一维随机变量及其分布

一维随机变量及其分布

在上一节中，我们用集合和事件来描述随机现象．但在物理学中，我们关心的往往是具体的数值——分子的速率是多少？测量误差有多大？为了用微积分等数学工具来分析这些问题，我们需要将随机事件 "映射" 为实数．这就是随机变量的概念．

学习目标

读完本页后，你应该能够：

• 理解随机变量的概念，区分离散随机变量和连续随机变量
• 掌握分布函数和概率密度函数的定义与性质
• 熟悉均匀分布、指数分布和正态分布（高斯分布）
• 计算高斯积分，理解其在物理推导中的重要性

随机变量

引入随机变量后，概率问题就转化为对实数（或实数区间）的概率计算，从而可以使用微积分工具．

分布函数

分布函数

随机变量 $X$ 的 分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）定义为：

$$F(x)=P(X\le x)$$

即 $X$ 取值不超过 $x$ 的概率．

分布函数具有以下基本性质：

1. 单调不减：若 ，则 $F(x_1)\le F(x_2)$
2. 右连续：$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}F(x+\epsilon )=F(x)$
3. 边界值：$F(-\mathrm{\infty })=0$，$F(+\mathrm{\infty })=1$

用分布函数计算概率：

概率密度函数

对于连续随机变量，分布函数 $F(x)$ 通常是连续可导的．我们定义其导数为 概率密度函数（Probability Density Function, PDF）：

概率密度函数

$$f(x)=\frac{\mathrm{d}F(x)}{\mathrm{d}x}=F^{\prime }(x)$$

反过来，分布函数是概率密度函数的积分：

$$F(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(t)\mathrm{d}t$$

概率密度函数的两条基本性质：

1. 非负性：$f(x)\ge 0$（因为 $F(x)$ 单调不减）
2. 归一化：

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x=F(+\mathrm{\infty })-F(-\mathrm{\infty })=1$$

用概率密度函数计算概率：

$$P(a\le X\le b)={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

常见一维分布

均匀分布

在区间 $[a,b]$ 内，取任何值的概率密度都相等．

记作 $X\sim U(a,b)$．均匀分布是最简单的连续分布，常用于描述 "无偏好" 的随机取值．

指数分布

描述独立随机事件发生的时间间隔的概率．若事件以恒定速率 $\lambda$ 发生，则等待时间 $T$ 服从指数分布：

指数分布有一个重要性质——无记忆性：已知等待了时间 $s$ 后，还需再等待时间 $t$ 的条件概率与 $s$ 无关：

在物理学中，放射性衰变的等待时间服从指数分布．

正态分布（高斯分布）

正态分布是自然界和科学研究中最重要的连续分布．

正态分布（高斯分布）

若连续随机变量 $X$ 的概率密度函数为：

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})$$

则称 $X$ 服从参数为 $\mu$（均值）和 ${\sigma }^2$（方差）的 正态分布（Normal Distribution），记作 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$．

正态分布的特征：

• 曲线关于 $x=\mu$ 对称，呈钟形
• 在 $x=\mu \pm \sigma$ 处有拐点
• $\mu$ 决定分布的中心位置，$\sigma$ 决定分布的宽度
• 当 $\mu =0$，$\sigma =1$ 时，称为 标准正态分布 $N(0,1)$

正态分布之所以在物理学中极为重要，是因为 中心极限定理：大量独立随机变量之和（或均值）近似服从正态分布，无论每个变量本身服从什么分布．

高斯积分

在推导麦克斯韦速率分布律等物理问题中，我们需要反复计算以下形式的积分，统称为 高斯积分：

高斯积分公式

设 ，定义：

$$I_n(\alpha )={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^n{e}^{-\alpha x^2}\mathrm{d}x$$

常用结果：

$$I_0(\alpha )={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}$$ $$I_2(\alpha )={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^2{e}^{-\alpha x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{\pi }{{\alpha }^3}}$$ $$I_4(\alpha )={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^4{e}^{-\alpha x^2}\mathrm{d}x=\frac{3}{8}\sqrt{\frac{\pi }{{\alpha }^5}}$$

一般地，对于偶数 $n=2k$：

$$I_{2k}(\alpha )=\frac{(2k-1)!!}{2^{k+1}}\sqrt{\frac{\pi }{{\alpha }^{2k+1}}}$$

对于奇数 $n=2k+1$：

$$I_{2k+1}(\alpha )=\frac{k!}{2{\alpha }^{k+1}}$$

其中 $(2k-1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)$ 为双阶乘．

$I_0$ 的推导

$I_0$ 是最基本的高斯积分，其推导利用了一个巧妙的技巧——将一维积分转化为二维极坐标积分：

$$I_0^2=\left({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha x^2}\mathrm{d}x\right)\left({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha y^2}\mathrm{d}y\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha (x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

转化为极坐标 $(r,\theta )$：

$$I_0^2={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha r^2}r\mathrm{d}r=2\pi \cdot \frac{1}{2\alpha }=\frac{\pi }{\alpha }$$

因此：

$$I_0={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}$$

递推关系

其他高斯积分可以通过对 $\alpha$ 求导得到：

$$I_n(\alpha )=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha }{I}_{n-2}(\alpha )$$

这使得所有高斯积分都可以从 $I_0$ 出发递推得到．

例题：验证正态分布的归一化

题目：验证 $f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}}\exp (-{\displaystyle \frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}})$ 满足归一化条件 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x=1$．

解答：令 $t={\displaystyle \frac{x-\mu }{\sigma \sqrt{2}}}$，则 $\mathrm{d}x=\sigma \sqrt{2}\mathrm{d}t$，代入得：

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-t^2}\sigma \sqrt{2}\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\cdot \sqrt{\pi }=1$$

归一化条件得到验证．这里用到了高斯积分 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t=\sqrt{\pi }$（即 $I_0(1)$ 的全实数轴形式）．

常见分布的参数汇总

分布	记号	PDF	定义域
均匀分布	$U(a,b)$	${\displaystyle \frac{1}{b-a}}$	$[a,b]$
指数分布	$\text{Exp}(\lambda )$	$\lambda e^{-\lambda x}$	$[0,+\mathrm{\infty })$
正态分布	$N(\mu ,{\sigma }^2)$	${\displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}}{e}^{-(x-\mu {)}^2/2{\sigma }^2}$	$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$

各分布的期望和方差将在 随机变量的数字特征 页面中汇总．

学习衔接

• 上一节：概率论的基本概念
• 下一节：随机变量的数字特征
• 物理应用：麦克斯韦速率分布律 中的速率分布函数就是一种概率密度函数，其分量分布是高斯分布

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