随机变量的数字特征

概率密度函数完整描述了随机变量的统计性质，但在实际物理问题中，我们往往不需要知道分布的所有细节，只需要几个关键的数字来概括其主要特征：这个随机变量的「中心」在哪里？取值有多分散？这就是期望和方差的物理意义——它们分别度量了分布的位置和宽度．

学习目标

读完本页后，你应该能够：

掌握数学期望的定义、性质和计算方法
掌握方差与标准差的定义和计算
记住常见分布的期望和方差
理解期望和方差在物理学中的应用

数学期望（均值）

数学期望

离散随机变量 $X$ X 取值 $x_{i}$ x_i 的概率为 $p_{i}$ p_i，则其 数学期望（或均值）定义为：

E [X] = μ = \sum_{i} x_{i} p_{i}

E[X] = mu = sum_i x_i ,p_i

连续随机变量 $X$ X 的概率密度函数为 $f (x)$ f(x)，则其数学期望定义为：

E [X] = μ = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x

E[X] = mu = int_-inf^+inf x ,f(x) ,dx

期望的物理意义：如果把概率密度 $f (x)$ f(x) 想象成一根细棒上的质量分布，那么期望 $μ$ mu 就是这根棒的重心位置．

期望的性质

期望具有 线性性质，这是它最重要的数学性质：

E [a X + b] = a E [X] + b

E[aX + b] = a ,E[X] + b

E [X + Y] = E [X] + E [Y]

E[X + Y] = E[X] + E[Y]

其中 $a, b$ a, b 为常数．注意：期望的线性性质 不要求 $X$ X 和 $Y$ Y 独立．

任意函数的期望

对于随机变量 $X$ X 的任意函数 $g (X)$ g(X)，其期望为：

E [g (X)] = \int_{- \infty}^{+ \infty} g (x) f (x) d x

E[g(X)] = int_-inf^+inf g(x) ,f(x) ,dx

这个公式在物理学中极为常用——例如，已知分子速率的分布 $F (v)$ F(v)，要计算平均动能 $\overset{―}{E_{k}}$ E_k，只需取 $g (v) = \frac{1}{2} m v^{2}$ g(v) = 12mv^2：

\overset{―}{E_{k}} = E [\frac{1}{2} m v^{2}] = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{2} m v^{2} F (v) d v

E_k = E !left[12mv^2right] = int_0^+inf 12mv^2 ,F(v) ,dv

方差与标准差

期望告诉我们分布的「中心」在哪里，但两个分布可以有相同的均值而截然不同的宽度．方差度量的是随机变量围绕其均值的分散程度．

方差与标准差

随机变量 $X$ X 的方差定义为：

Var (X) = σ^{2} = E [(X - μ)^{2}] = E [X^{2}] - {(E [X])}^{2}

Var(X) = sigma^2 = E !left[(X - mu)^2right] = E[X^2] - left(E[X]right)^2

标准差 $σ = \sqrt{Var (X)}$ sigma = Var(X) 是方差的平方根，与随机变量本身具有相同的量纲．

方差的计算常用以下等价公式：

Var (X) = E [X^{2}] - μ^{2}

Var(X) = E[X^2] - mu^2

这个公式将方差的计算转化为 $E [X^{2}]$ E[X^2] 和 $μ = E [X]$ mu = E[X] 的计算，避免了直接计算 $(X - μ)^{2}$ (X-mu)^2 的期望．

方差的性质

Var (a X + b) = a^{2} Var (X)

Var(aX + b) = a^2 ,Var(X)

注意常数项 $b$ b 不影响方差（平移不改变分散程度），而缩放因子 $a$ a 的影响是平方关系．

如果 $X$ X 和 $Y$ Y 相互独立，则：

Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y)

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)

常见分布的期望与方差

分布	记号	期望 $E [X]$ E[X]	方差 $Var (X)$ Var(X)
均匀分布	$U (a, b)$ U(a,b)	$\frac{a + b}{2}$ a+b2	$\frac{(b - a)^{2}}{12}$ (b-a)^212
指数分布	$Exp (λ)$ Exp(lambda)	$\frac{1}{λ}$ 1lambda	$\frac{1}{λ^{2}}$ 1lambda^2
正态分布	$N (μ, σ^{2})$ N(mu,sigma^2)	$μ$ mu	$σ^{2}$ sigma^2
泊松分布	$Pois (λ)$ Pois(lambda)	$λ$ lambda	$λ$ lambda

例题：正态分布的期望和方差

题目：验证正态分布 $N (μ, σ^{2})$ N(mu, sigma^2) 的期望为 $μ$ mu、方差为 $σ^{2}$ sigma^2．

解答：设 $X \sim N (μ, σ^{2})$ X ~ N(mu, sigma^2)，其 PDF 为 $f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- (x - μ)^{2} / 2 σ^{2}}$ f(x) = 1sigma2pi ,e^-(x-mu)^2/2sigma^2．

期望：令 $t = \frac{x - μ}{σ}$ t = x-sigma，则 $x = μ + σ t$ x = mu + sigma t， $d x = σ d t$ dx = sigma ,dt：

E [X] = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x = \int_{- \infty}^{+ \infty} (μ + σ t) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- t^{2} / 2} d t

E[X] = int_-inf^+inf x ,f(x) ,dx = int_-inf^+inf (mu + sigma t)*12pi ,e^-t^2/2 ,dt

拆分为两项．第一项中 $μ$ mu 为常数，积分等于 1（归一化）；第二项中 $t e^{- t^{2} / 2}$ t ,e^-t^2/2 是奇函数，积分为零：

E [X] = μ \cdot 1 + σ \cdot 0 = μ ✓

E[X] = mu * 1 + sigma * 0 = mu quad checkmark

方差：

Var (X) = E [(X - μ)^{2}] = \int_{- \infty}^{+ \infty} (x - μ)^{2} f (x) d x = σ^{2} \int_{- \infty}^{+ \infty} t^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- t^{2} / 2} d t

Var(X) = E[(X-mu)^2] = int_-inf^+inf (x-mu)^2 ,f(x) ,dx = sigma^2 int_-inf^+inf t^2 * 12pi ,e^-t^2/2 ,dt

利用高斯积分 $\int_{- \infty}^{+ \infty} t^{2} e^{- t^{2} / 2} d t = \sqrt{2 π}$ int_-inf^+inf t^2 e^-t^2/2 ,dt = 2pi，得：

Var (X) = σ^{2} \cdot \frac{\sqrt{2 π}}{\sqrt{2 π}} = σ^{2} ✓

Var(X) = sigma^2 * 22pi = sigma^2 quad checkmark

协方差与相关系数（选读）

对于两个随机变量 $X$ X 和 $Y$ Y，协方差 度量它们的线性关联程度：

Cov (X, Y) = E [(X - μ_{X}) (Y - μ_{Y})] = E [X Y] - E [X] E [Y]

Cov(X, Y) = E[(X - mu_X)(Y - mu_Y)] = E[XY] - E[X] ,E[Y]

相关系数 是标准化的协方差：

ρ = \frac{Cov (X, Y)}{σ_{X} σ_{Y}}

rho = Cov(X, Y)sigma_X ,sigma_Y

相关系数满足 $- 1 \leq ρ \leq 1$ -1 <= rho <= 1． $ρ = 0$ rho = 0 表示 $X$ X 和 $Y$ Y 不相关（无线性关系）．

独立与不相关的区别

若 $X$ X 和 $Y$ Y 独立，则 $Cov (X, Y) = 0$ Cov(X, Y) = 0（即不相关）．但反过来不成立——不相关的随机变量不一定独立．独立是比不相关更强的条件．

学习衔接

上一节：一维随机变量及其分布
物理应用：麦克斯韦速率分布律中的最概然速率、平均速率和方均根速率分别对应分布的不同数字特征

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期望的性质

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方差的性质

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