变分法基础与欧拉-拉格朗日方程

变分法基础与欧拉 - 拉格朗日方程

物理问题引入：大自然为什么要追求「极值」？

在经典牛顿力学中，我们习惯于「因果推论」：因为质点在此时此地受力 $F$ F，所以它产生了即时加速度 $a = F / m$ a = F/m．然而，17 世纪以来，物理学家们发现了一个更令人震撼的自然图景——极值原理（Variational Principles）：

费马原理：光在两点之间传播时，总是选择所需 时间最短 的光程路径；
最速降线问题：在重力场中从 $A$ A 点滑到非下方的 $B$ B 点，最省时的轨道不是直线，而是旋轮线（摆线）；
哈密顿最小作用量原理：一个物理系统从初态到终态演化时，在所有可能发生的虚拟路径中，大自然唯独挑选使 作用量泛函 $S$ S 取平稳极值 的那一条真实路径！

为了在「所有可能的函数（路径）」中寻找使某个指标达到极大或极小的最优函数，数学家开创了 变分法（Calculus of Variations）．

1. 泛函与变分概念

1.1 泛函（Functional）

普通函数：输入一个实数 $x$ x，输出一个实数 $f (x)$ f(x)；
泛函：输入一个 整条函数曲线 $y (x)$ y(x)，输出一个实数值 $J [y]$ J[y]．

在物理中最常见的泛函是由积分给出的：

J [y] = \int_{x_{1}}^{x_{2}} L (x, y (x), y^{'} (x)) d x

J[y] = int_x_1^x_2 Lleft(x, y(x), y'(x)right) dx

其中被积函数 $L$ L 称为 拉格朗日被积式， $y^{'} (x) = \frac{d y}{d x}$ y'(x) = dydx，固定两端点边界条件 $y (x_{1}) = y_{1}, y (x_{2}) = y_{2}$ y(x_1) = y_1, y(x_2) = y_2．

1.2 泛函的变分 $δ y$ delta y

设真实极值路径为 $y (x)$ y(x)，考虑其邻近的任意微扰测试路径：

Y (x) = y (x) + ϵ η (x)

Y(x) = y(x) + epsilon eta(x)

其中 $ϵ$ epsilon 为微小实参数， $η (x)$ eta(x) 为任意光滑变分方向函数，且在固定端点处扰动为零： $η (x_{1}) = η (x_{2}) = 0$ eta(x_1) = eta(x_2) = 0．定义路径的变分为固定自变量 $x$ x 时的虚位移变化：

δ y = Y (x) - y (x) = ϵ η (x)

delta y = Y(x) - y(x) = epsilon eta(x)

2. 欧拉 - 拉格朗日方程的经典推导

泛函 $J$ J 沿微扰路径取值为参数 $ϵ$ epsilon 的函数：

J (ϵ) = \int_{x_{1}}^{x_{2}} L (x, y + ϵ η, y^{'} + ϵ η^{'}) d x

J(epsilon) = int_x_1^x_2 L(x, y + epsiloneta, y' + epsiloneta') dx

泛函取平稳极值的必要条件是：对任意变分方向 $η (x)$ eta(x)，一阶导数均严格为零： ${\frac{d J}{d ϵ} |}_{ϵ = 0} = 0$ left.dJdepsilonright|_epsilon=0 = 0．在积分号下求导并利用链式法则：

{\frac{d J}{d ϵ} |}_{ϵ = 0} = \int_{x_{1}}^{x_{2}} [\frac{\partial L}{\partial y} η (x) + \frac{\partial L}{\partial y^{'}} η^{'} (x)] d x = 0

left.dJdepsilonright|_epsilon=0 = int_x_1^x_2 left[ d Ld y eta(x) + d Ld y' eta'(x) right] dx = 0

对第二项进行 分部积分：

\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{\partial L}{\partial y^{'}} η^{'} (x) d x = {\frac{\partial L}{\partial y^{'}} η (x) |}_{x_{1}}^{x_{2}} - \int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{d}{d x} (\frac{\partial L}{\partial y^{'}}) η (x) d x

int_x_1^x_2 d Ld y' eta'(x) dx = left. d Ld y' eta(x) right|_x_1^x_2 - int_x_1^x_2 ddxleft( d Ld y' right) eta(x) dx

利用两端固定条件 $η (x_{1}) = η (x_{2}) = 0$ eta(x_1) = eta(x_2) = 0，边界项自动消失！合并得：

\int_{x_{1}}^{x_{2}} [\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{d x} (\frac{\partial L}{\partial y^{'}})] η (x) d x = 0

int_x_1^x_2 left[ d Ld y - ddxleft( d Ld y' right) right] eta(x) dx = 0

根据变分引理，由于测试函数 $η (x)$ eta(x) 具有任意性，中括号内的表达式必须处处为零！由此推导出变分法的核心方程——欧拉 - 拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equation）：

\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{d x} (\frac{\partial L}{\partial y^{'}}) = 0

d Ld y - ddxleft( d Ld y' right) = 0

3. 多变量推广与高阶体系

若物理系统包含 $N$ N 个独立的广义坐标 $q_{1} (t), \dots, q_{N} (t)$ q_1(t), dots, q_N(t)，泛函为时间作用量：

S [q_{1}, \dots, q_{N}] = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q_{k}, {\dot{q}}_{k}, t) d t

S[q_1, dots, q_N] = int_t_1^t_2 L(q_k, q_k, t) dt

独立变分 $δ q_{k} (t)$ delta q_k(t) 直接给出 $N$ N 个联立的二阶微分方程组：

\frac{\partial L}{\partial q_{k}} - \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}}) = 0 (k = 1, 2, \dots, N)

d Ld q_k - ddtleft( d Ld q_k right) = 0 quad (k = 1, 2, dots, N)

这就是理论力学中著名的 第二类拉格朗日方程！

4. 物理皇冠应用：哈密顿原理与诺特定理

4.1 哈密顿原理（Hamilton's Principle）

在力学中，定义拉格朗日量为动能减势能： $L = T - V$ L = T - V．哈密顿原理指出：力学系统在真实运动中所走的路径，必使作用量泛函 $δ S = 0$ delta S = 0．

整个牛顿力学定律被浓缩为一个一个标量积分的平稳条件；
选取任意广义坐标（笛卡尔、极坐标、球坐标、广义连杆角度），拉格朗日方程的在广义坐标点变换下保持形式不变（协变），完全不需要分析繁重的内向约束反力！

4.2 诺特定理（Noether's Theorem）

埃米·诺特（Emmy Noether）证明了变分原理最深刻的现代推论：作用量在某种连续变换下的每一种对称性，都严格对应着物理系统的一个守恒量！

时间平移不变性 $⟹$ implies 机械能守恒；
空间平移不变性 $⟹$ implies 动量守恒；
空间各向同性（旋转不变性） $⟹$ implies 角动量守恒．

5. 学习衔接

理论力学主干：在理论力学：拉格朗日力学中掌握广义坐标动力学实战；
微分方程接口：由欧拉 - 拉格朗日方程导出的常微分方程求解，参见二阶常微分方程．

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