的坐标为 $(q_{1}, q_{2}, q_{3})$ ．它们之间的关系可以表示为：

x = x (q_{1}, q_{2}, q_{3})

y = y (q_{1}, q_{2}, q_{3})

z = z (q_{1}, q_{2}, q_{3})

标度因子 (Scale Factors)

在曲线坐标系中，基向量的大小通常不是 1，并且会随着位置的变化而变化．我们定义 标度因子 $h_{i}$ 来描述这种变化．

位移矢量 $d \vec{r}$ 在笛卡尔坐标系中为 $d \vec{r} = d x \hat{i} + d y \hat{j} + d z \hat{k}$ ．通过全微分，我们可以得到：

d \vec{r} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{1}} d q_{1} + \frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{2}} d q_{2} + \frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{3}} d q_{3}

我们定义曲线坐标系的基向量为 ${\vec{e}}_{i} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{i}}$ ．这些基向量通常不是单位向量．标准化的单位基向量为 ${\hat{e}}_{i} = \frac{1}{| \frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{i}} |} \frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{i}}$ ．

标度因子 $h_{i}$ 定义为：

h_{i} = | \frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{i}} |

因此，位移矢量可以写成：

d \vec{r} = h_{1} d q_{1} {\hat{e}}_{1} + h_{2} d q_{2} {\hat{e}}_{2} + h_{3} d q_{3} {\hat{e}}_{3}

线元、面元和体元可以表示为：

线元： $d s^{2} = | d \vec{r} |^{2} = h_{1}^{2} d q_{1}^{2} + h_{2}^{2} d q_{2}^{2} + h_{3}^{2} d q_{3}^{2}$
面元： $d A_{1} = h_{2} h_{3} d q_{2} d q_{3}$ （在 $q_{1}$ 方向）
体元： $d V = h_{1} h_{2} h_{3} d q_{1} d q_{2} d q_{3}$

梯度、散度、旋度和拉普拉斯算子

在正交曲线坐标系 $(q_{1}, q_{2}, q_{3})$ 中，矢量算子可以推广为：

梯度 (Gradient)：

\nabla f = \frac{1}{h_{1}} \frac{\partial f}{\partial q_{1}} {\hat{e}}_{1} + \frac{1}{h_{2}} \frac{\partial f}{\partial q_{2}} {\hat{e}}_{2} + \frac{1}{h_{3}} \frac{\partial f}{\partial q_{3}} {\hat{e}}_{3}

散度 (Divergence)：对于矢量场 $\vec{F} = F_{1} {\hat{e}}_{1} + F_{2} {\hat{e}}_{2} + F_{3} {\hat{e}}_{3}$

\nabla \cdot \vec{F} = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} [\frac{\partial}{\partial q_{1}} (h_{2} h_{3} F_{1}) + \frac{\partial}{\partial q_{2}} (h_{1} h_{3} F_{2}) + \frac{\partial}{\partial q_{3}} (h_{1} h_{2} F_{3})]

旋度 (Curl)：

\nabla \times \vec{F} = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} | \begin{matrix} h_{1} {\hat{e}}_{1} & h_{2} {\hat{e}}_{2} & h_{3} {\hat{e}}_{3} \\ \frac{\partial}{\partial q_{1}} & \frac{\partial}{\partial q_{2}} & \frac{\partial}{\partial q_{3}} \\ h_{1} F_{1} & h_{2} F_{2} & h_{3} F_{3} \end{matrix} |

拉普拉斯算子 (Laplacian)：

\nabla^{2} f = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} [\frac{\partial}{\partial q_{1}} (\frac{h_{2} h_{3}}{h_{1}} \frac{\partial f}{\partial q_{1}}) + \frac{\partial}{\partial q_{2}} (\frac{h_{1} h_{3}}{h_{2}} \frac{\partial f}{\partial q_{2}}) + \frac{\partial}{\partial q_{3}} (\frac{h_{1} h_{2}}{h_{3}} \frac{\partial f}{\partial q_{3}})]

柱坐标系 (Cylindrical Coordinates)

柱坐标系 $(r, θ, z)$ 用于描述具有轴对称性的系统．

$r$ ：点到 $z$ 轴的径向距离 ( $r \geq 0$ )
$θ$ ：径向矢量在 $x y$ 平面上的方位角 ( $0 \leq θ < 2 π$ )
$z$ ：点的竖直高度

与笛卡尔坐标的关系：

x = r \cos θ

y = r \sin θ

z = z

标度因子： $q_{1} = r, q_{2} = θ, q_{3} = z$

h_{r} = 1, h_{θ} = r, h_{z} = 1

基向量： $\hat{r}, \hat{θ}, \hat{z}$

体元： $d V = r d r d θ d z$

拉普拉斯算子：

\nabla^{2} f = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial θ^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}

例题： 无限长均匀带电直线的电场．假设电荷线密度为 $λ$ ，直线与 $z$ 轴重合．由于对称性，电场 $\vec{E}$ 必定只沿径向 $r$ 分布，且大小只与 $r$ 有关，即 $\vec{E} = E (r) \hat{r}$ ．我们使用高斯定律的积分形式．取一个半径为 $r$ ，高度为 $L$ 的圆柱形高斯面．

\oint \vec{E} \cdot d \vec{A} = \frac{Q_{e n c}}{ϵ_{0}}

电通量只通过圆柱的侧面，上下底面的通量为零．

E (r) \cdot (2 π r L) = \frac{λ L}{ϵ_{0}}

解得：

E (r) = \frac{λ}{2 π ϵ_{0} r}

所以电场为 $\vec{E} = \frac{λ}{2 π ϵ_{0} r} \hat{r}$ ．

球坐标系 (Spherical Coordinates)

球坐标系 $(ρ, θ, ϕ)$ 用于描述具有球对称性的系统．

$ρ$ ：点到原点的径向距离 ( $ρ \geq 0$ )
$θ$ ：径向矢量与正 $z$ 轴的夹角，称为极角( $0 \leq θ \leq π$ )
$ϕ$ ：径向矢量在 $x y$ 平面上的投影与正 $x$ 轴的夹角，称为 方位角( $0 \leq ϕ < 2 π$ )（注意：物理学中常用 $(ρ, θ, ϕ)$ ，而数学中常用 $(r, ϕ, θ)$ ，这里的 $θ, ϕ$ 含义相反，需注意区分．)

与笛卡尔坐标的关系：

x = ρ \sin θ \cos ϕ

y = ρ \sin θ \sin ϕ

z = ρ \cos θ

标度因子： $q_{1} = ρ, q_{2} = θ, q_{3} = ϕ$

h_{ρ} = 1, h_{θ} = ρ, h_{ϕ} = ρ \sin θ

基向量： $\hat{ρ}, \hat{θ}, \hat{ϕ}$

体元： $d V = ρ^{2} \sin θ d ρ d θ d ϕ$

拉普拉斯算子：

\nabla^{2} f = \frac{1}{ρ^{2}} \frac{\partial}{\partial ρ} (ρ^{2} \frac{\partial f}{\partial ρ}) + \frac{1}{ρ^{2} \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial f}{\partial θ}) + \frac{1}{ρ^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} f}{\partial ϕ^{2}}

这个算子在求解氢原子薛定谔方程时至关重要．

例题： 点电荷的电场．一个电量为 $Q$ 的点电荷位于原点．由于球对称性，电场必定只沿径向 $ρ$ 分布，且大小只与 $ρ$ 有关，即 $\vec{E} = E (ρ) \hat{ρ}$ ．使用高斯定律，取一个半径为 $ρ$ 的球面作为高斯面．

\oint \vec{E} \cdot d \vec{A} = \frac{Q_{e n c}}{ϵ_{0}}

E (ρ) \cdot (4 π ρ^{2}) = \frac{Q}{ϵ_{0}}

解得：

E (ρ) = \frac{Q}{4 π ϵ_{0} ρ^{2}}

所以电场为 $\vec{E} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{ρ^{2}} \hat{ρ}$ ，这正是库仑定律．使用球坐标系使推导变得异常简单．

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本页面贡献者：Leafuke
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