勒让德多项式

勒让德多项式与轴对称边值

物理问题引入：当拉普拉斯方程遇到球对称几何

在静电学与万有引力中，许多实际问题具备 轴对称性（如均匀外电场中的导体球、均匀带电细圆环、自转行星的引力场）．在球坐标系 $(r, θ, ϕ)$ (r, theta, phi) 中，拉普拉斯方程为：

\nabla^{2} Φ = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial Φ}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial Φ}{\partial θ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} Φ}{\partial ϕ^{2}} = 0

nabla^2 Phi = 1r^2dd rleft(r^2 dd rright) + 1r^2sinthetaddthetaleft(sintheta ddthetaright) + 1r^2sin^2thetad^2dphi^2 = 0

若体系绕 $z$ z 轴旋转对称，则势与方位角无关（ $\frac{\partial Φ}{\partial ϕ} = 0$ dPhi/dphi = 0）．设分离变量解 $Φ (r, θ) = R (r) Θ (θ)$ Phi(r, theta) = R(r) Theta(theta)，分离常数记为 $l (l + 1)$ l(l+1)：

径向欧拉方程解出： $R (r) = A_{l} r^{l} + \frac{B_{l}}{r^{l + 1}}$ R(r) = A_l r^l + B_lr^l+1；
做变量代换令 $x = \cos θ \in [- 1, 1]$ x = costheta in [-1, 1]，角度方程化为著名的 勒让德方程（Legendre Equation）：

(1 - x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 x \frac{d y}{d x} + l (l + 1) y = 0

(1 - x^2)d^2 ydx^2 - 2xdydx + l(l+1)y = 0

1. 物理边界截断与勒让德多项式

在南北极点（ $θ = 0 ⟹ x = 1$ theta = 0 implies x = 1， $θ = π ⟹ x = - 1$ theta = pi implies x = -1），方程的系数出现正则奇点．前文幂级数分析表明：只有当参数 $l$ l 取非负整数 $l = 0, 1, 2, \dots$ l = 0, 1, 2, dots 时，无穷级数才会截断为有限项多项式，使电势在球面上处处有限不发散！这组截断多项式即为勒让德多项式 $P_{l} (x)$ P_l(x)．

1.1 罗德里格斯公式（Rodrigues' Formula）

勒让德多项式可由微分公式唯美给出：

P_{l} (x) = \frac{1}{2^{l} l!} \frac{d^{l}}{d x^{l}} {(x^{2} - 1)}^{l}

P_l(x) = 12^l l! d^ldx^lleft( x^2 - 1 right)^l

前几阶具体形式：

$P_{0} (x) = 1$ P_0(x) = 1（球对称单极）
$P_{1} (x) = x = \cos θ$ P_1(x) = x = costheta（偶极电势）
$P_{2} (x) = \frac{1}{2} (3 x^{2} - 1) = \frac{1}{4} (3 \cos 2 θ + 1)$ P_2(x) = 12(3x^2 - 1) = 14(3cos 2theta + 1)（四极电势）
$P_{3} (x) = \frac{1}{2} (5 x^{3} - 3 x)$ P_3(x) = 12(5x^3 - 3x)

奇偶性： $P_{l} (- x) = (- 1)^{l} P_{l} (x)$ P_l(-x) = (-1)^l P_l(x)，在端点处归一化为 $P_{l} (1) = 1, P_{l} (- 1) = (- 1)^{l}$ P_l(1) = 1, P_l(-1) = (-1)^l．

2. 正交性与广义傅里叶展开

勒让德多项式是区间 $[- 1, 1]$ [-1, 1] 上权函数 $w (x) = 1$ w(x) = 1 的 Sturm–Liouville 自共轭本征函数系，满足严格正交性：

\int_{- 1}^{1} P_{l} (x) P_{l^{'}} (x) d x = \frac{2}{2 l + 1} δ_{l l^{'}}

int_-1^1 P_l(x) P_l'(x) dx = 22l + 1 , delta_ll'

任意轴对称角向分布 $f (θ)$ f(theta) 均可唯一展开为勒让德级数：

f (θ) = \sum_{l = 0}^{\infty} c_{l} P_{l} (\cos θ), c_{l} = \frac{2 l + 1}{2} \int_{0}^{π} f (θ) P_{l} (\cos θ) \sin θ d θ

f(theta) = sum_l=0^inf c_l P_l(costheta), quad c_l = 2l + 12 int_0^pi f(theta) P_l(costheta) sintheta , dtheta

3. 生成函数（母函数）与静电多极展开

考察位于 $z$ z 轴上 $z^{'} = d$ z'=d 处的点电荷在观测点 $r$ r 激发的库仑势：设两点夹角为 $θ$ theta， $x = \cos θ$ x = costheta，两点距离倒数为：

\frac{1}{| r - r^{'} |} = \frac{1}{\sqrt{r^{2} - 2 r d \cos θ + d^{2}}} = \frac{1}{r} \frac{1}{\sqrt{1 - 2 x (d / r) + (d / r)^{2}}}

1|r - r'| = 1r^2 - 2rdcostheta + d^2 = 1r 11 - 2x(d/r) + (d/r)^2

令微小几何比值 $t = d / r < 1$ t = d/r < 1，根号展开给出了勒让德多项式的 生成函数（Generating Function）：

\frac{1}{\sqrt{1 - 2 x t + t^{2}}} = \sum_{l = 0}^{\infty} P_{l} (x) t^{l}

11 - 2xt + t^2 = sum_l=0^inf P_l(x) t^l

因此，静电点电荷势可直接展开为径向与角向分离的多极级数：

\frac{1}{| r - r^{'} |} = \sum_{l = 0}^{\infty} \frac{r_{<}^{l}}{r_{>}^{l + 1}} P_{l} (\cos θ)

1|r - r'| = sum_l=0^inf r_<^lr_>^l+1 P_l(costheta)

其中 $r_{<} = min (r, d), r_{>} = max (r, d)$ r_< = min(r, d), r_> = max(r, d)．物理多极矩的数学实质：

$l = 0$ l=0 项：单极矩项 $\frac{1}{r}$ 1/r（总电荷）；
$l = 1$ l=1 项：偶极矩项 $\frac{d \cos θ}{r^{2}}$ dcostheta/r^2；
$l = 2$ l=2 项：四极矩项 $\frac{d^{2} (3 \cos^{2} θ - 1)}{2 r^{3}}$ d^2(3cos^2theta-1)/2r^3．勒让德多项式天然就是物理多极展开的几何谐波基底！

4. 连带勒让德多项式 $P_{l}^{m} (x)$ P_l^m(x)

若体系不再具备轴对称性，即 $Φ$ Phi 依赖于方位角 $ϕ$ phi，分离变量后方位角方程给出 $e^{\pm i m ϕ}$ e^+/- imphi（ $m \in Z$ m in Z），此时角向方程推广为 连带勒让德方程（Associated Legendre Equation）：

(1 - x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 x \frac{d y}{d x} + [l (l + 1) - \frac{m^{2}}{1 - x^{2}}] y = 0

(1 - x^2)d^2 ydx^2 - 2xdydx + left[ l(l+1) - m^21 - x^2 right] y = 0

其满足边界有限性的解为 连带勒让德函数：

P_{l}^{m} (x) = (- 1)^{m} (1 - x^{2})^{m / 2} \frac{d^{m}}{d x^{m}} P_{l} (x) (- l \leq m \leq l)

P_l^m(x) = (-1)^m (1 - x^2)^m/2 d^mdx^m P_l(x) quad (-l <= m <= l)

它与方位角相位因子 $e^{i m ϕ}$ e^imphi 相乘，便构成了全空间各向同性的最高阶数学工具——球谐函数．

5. 学习衔接

下一节：将连带勒让德多项式推广到全球面坐标，进入球谐函数与角动量本征态；
物理应用：在电磁学：静电场边值中掌握外电场下导体球感应电荷分布．

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