随机变量的数字特征

概率密度函数完整描述了随机变量的统计性质，但在实际物理问题中，我们往往不需要知道分布的所有细节，只需要几个关键的数字来概括其主要特征：这个随机变量的 "中心" 在哪里？取值有多分散？这就是期望和方差的物理意义——它们分别度量了分布的位置和宽度．

学习目标

读完本页后，你应该能够：

掌握数学期望的定义、性质和计算方法
掌握方差与标准差的定义和计算
记住常见分布的期望和方差
理解期望和方差在物理学中的应用

数学期望（均值）

数学期望

离散随机变量 $X$ 取值 $x_{i}$ 的概率为 $p_{i}$ ，则其 数学期望（或均值）定义为：

E [X] = μ = \sum_{i} x_{i} p_{i}

连续随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f (x)$ ，则其数学期望定义为：

E [X] = μ = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x

期望的物理意义：如果把概率密度 $f (x)$ 想象成一根细棒上的质量分布，那么期望 $μ$ 就是这根棒的重心位置．

期望的性质

期望具有 线性性质，这是它最重要的数学性质：

E [a X + b] = a E [X] + b

E [X + Y] = E [X] + E [Y]

其中 $a, b$ 为常数．注意：期望的线性性质 不要求 $X$ 和 $Y$ 独立．

任意函数的期望

对于随机变量 $X$ 的任意函数 $g (X)$ ，其期望为：

E [g (X)] = \int_{- \infty}^{+ \infty} g (x) f (x) d x

这个公式在物理学中极为常用——例如，已知分子速率的分布 $F (v)$ ，要计算平均动能 $\overset{―}{E_{k}}$ ，只需取 $g (v) = \frac{1}{2} m v^{2}$ ：

\overset{―}{E_{k}} = E [\frac{1}{2} m v^{2}] = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{2} m v^{2} F (v) d v

方差与标准差

期望告诉我们分布的 "中心" 在哪里，但两个分布可以有相同的均值而截然不同的宽度．方差度量的是随机变量围绕其均值的分散程度．

方差与标准差

随机变量 $X$ 的方差定义为：

Var (X) = σ^{2} = E [(X - μ)^{2}] = E [X^{2}] - {(E [X])}^{2}

标准差 $σ = \sqrt{Var (X)}$ 是方差的平方根，与随机变量本身具有相同的量纲．

方差的计算常用以下等价公式：

Var (X) = E [X^{2}] - μ^{2}

这个公式将方差的计算转化为 $E [X^{2}]$ 和 $μ = E [X]$ 的计算，避免了直接计算 $(X - μ)^{2}$ 的期望．

方差的性质

Var (a X + b) = a^{2} Var (X)

注意常数项 $b$ 不影响方差（平移不改变分散程度），而缩放因子 $a$ 的影响是平方关系．

如果 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则：

Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y)

常见分布的期望与方差

分布	记号	期望 $E [X]$	方差 $Var (X)$
均匀分布	$U (a, b)$	$\frac{a + b}{2}$	$\frac{(b - a)^{2}}{12}$
指数分布	$Exp (λ)$	$\frac{1}{λ}$	$\frac{1}{λ^{2}}$
正态分布	$N (μ, σ^{2})$	$μ$	$σ^{2}$
泊松分布	$Pois (λ)$	$λ$	$λ$

例题：正态分布的期望和方差

题目：验证正态分布 $N (μ, σ^{2})$ 的期望为 $μ$ 、方差为 $σ^{2}$ ．

解答：设 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，其 PDF 为 $f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- (x - μ)^{2} / 2 σ^{2}}$ ．

期望：令 $t = \frac{x - μ}{σ}$ ，则 $x = μ + σ t$ ， $d x = σ d t$ ：

E [X] = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x = \int_{- \infty}^{+ \infty} (μ + σ t) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- t^{2} / 2} d t

拆分为两项．第一项中 $μ$ 为常数，积分等于 1（归一化）；第二项中 $t e^{- t^{2} / 2}$ 是奇函数，积分为零：

E [X] = μ \cdot 1 + σ \cdot 0 = μ ✓

方差：

Var (X) = E [(X - μ)^{2}] = \int_{- \infty}^{+ \infty} (x - μ)^{2} f (x) d x = σ^{2} \int_{- \infty}^{+ \infty} t^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- t^{2} / 2} d t

利用高斯积分 $\int_{- \infty}^{+ \infty} t^{2} e^{- t^{2} / 2} d t = \sqrt{2 π}$ ，得：

Var (X) = σ^{2} \cdot \frac{\sqrt{2 π}}{\sqrt{2 π}} = σ^{2} ✓

协方差与相关系数（选读）

对于两个随机变量 $X$ 和 $Y$ ，协方差 度量它们的线性关联程度：

Cov (X, Y) = E [(X - μ_{X}) (Y - μ_{Y})] = E [X Y] - E [X] E [Y]

相关系数 是标准化的协方差：

ρ = \frac{Cov (X, Y)}{σ_{X} σ_{Y}}

相关系数满足 $- 1 \leq ρ \leq 1$ ． $ρ = 0$ 表示 $X$ 和 $Y$ 不相关（无线性关系）．

独立与不相关的区别

若 $X$ 和 $Y$ 独立，则 $Cov (X, Y) = 0$ （即不相关）．但反过来不成立——不相关的随机变量不一定独立．独立是比不相关更强的条件．

学习衔接

上一节：一维随机变量及其分布
物理应用：麦克斯韦速率分布律中的最概然速率、平均速率和方均根速率分别对应分布的不同数字特征

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