一维随机变量及其分布

在上一节中，我们用集合和事件来描述随机现象．但在物理学中，我们关心的往往是具体的数值——分子的速率是多少？测量误差有多大？为了用微积分等数学工具来分析这些问题，我们需要将随机事件「映射」为实数．这就是随机变量的概念．

学习目标

读完本页后，你应该能够：

理解随机变量的概念，区分离散随机变量和连续随机变量
掌握分布函数和概率密度函数的定义与性质
熟悉均匀分布、指数分布和正态分布（高斯分布）
计算高斯积分，理解其在物理推导中的重要性

随机变量

随机变量（Random Variable）是一个函数 $X : Ω \to R$ X: Omega -> R，它将样本空间中的每个结果映射到一个实数．

离散随机变量：只能取有限个或可数个值．例如掷骰子的点数 $X \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ X in 1,2,3,4,5,6．
连续随机变量：可以取某个区间内的任意值．例如分子的速率 $X \in [0, + \infty)$ X in [0, +inf)．

引入随机变量后，概率问题就转化为对实数（或实数区间）的概率计算，从而可以使用微积分工具．

分布函数

随机变量 $X$ X 的 分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）定义为：

F (x) = P (X \leq x)

F(x) = P(X <= x)

即 $X$ X 取值不超过 $x$ x 的概率．

分布函数具有以下基本性质：

单调不减：若 $x_{1} < x_{2}$ x_1 < x_2，则 $F (x_{1}) \leq F (x_{2})$ F(x_1) <= F(x_2)
右连续： $lim_{ε \to 0^{+}} F (x + ε) = F (x)$ lim_varepsilon -> 0^+ F(x + varepsilon) = F(x)
边界值： $F (- \infty) = 0$ F(-inf) = 0， $F (+ \infty) = 1$ F(+inf) = 1

用分布函数计算概率：

P (a < X \leq b) = F (b) - F (a)

P(a < X <= b) = F(b) - F(a)

概率密度函数

对于连续随机变量，分布函数 $F (x)$ F(x) 通常是连续可导的．我们定义其导数为 概率密度函数（Probability Density Function, PDF）：

概率密度函数

f (x) = \frac{d F (x)}{d x} = F^{'} (x)

f(x) = dF(x)dx = F'(x)

反过来，分布函数是概率密度函数的积分：

F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t

F(x) = int_-inf^x f(t) ,dt

概率密度函数的两条基本性质：

非负性： $f (x) \geq 0$ f(x) >= 0（因为 $F (x)$ F(x) 单调不减）
归一化：

\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = F (+ \infty) - F (- \infty) = 1

int_-inf^+inf f(x) ,dx = F(+inf) - F(-inf) = 1

用概率密度函数计算概率：

P (a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f (x) d x

P(a <= X <= b) = int_a^b f(x) ,dx

概率密度不是概率

$f (x)$ f(x) 本身 不是概率——它可以大于 1． $f (x)$ f(x) 表示的是概率在 $x$ x 轴上的分布密度．概率是密度在某个区间上的积分（即曲线下面积）．类比：线密度 $ρ (x)$ rho(x) 不是质量， $\int ρ (x) d x$ int rho(x) ,dx 才是质量．

常见一维分布

均匀分布

在区间 $[a, b]$ [a, b] 内，取任何值的概率密度都相等．

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{b - a}, & a \leq x \leq b \\ 0, & 其他 \end{cases}

f(x) = cases 1b-a, & a <= x <= b 0, & 其他 cases

记作 $X \sim U (a, b)$ X ~ U(a, b)．均匀分布是最简单的连续分布，常用于描述「无偏好」的随机取值．

指数分布

描述独立随机事件发生的时间间隔的概率．若事件以恒定速率 $λ$ lambda 发生，则等待时间 $T$ T 服从指数分布：

f (t) = {\begin{cases} λ e^{- λ t}, & t \geq 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases}

f(t) = cases lambda e^-lambda t, & t >= 0 0, & t < 0 cases

指数分布有一个重要性质——无记忆性：已知等待了时间 $s$ s 后，还需再等待时间 $t$ t 的条件概率与 $s$ s 无关：

P (T > s + t | T > s) = P (T > t)

P(T > s + t ,| ,T > s) = P(T > t)

在物理学中，放射性衰变的等待时间服从指数分布．

正态分布（高斯分布）

正态分布是自然界和科学研究中最重要的连续分布．

正态分布（高斯分布）

若连续随机变量 $X$ X 的概率密度函数为：

f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} \exp (- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}})

f(x) = 1sigma2pi ,exp !left(-(x-mu)^22sigma^2right)

则称 $X$ X 服从参数为 $μ$ mu（均值）和 $σ^{2}$ sigma^2（方差）的 正态分布（Normal Distribution），记作 $X \sim N (μ, σ^{2})$ X ~ N(mu, sigma^2)．

正态分布的特征：

曲线关于 $x = μ$ x = mu 对称，呈钟形
在 $x = μ \pm σ$ x = mu +/- sigma 处有拐点
$μ$ mu 决定分布的中心位置， $σ$ sigma 决定分布的宽度
当 $μ = 0$ mu = 0， $σ = 1$ sigma = 1 时，称为 标准正态分布 $N (0, 1)$ N(0, 1)

正态分布之所以在物理学中极为重要，是因为 中心极限定理：大量独立随机变量之和（或均值）近似服从正态分布，无论每个变量本身服从什么分布．

高斯积分

在推导麦克斯韦速率分布律等物理问题中，我们需要反复计算以下形式的积分，统称为 高斯积分：

高斯积分公式

设 $α > 0$ alpha > 0，定义：

I_{n} (α) = \int_{0}^{+ \infty} x^{n} e^{- α x^{2}} d x

I_n(alpha) = int_0^+inf x^n ,e^-alpha x^2 ,dx

常用结果：

I_{0} (α) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- α x^{2}} d x = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{π}{α}}

I_0(alpha) = int_0^+inf e^-alpha x^2 ,dx = 12alpha

I_{2} (α) = \int_{0}^{+ \infty} x^{2} e^{- α x^{2}} d x = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{π}{α^{3}}}

I_2(alpha) = int_0^+inf x^2 ,e^-alpha x^2 ,dx = 14alpha^3

I_{4} (α) = \int_{0}^{+ \infty} x^{4} e^{- α x^{2}} d x = \frac{3}{8} \sqrt{\frac{π}{α^{5}}}

I_4(alpha) = int_0^+inf x^4 ,e^-alpha x^2 ,dx = 38alpha^5

一般地，对于偶数 $n = 2 k$ n = 2k：

I_{2 k} (α) = \frac{(2 k - 1)!!}{2^{k + 1}} \sqrt{\frac{π}{α^{2 k + 1}}}

I_2k(alpha) = (2k-1)!!2^k+1alpha^2k+1

对于奇数 $n = 2 k + 1$ n = 2k+1：

I_{2 k + 1} (α) = \frac{k!}{2 α^{k + 1}}

I_2k+1(alpha) = k!2alpha^k+1

其中 $(2 k - 1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2 k - 1)$ (2k-1)!! = 1 * 3 * 5 cdots (2k-1) 为双阶乘．

$I_{0}$ I_0 的推导

$I_{0}$ I_0 是最基本的高斯积分，其推导利用了一个巧妙的技巧——将一维积分转化为二维极坐标积分：

I_{0}^{2} = (\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- α x^{2}} d x) (\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- α y^{2}} d y) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- α (x^{2} + y^{2})} d x d y

I_0^2 = left(int_-inf^+inf e^-alpha x^2 ,dxright) !left(int_-inf^+inf e^-alpha y^2 ,dyright) = int_-inf^+inf ! !int_-inf^+inf e^-alpha(x^2+y^2) ,dx ,dy

转化为极坐标 $(r, θ)$ (r, theta)：

I_{0}^{2} = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{+ \infty} e^{- α r^{2}} r d r = 2 π \cdot \frac{1}{2 α} = \frac{π}{α}

I_0^2 = int_0^2pi !dthetaint_0^+inf e^-alpha r^2 ,r ,dr = 2pi * 12alpha = alpha

因此：

I_{0} = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- α x^{2}} d x = \sqrt{\frac{π}{α}}

I_0 = int_-inf^+inf e^-alpha x^2 ,dx = alpha

递推关系

其他高斯积分可以通过对 $α$ alpha 求导得到：

I_{n} (α) = - \frac{d}{d α} I_{n - 2} (α)

I_n(alpha) = -ddalpha ,I_n-2(alpha)

这使得所有高斯积分都可以从 $I_{0}$ I_0 出发递推得到．

例题：验证正态分布的归一化

题目：验证 $f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} \exp (- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}})$ f(x) = 1sigma2pi ,exp !left(-(x-mu)^22sigma^2right) 满足归一化条件 $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = 1$ int_-inf^+inf f(x) ,dx = 1．

解答：令 $t = \frac{x - μ}{σ \sqrt{2}}$ t = x - sigma2，则 $d x = σ \sqrt{2} d t$ dx = sigma2 ,dt，代入得：

\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- t^{2}} σ \sqrt{2} d t = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t = \frac{1}{\sqrt{π}} \cdot \sqrt{π} = 1

int_-inf^+inf f(x) ,dx = 1sigma2pi int_-inf^+inf e^-t^2 ,sigma2 ,dt = 22pi int_-inf^+inf e^-t^2 ,dt = 1pi * pi = 1

归一化条件得到验证．这里用到了高斯积分 $\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t = \sqrt{π}$ int_-inf^+inf e^-t^2 ,dt = pi（即 $I_{0} (1)$ I_0(1) 的全实数轴形式）．

高斯积分在物理学中的重要性

高斯积分是统计物理和量子力学中最常用的数学工具之一．在麦克斯韦速率分布律的推导中，我们需要计算形如 $\int_{0}^{+ \infty} v^{n} e^{- m v^{2} / 2 k T} d v$ int_0^+inf v^n e^-mv^2/2kT ,dv 的积分，这正是高斯积分 $I_{n} (m / 2 k T)$ I_n(m/2kT)．熟练掌握高斯积分的公式和递推方法，是理解统计物理推导的关键．

常见分布的参数汇总

分布	记号	PDF	定义域
均匀分布	$U (a, b)$ U(a,b)	$\frac{1}{b - a}$ 1b-a	$[a, b]$ [a,b]
指数分布	$Exp (λ)$ Exp(lambda)	$λ e^{- λ x}$ lambda e^-lambda x	$[0, + \infty)$ [0,+inf)
正态分布	$N (μ, σ^{2})$ N(mu,sigma^2)	$\frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- (x - μ)^{2} / 2 σ^{2}}$ 1sigma2pie^-(x-mu)^2/2sigma^2	$(- \infty, + \infty)$ (-inf,+inf)

各分布的期望和方差将在随机变量的数字特征页面中汇总．

学习衔接

上一节：概率论的基本概念
下一节：随机变量的数字特征
物理应用：麦克斯韦速率分布律中的速率分布函数就是一种概率密度函数，其分量分布是高斯分布

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$I_{0}$ I_0 的推导