曲线坐标系

在物理学中，虽然笛卡尔坐标系（Cartesian coordinates）是最基础和最直接的坐标系，但在处理具有特定对称性（如圆形、球形或柱形对称）的问题时，使用曲线坐标系（Curvilinear coordinates）会大大简化计算。最常见的曲线坐标系包括极坐标系、柱坐标系和球坐标系。

正交曲线坐标系

一个坐标系被称为正交的，如果它的坐标曲面在任何一点都相互垂直。这意味着在任何一点，基向量都是相互正交的。我们这里主要讨论正交曲线坐标系。

设一个点在笛卡尔坐标系中的坐标为 $(x,y,z)$，在曲线坐标系中的坐标为 $(q_1,q_2,q_3)$。它们之间的关系可以表示为：

$$x=x(q_1,q_2,q_3)$$

$$y=y(q_1,q_2,q_3)$$

$$z=z(q_1,q_2,q_3)$$

标度因子 (Scale Factors)

在曲线坐标系中，基向量的大小通常不是 1，并且会随着位置的变化而变化。我们定义标度因子 $h_i$ 来描述这种变化。

位移矢量 $d\overrightarrow{r}$ 在笛卡尔坐标系中为 $d\overrightarrow{r}=dx\hat{i}+dy\hat{j}+dz\hat{k}$。通过全微分，我们可以得到：

$$d\overrightarrow{r}=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_1}d{q}_1+\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_2}d{q}_2+\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_3}d{q}_3$$

我们定义曲线坐标系的基向量为 ${\overrightarrow{e}}_i=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_i}$。这些基向量通常不是单位向量。 标准化的单位基向量为 ${\hat{e}}_i=\frac{1}{|\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_i}|}\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_i}$。

标度因子 $h_i$ 定义为：

$$h_i=\left|\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_i}\right|$$

因此，位移矢量可以写成：

$$d\overrightarrow{r}=h_{1}d{q}_1{\hat{e}}_1+h_{2}d{q}_2{\hat{e}}_2+h_{3}d{q}_3{\hat{e}}_3$$

线元、面元和体元可以表示为： - 线元：$d{s}^2=|d\overrightarrow{r}{|}^2=h_1^{2}d{q}_1^2+h_2^{2}d{q}_2^2+h_3^{2}d{q}_3^2$ - 面元：$d{A}_1=h_2{h}_{3}d{q}_{2}d{q}_3$ (在 $q_1$ 方向) - 体元：$dV=h_1{h}_2{h}_{3}d{q}_{1}d{q}_{2}d{q}_3$

梯度、散度、旋度和拉普拉斯算子

在正交曲线坐标系 $(q_1,q_2,q_3)$ 中，矢量算子可以推广为：

• 梯度 (Gradient)：

$$\mathrm{\nabla }f=\frac{1}{h_1}\frac{\partial f}{\partial q_1}{\hat{e}}_1+\frac{1}{h_2}\frac{\partial f}{\partial q_2}{\hat{e}}_2+\frac{1}{h_3}\frac{\partial f}{\partial q_3}{\hat{e}}_3$$

• 散度 (Divergence)：对于矢量场 $\overrightarrow{F}=F_1{\hat{e}}_1+F_2{\hat{e}}_2+F_3{\hat{e}}_3$

$$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}=\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}[\frac{\partial }{\partial q_1}(h_2{h}_3{F}_1)+\frac{\partial }{\partial q_2}(h_1{h}_3{F}_2)+\frac{\partial }{\partial q_3}(h_1{h}_2{F}_3)]$$

• 旋度 (Curl)：

• 拉普拉斯算子 (Laplacian)：

$${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}[\frac{\partial }{\partial q_1}\left(\frac{h_2{h}_3}{h_1}\frac{\partial f}{\partial q_1}\right)+\frac{\partial }{\partial q_2}\left(\frac{h_1{h}_3}{h_2}\frac{\partial f}{\partial q_2}\right)+\frac{\partial }{\partial q_3}\left(\frac{h_1{h}_2}{h_3}\frac{\partial f}{\partial q_3}\right)]$$

柱坐标系 (Cylindrical Coordinates)

柱坐标系 $(r,\theta ,z)$ 用于描述具有轴对称性的系统。 - $r$：点到 $z$ 轴的径向距离 ($r\ge 0$) - $\theta$：径向矢量在 $xy$ 平面上的方位角 () - $z$：点的竖直高度

与笛卡尔坐标的关系：

$$x=r\cos \theta$$

$$y=r\sin \theta$$

$$z=z$$

标度因子： $q_1=r,q_2=\theta ,q_3=z$

$$h_r=1,h_{\theta }=r,h_z=1$$

基向量：$\hat{r},\hat{\theta },\hat{z}$

体元：$dV=rdrd\theta dz$

拉普拉斯算子：

$${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\theta }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$$

例题： 无限长均匀带电直线的电场。 假设电荷线密度为 $\lambda$，直线与 $z$ 轴重合。由于对称性，电场 $\overrightarrow{E}$ 必定只沿径向 $r$ 分布，且大小只与 $r$ 有关，即 $\overrightarrow{E}=E(r)\hat{r}$。 我们使用高斯定律的积分形式。取一个半径为 $r$，高度为 $L$ 的圆柱形高斯面。

$$\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}=\frac{Q_{enc}}{{ϵ}_0}$$

电通量只通过圆柱的侧面，上下底面的通量为零。

$$E(r)\cdot (2\pi rL)=\frac{\lambda L}{{ϵ}_0}$$

解得：

$$E(r)=\frac{\lambda }{2\pi {ϵ}_{0}r}$$

所以电场为 $\overrightarrow{E}=\frac{\lambda }{2\pi {ϵ}_{0}r}\hat{r}$。

球坐标系 (Spherical Coordinates)

球坐标系 $(\rho ,\theta ,\varphi )$ 用于描述具有球对称性的系统。 - $\rho$：点到原点的径向距离 ($\rho \ge 0$) - $\theta$：径向矢量与正 $z$ 轴的夹角，称为极角 ($0\le \theta \le \pi$) - $\varphi$：径向矢量在 $xy$ 平面上的投影与正 $x$ 轴的夹角，称为方位角 () (注意：物理学中常用 $(\rho ,\theta ,\varphi )$，而数学中常用 $(r,\varphi ,\theta )$，这里的 $\theta ,\varphi$ 含义相反，需注意区分。)

与笛卡尔坐标的关系：

$$x=\rho \sin \theta \cos \varphi$$

$$y=\rho \sin \theta \sin \varphi$$

$$z=\rho \cos \theta$$

标度因子： $q_1=\rho ,q_2=\theta ,q_3=\varphi$

$$h_{\rho }=1,h_{\theta }=\rho ,h_{\varphi }=\rho \sin \theta$$

基向量：$\hat{\rho },\hat{\theta },\hat{\varphi }$

体元：$dV={\rho }^2\sin \theta d\rho d\theta d\varphi$

拉普拉斯算子：

$${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{{\rho }^2}\frac{\partial }{\partial \rho }\left({\rho }^2\frac{\partial f}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{{\rho }^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\varphi }^2}$$

这个算子在求解氢原子薛定谔方程时至关重要。

例题： 点电荷的电场。 一个电量为 $Q$ 的点电荷位于原点。由于球对称性，电场必定只沿径向 $\rho$ 分布，且大小只与 $\rho$ 有关，即 $\overrightarrow{E}=E(\rho )\hat{\rho }$。 使用高斯定律，取一个半径为 $\rho$ 的球面作为高斯面。

$$\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}=\frac{Q_{enc}}{{ϵ}_0}$$

$$E(\rho )\cdot (4\pi {\rho }^2)=\frac{Q}{{ϵ}_0}$$

解得：

$$E(\rho )=\frac{Q}{4\pi {ϵ}_0{\rho }^2}$$

所以电场为 $\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{Q}{{\rho }^2}\hat{\rho }$，这正是库仑定律。使用球坐标系使推导变得异常简单。

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