曲线坐标系

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在物理学中，虽然笛卡尔坐标系（Cartesian coordinates）是最基础和最直接的坐标系，但在处理具有特定对称性（如圆形、球形或柱形对称）的问题时，使用 曲线坐标系（Curvilinear coordinates）会大大简化计算．最常见的曲线坐标系包括极坐标系、柱坐标系和球坐标系．

正交曲线坐标系

一个坐标系被称为正交的，如果它的坐标曲面在任何一点都相互垂直．这意味着在任何一点，基向量都是相互正交的．我们这里主要讨论正交曲线坐标系．

设一个点在笛卡尔坐标系中的坐标为 $(x, y, z)$ (x, y, z)，在曲线坐标系中的坐标为 $(q_{1}, q_{2}, q_{3})$ (q_1, q_2, q_3)．它们之间的关系可以表示为：

x = x (q_{1}, q_{2}, q_{3})

x = x(q_1, q_2, q_3)

y = y (q_{1}, q_{2}, q_{3})

y = y(q_1, q_2, q_3)

z = z (q_{1}, q_{2}, q_{3})

z = z(q_1, q_2, q_3)

标度因子（Scale Factors）

在曲线坐标系中，基向量的大小通常不是 1，并且会随着位置的变化而变化．我们定义 标度因子 $h_{i}$ h_i 来描述这种变化．

位移矢量 $d \vec{r}$ dr 在笛卡尔坐标系中为 $d \vec{r} = d x \hat{i} + d y \hat{j} + d z \hat{k}$ dr = dxi + dyj + dzk．通过全微分，我们可以得到：

d \vec{r} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{1}} d q_{1} + \frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{2}} d q_{2} + \frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{3}} d q_{3}

dr = d rd q_1dq_1 + d rd q_2dq_2 + d rd q_3dq_3

我们定义曲线坐标系的基向量为 ${\vec{e}}_{i} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{i}}$ e_i = d rd q_i．这些基向量通常不是单位向量．标准化的单位基向量为 ${\hat{e}}_{i} = \frac{1}{| \frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{i}} |} \frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{i}}$ e_i = 1/|d r/d q_i| d rd q_i．

标度因子 $h_{i}$ h_i 定义为：

h_{i} = | \frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{i}} |

h_i = left| d rd q_i right|

因此，位移矢量可以写成：

d \vec{r} = h_{1} d q_{1} {\hat{e}}_{1} + h_{2} d q_{2} {\hat{e}}_{2} + h_{3} d q_{3} {\hat{e}}_{3}

dr = h_1 dq_1 e_1 + h_2 dq_2 e_2 + h_3 dq_3 e_3

线元、面元和体元可以表示为：

线元： $d s^{2} = | d \vec{r} |^{2} = h_{1}^{2} d q_{1}^{2} + h_{2}^{2} d q_{2}^{2} + h_{3}^{2} d q_{3}^{2}$ ds^2 = |dr|^2 = h_1^2 dq_1^2 + h_2^2 dq_2^2 + h_3^2 dq_3^2
面元： $d A_{1} = h_{2} h_{3} d q_{2} d q_{3}$ dA_1 = h_2 h_3 dq_2 dq_3（在 $q_{1}$ q_1 方向）
体元： $d V = h_{1} h_{2} h_{3} d q_{1} d q_{2} d q_{3}$ dV = h_1 h_2 h_3 dq_1 dq_2 dq_3

梯度、散度、旋度和拉普拉斯算子

在正交曲线坐标系 $(q_{1}, q_{2}, q_{3})$ (q_1, q_2, q_3) 中，矢量算子可以推广为：

梯度（Gradient）：

\nabla f = \frac{1}{h_{1}} \frac{\partial f}{\partial q_{1}} {\hat{e}}_{1} + \frac{1}{h_{2}} \frac{\partial f}{\partial q_{2}} {\hat{e}}_{2} + \frac{1}{h_{3}} \frac{\partial f}{\partial q_{3}} {\hat{e}}_{3}

nabla f = 1h_1d fd q_1e_1 + 1h_2d fd q_2e_2 + 1h_3d fd q_3e_3

散度（Divergence）：对于矢量场 $\vec{F} = F_{1} {\hat{e}}_{1} + F_{2} {\hat{e}}_{2} + F_{3} {\hat{e}}_{3}$ F = F_1e_1 + F_2e_2 + F_3e_3

\nabla \cdot \vec{F} = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} [\frac{\partial}{\partial q_{1}} (h_{2} h_{3} F_{1}) + \frac{\partial}{\partial q_{2}} (h_{1} h_{3} F_{2}) + \frac{\partial}{\partial q_{3}} (h_{1} h_{2} F_{3})]

nabla * F = 1h_1 h_2 h_3 left[ dd q_1(h_2 h_3 F_1) + dd q_2(h_1 h_3 F_2) + dd q_3(h_1 h_2 F_3) right]

旋度（Curl）：

\nabla \times \vec{F} = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} | \begin{matrix} h_{1} {\hat{e}}_{1} & h_{2} {\hat{e}}_{2} & h_{3} {\hat{e}}_{3} \\ \frac{\partial}{\partial q_{1}} & \frac{\partial}{\partial q_{2}} & \frac{\partial}{\partial q_{3}} \\ h_{1} F_{1} & h_{2} F_{2} & h_{3} F_{3} \end{matrix} |

nabla * F = 1h_1 h_2 h_3 vmatrix h_1e_1 & h_2e_2 & h_3e_3 dd q_1 & dd q_2 & dd q_3 h_1 F_1 & h_2 F_2 & h_3 F_3 vmatrix

拉普拉斯算子（Laplacian）：

\nabla^{2} f = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} [\frac{\partial}{\partial q_{1}} (\frac{h_{2} h_{3}}{h_{1}} \frac{\partial f}{\partial q_{1}}) + \frac{\partial}{\partial q_{2}} (\frac{h_{1} h_{3}}{h_{2}} \frac{\partial f}{\partial q_{2}}) + \frac{\partial}{\partial q_{3}} (\frac{h_{1} h_{2}}{h_{3}} \frac{\partial f}{\partial q_{3}})]

nabla^2 f = 1h_1 h_2 h_3 left[ dd q_1left(h_2 h_3h_1d fd q_1right) + dd q_2left(h_1 h_3h_2d fd q_2right) + dd q_3left(h_1 h_2h_3d fd q_3right) right]

柱坐标系（Cylindrical Coordinates）

柱坐标系 $(r, θ, z)$ (r, theta, z) 用于描述具有轴对称性的系统．

$r$ r：点到 $z$ z 轴的径向距离 ( $r \geq 0$ r >= 0)
$θ$ theta：径向矢量在 $x y$ xy 平面上的方位角 ( $0 \leq θ < 2 π$ 0 <= theta < 2pi)
$z$ z：点的竖直高度

与笛卡尔坐标的关系：

x = r \cos θ

x = r costheta

y = r \sin θ

y = r sintheta

z = z

z = z

标度因子： $q_{1} = r, q_{2} = θ, q_{3} = z$ q_1=r, q_2=theta, q_3=z

h_{r} = 1, h_{θ} = r, h_{z} = 1

h_r = 1, quad h_theta = r, quad h_z = 1

基向量： $\hat{r}, \hat{θ}, \hat{z}$ r, theta, z

体元： $d V = r d r d θ d z$ dV = r , dr , dtheta , dz

拉普拉斯算子：

\nabla^{2} f = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial θ^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}

nabla^2 f = 1rdd rleft(rd fd rright) + 1r^2d^2 fd theta^2 + d^2 fd z^2

例题： 无限长均匀带电直线的电场．假设电荷线密度为 $λ$ lambda，直线与 $z$ z 轴重合．由于对称性，电场 $\vec{E}$ E 必定只沿径向 $r$ r 分布，且大小只与 $r$ r 有关，即 $\vec{E} = E (r) \hat{r}$ E = E(r)r．我们使用高斯定律的积分形式．取一个半径为 $r$ r，高度为 $L$ L 的圆柱形高斯面．

\oint \vec{E} \cdot d \vec{A} = \frac{Q_{e n c}}{ϵ_{0}}

oint E * dA = Q_encepsilon_0

电通量只通过圆柱的侧面，上下底面的通量为零．

E (r) \cdot (2 π r L) = \frac{λ L}{ϵ_{0}}

E(r) * (2pi r L) = lambda Lepsilon_0

解得：

E (r) = \frac{λ}{2 π ϵ_{0} r}

E(r) = 2piepsilon_0 r

所以电场为 $\vec{E} = \frac{λ}{2 π ϵ_{0} r} \hat{r}$ E = lambda/2piepsilon_0 rr．

球坐标系（Spherical Coordinates）

球坐标系 $(ρ, θ, ϕ)$ (rho, theta, phi) 用于描述具有球对称性的系统．

$ρ$ rho：点到原点的径向距离 ( $ρ \geq 0$ rho >= 0)
$θ$ theta：径向矢量与正 $z$ z 轴的夹角，称为极角( $0 \leq θ \leq π$ 0 <= theta <= pi)
$ϕ$ phi：径向矢量在 $x y$ xy 平面上的投影与正 $x$ x 轴的夹角，称为 方位角( $0 \leq ϕ < 2 π$ 0 <= phi < 2pi)（注意：物理学中常用 $(ρ, θ, ϕ)$ (rho, theta, phi)，而数学中常用 $(r, ϕ, θ)$ (r, phi, theta)，这里的 $θ, ϕ$ theta, phi 含义相反，需注意区分．)

与笛卡尔坐标的关系：

x = ρ \sin θ \cos ϕ

x = rho sintheta cosphi

y = ρ \sin θ \sin ϕ

y = rho sintheta sinphi

z = ρ \cos θ

z = rho costheta

标度因子： $q_{1} = ρ, q_{2} = θ, q_{3} = ϕ$ q_1=rho, q_2=theta, q_3=phi

h_{ρ} = 1, h_{θ} = ρ, h_{ϕ} = ρ \sin θ

h_rho = 1, quad h_theta = rho, quad h_phi = rho sintheta

基向量： $\hat{ρ}, \hat{θ}, \hat{ϕ}$ rho, theta, phi

体元： $d V = ρ^{2} \sin θ d ρ d θ d ϕ$ dV = rho^2 sintheta , drho , dtheta , dphi

拉普拉斯算子：

\nabla^{2} f = \frac{1}{ρ^{2}} \frac{\partial}{\partial ρ} (ρ^{2} \frac{\partial f}{\partial ρ}) + \frac{1}{ρ^{2} \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial f}{\partial θ}) + \frac{1}{ρ^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} f}{\partial ϕ^{2}}

nabla^2 f = 1rho^2dd rholeft(rho^2d fd rhoright) + 1rho^2sinthetadd thetaleft(sinthetad fd thetaright) + 1rho^2sin^2thetad^2 fd phi^2

这个算子在求解氢原子薛定谔方程时至关重要．

例题： 点电荷的电场．一个电量为 $Q$ Q 的点电荷位于原点．由于球对称性，电场必定只沿径向 $ρ$ rho 分布，且大小只与 $ρ$ rho 有关，即 $\vec{E} = E (ρ) \hat{ρ}$ E = E(rho)rho．使用高斯定律，取一个半径为 $ρ$ rho 的球面作为高斯面．

\oint \vec{E} \cdot d \vec{A} = \frac{Q_{e n c}}{ϵ_{0}}

oint E * dA = Q_encepsilon_0

E (ρ) \cdot (4 π ρ^{2}) = \frac{Q}{ϵ_{0}}

E(rho) * (4pi rho^2) = Qepsilon_0

解得：

E (ρ) = \frac{Q}{4 π ϵ_{0} ρ^{2}}

E(rho) = Q4piepsilon_0 rho^2

所以电场为 $\vec{E} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{ρ^{2}} \hat{ρ}$ E = 1/4piepsilon_0Q/rho^2rho，这正是库仑定律．使用球坐标系使推导变得异常简单．

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本页面贡献者：Leafuke
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