厄米多项式

厄米多项式与量子谐振子

物理问题引入：弹簧微振动的微观量子化

在经典力学中，谐振子系统（如弹簧振子、分子双原子微振动）可以拥有任意连续的能量 $E = \frac{1}{2} k A^{2} \geq 0$ E = 1/2kA^2 >= 0，静止在原点时能量为零．然而，在量子微观世界中，定态薛定谔方程为：

- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2} ψ}{d x^{2}} + \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2} ψ = E ψ

-hbar^22md^2dx^2 + 12momega^2 x^2 psi = Epsi

这个方程有几个极端苛刻的物理要求：

波函数全空间归一化：粒子必须存在于某处，因此当 $x \to \pm \infty$ x -> +/-inf 时，波函数模平方必须以极快速度衰减到零，保证 $\int_{- \infty}^{\infty} | ψ (x) |^{2} d x = 1$ int_-inf^inf |psi(x)|^2dx = 1；
渐近行为分析：当 $x \to \pm \infty$ x -> +/-inf 时，方程退化为 $ψ^{″} \approx \frac{m^{2} ω^{2}}{ℏ^{2}} x^{2} ψ$ psi'' ~ m^2omega^2/hbar^2x^2psi，渐近解为高斯型指数衰减 $ψ (x) \propto \exp (- \frac{m ω}{2 ℏ} x^{2})$ psi(x) propto expleft(-momega/2hbarx^2right)．

为了在保留高斯渐近衰减的同时求解中间区域的振荡波动，物理学家设 $ψ (ξ) = H (ξ) e^{- ξ^{2} / 2}$ psi(xi) = H(xi) e^-xi^2/2（引入无量纲坐标 $ξ = \sqrt{\frac{m ω}{ℏ}} x$ xi = momega/hbarx）．代入后，未知多项式 $H (ξ)$ H(xi) 满足的方程就是著名的 厄米方程（Hermite Equation）．

1. 厄米微分方程与多项式解

无量纲化的厄米方程形式为：

\frac{d^{2} y}{d ξ^{2}} - 2 ξ \frac{d y}{d ξ} + 2 n y = 0

d^2 ydxi^2 - 2xi dydxi + 2n y = 0

若使用幂级数法求解，递推关系显示：若级数不截断，远处的渐近行为将如同 $e^{ξ^{2}}$ e^xi^2 爆发增长，瞬间摧毁高斯因子的衰减，使总波函数在无穷远爆炸发散！物理边界有限性再次强制要求：参数 $2 n$ 2n 中的 $n$ n 必须是非负整数：

n = 0, 1, 2, 3, \dots

n = 0, 1, 2, 3, dots

此时级数在第 $n$ n 项截断，所得的有限项多项式就是 厄米多项式 $H_{n} (ξ)$ H_n(xi)．

1.1 罗德里格斯公式（Rodrigues' Formula）

厄米多项式由优雅的微分算式定义：

H_{n} (ξ) = (- 1)^{n} e^{ξ^{2}} \frac{d^{n}}{d ξ^{n}} (e^{- ξ^{2}})

H_n(xi) = (-1)^n e^xi^2 d^ndxi^nleft( e^-xi^2 right)

前几项具体显式为：

$H_{0} (ξ) = 1$ H_0(xi) = 1（基态，高斯分布）
$H_{1} (ξ) = 2 ξ$ H_1(xi) = 2xi（第一激发态，中心具有单个波节零点）
$H_{2} (ξ) = 4 ξ^{2} - 2$ H_2(xi) = 4xi^2 - 2
$H_{3} (ξ) = 8 ξ^{3} - 12 ξ$ H_3(xi) = 8xi^3 - 12xi
$H_{4} (ξ) = 16 ξ^{4} - 48 ξ^{2} + 12$ H_4(xi) = 16xi^4 - 48xi^2 + 12

奇偶性： $H_{n} (- ξ) = (- 1)^{n} H_{n} (ξ)$ H_n(-xi) = (-1)^n H_n(xi)，阶数 $n$ n 恰好等于多项式实根（波函数节点）的个数！

2. 正交归一性与生成函数

2.1 高斯带权正交性

厄米多项式在全实轴 $(- \infty, \infty)$ (-inf, inf) 上以高斯因子 $w (ξ) = e^{- ξ^{2}}$ w(xi) = e^-xi^2 为权函数构成 Sturm–Liouville 正交系：

\int_{- \infty}^{\infty} H_{n} (ξ) H_{m} (ξ) e^{- ξ^{2}} d ξ = \sqrt{π} 2^{n} n! δ_{n m}

int_-inf^inf H_n(xi) H_m(xi) e^-xi^2 dxi = pi , 2^n n! , delta_nm

2.2 生成函数（Generating Function）

\exp (2 ξ t - t^{2}) = \sum_{n = 0}^{\infty} H_{n} (ξ) \frac{t^{n}}{n!}

expleft( 2xi t - t^2 right) = sum_n=0^inf H_n(xi) t^nn!

利用生成函数对参数 $t$ t 求导，可以迅速导出厄米多项式的 三项递推关系：

H_{n + 1} (ξ) = 2 ξ H_{n} (ξ) - 2 n H_{n - 1} (ξ)

H_n+1(xi) = 2xi H_n(xi) - 2n H_n-1(xi)

H_{n}^{'} (ξ) = 2 n H_{n - 1} (ξ)

H_n'(xi) = 2n H_n-1(xi)

3. 物理皇冠：量子谐振子能级与零点能

将无量纲参数还原回薛定谔方程物理量：

2 n = \frac{2 E}{ℏ ω} - 1 ⟹ \frac{2 E}{ℏ ω} = 2 n + 1

2n = 2Ehbaromega - 1 implies 2Ehbaromega = 2n + 1

由此直接解出量子谐振子的分立能级公式：

E_{n} = (n + \frac{1}{2}) ℏ ω (n = 0, 1, 2, \dots)

E_n = left( n + 12 right) hbaromega quad (n = 0, 1, 2, dots)

归一化定态波函数为：

ψ_{n} (x) = {(\frac{m ω}{π ℏ})}^{1 / 4} \frac{1}{\sqrt{2^{n} n!}} H_{n} (\sqrt{\frac{m ω}{ℏ}} x) \exp (- \frac{m ω}{2 ℏ} x^{2})

psi_n(x) = left( mpihbar right)^1/4 12^n n! H_nleft(mhbarxright) expleft( -m2hbarx^2 right)

零点能（Zero-Point Energy）的必然性

即使在绝对零度、系统处于最低能量基态（ $n = 0$ n=0），能量也不是零，而是保留了有限的 零点能 $E_{0} = \frac{1}{2} ℏ ω$ E_0 = 12hbaromega！这再次反映了海森堡（Heisenberg）不确定性原理：若粒子在势阱底部完全静止（ $x = 0, p = 0$ x=0, p=0），将违反 $Δ x Δ p \geq ℏ / 2$ Delta x Delta p >= hbar/2．基态波函数的高斯展宽正是这种内在量子涨落的直接体现．

4. 学习衔接

下一节：研究氢原子库仑束缚态与轨道量子化，进入连带拉盖尔多项式；
代数进阶：在量子力学中，厄米多项式与 产生算符 $a^{†}$ a^dagger/湮灭算符 $a$ a 的代数 Fock 空间严格等价．

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