线性空间

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线性空间，又称向量空间，是现代数学中的一个基本概念，是线性代数研究的主要对象．它推广了我们熟悉的二维和三维欧几里得空间的概念．

定义

一个 线性空间 $V$ V 是一个集合，其上的元素称为向量．在这个集合上定义了两种运算：

向量加法：对于 $V$ V 中任意两个向量 $\vec{u}$ u 和 $\vec{v}$ v，它们的和 $\vec{u} + \vec{v}$ u + v 仍然在 $V$ V 中．
标量乘法：对于 $V$ V 中任意向量 $\vec{v}$ v 和一个标量（通常是实数 $R$ R 或复数 $C$ C） $c$ c，它们的积 $c \vec{v}$ cv 仍然在 $V$ V 中．

这两种运算必须满足以下八条公理（设 $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ u, v, w 为 $V$ V 中任意向量， $c, d$ c, d 为任意标量）：

加法交换律： $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ u + v = v + u
加法结合律： $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$ (u + v) + w = u + (v + w)
存在零向量：存在一个零向量 $\vec{0} \in V$ 0 in V，使得对于任意 $\vec{v} \in V$ v in V，都有 $\vec{v} + \vec{0} = \vec{v}$ v + 0 = v．
存在负向量：对于任意 $\vec{v} \in V$ v in V，都存在一个负向量 $- \vec{v} \in V$ -v in V，使得 $\vec{v} + (- \vec{v}) = \vec{0}$ v + (-v) = 0．
标量乘法与标量加法的分配律： $c (\vec{u} + \vec{v}) = c \vec{u} + c \vec{v}$ c(u + v) = cu + cv
标量乘法与向量加法的分配律： $(c + d) \vec{v} = c \vec{v} + d \vec{v}$ (c + d)v = cv + dv
标量乘法结合律： $c (d \vec{v}) = (c d) \vec{v}$ c(dv) = (cd)v
单位元：标量中的「1」满足 $1 \vec{v} = \vec{v}$ 1v = v．

例子：

所有 $n$ n 维实向量构成的集合 $R^{n}$ R^n 是一个线性空间．
所有次数不超过 $n$ n 的多项式构成的集合 $P_{n} (x)$ P_n(x) 是一个线性空间．
在区间 $[a, b]$ [a, b] 上所有连续函数构成的集合 $C [a, b]$ C[a, b] 是一个线性空间．这在量子力学中尤其重要，波函数就存在于一个函数空间中．

线性相关与线性无关

在一组向量 ${{\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2}, \dots, {\vec{v}}_{k}}$ v_1, v_2, dots, v_k 中，如果存在不全为零的标量 $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{k}$ c_1, c_2, dots, c_k，使得：

c_{1} {\vec{v}}_{1} + c_{2} {\vec{v}}_{2} + \dots + c_{k} {\vec{v}}_{k} = \vec{0}

c_1v_1 + c_2v_2 + dots + c_kv_k = 0

则称这组向量是 线性相关 的．这意味着其中至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合．

反之，如果上述方程只在 $c_{1} = c_{2} = \dots = c_{k} = 0$ c_1 = c_2 = dots = c_k = 0 时成立，则称这组向量是 线性无关 的．

例题： 判断三维向量 $\vec{a} = (1, 0, 0)$ a=(1, 0, 0), $\vec{b} = (0, 1, 0)$ b=(0, 1, 0), $\vec{c} = (2, 3, 0)$ c=(2, 3, 0) 是否线性相关．

解：我们试图寻找不全为零的 $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ c_1, c_2, c_3 使得 $c_{1} \vec{a} + c_{2} \vec{b} + c_{3} \vec{c} = \vec{0}$ c_1a + c_2b + c_3c = 0．

c_{1} (1, 0, 0) + c_{2} (0, 1, 0) + c_{3} (2, 3, 0) = (0, 0, 0)

c_1(1, 0, 0) + c_2(0, 1, 0) + c_3(2, 3, 0) = (0, 0, 0)

(c_{1} + 2 c_{3}, c_{2} + 3 c_{3}, 0) = (0, 0, 0)

(c_1 + 2c_3, c_2 + 3c_3, 0) = (0, 0, 0)

这给出了方程组：

{\begin{cases} c_{1} + 2 c_{3} = 0 \\ c_{2} + 3 c_{3} = 0 \end{cases}

cases c_1 + 2c_3 = 0 c_2 + 3c_3 = 0 cases

我们可以取 $c_{3} = 1$ c_3 = 1，则 $c_{1} = - 2, c_{2} = - 3$ c_1 = -2, c_2 = -3．因为存在不全为零的解（例如 $c_{1} = - 2, c_{2} = - 3, c_{3} = 1$ c_1=-2, c_2=-3, c_3=1），所以这组向量是线性相关的．事实上， $\vec{c} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ c = 2a + 3b．

基与维数

基（Basis）

线性空间 $V$ V 的一个基是一组线性无关的向量 ${{\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}, \dots, {\vec{e}}_{n}}$ e_1, e_2, dots, e_n，满足 $V$ V 中的任何向量 $\vec{v}$ v 都可以唯一地表示为这组基向量的线性组合：

\vec{v} = c_{1} {\vec{e}}_{1} + c_{2} {\vec{e}}_{2} + \dots + c_{n} {\vec{e}}_{n}

v = c_1e_1 + c_2e_2 + dots + c_ne_n

标量 $(c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})$ (c_1, c_2, dots, c_n) 称为向量 $\vec{v}$ v 在这组基下的坐标．

标准基：在 $R^{n}$ R^n 空间中，最常用的一组基是标准基，由单位向量构成．例如，在 $R^{3}$ R^3 中，标准基是 $\hat{i} = (1, 0, 0), \hat{j} = (0, 1, 0), \hat{k} = (0, 0, 1)$ i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)．

维数（Dimension）

一个线性空间 $V$ V 的维数是其任何一组基所包含的向量个数，记作 $\dim (V)$ dim(V)．

如果一个线性空间的维数是有限的，则称之为 有限维线性空间．
如果一个线性空间的基包含无限个向量，则称之为 无限维线性空间．例如，所有连续函数构成的空间 $C [a, b]$ C[a, b] 是无限维的．量子力学中的希尔伯特空间就是无限维线性空间的一个重要例子．

子空间

如果 $W$ W 是线性空间 $V$ V 的一个非空子集，并且 $W$ W 本身对于 $V$ V 中定义的加法和标量乘法也构成一个线性空间，那么称 $W$ W 是 $V$ V 的一个 线性子空间．

要判断 $W$ W 是否为子空间，只需验证两点：

对加法封闭：若 $\vec{u}, \vec{v} \in W$ u, v in W，则 $\vec{u} + \vec{v} \in W$ u + v in W．
对标量乘法封闭：若 $\vec{u} \in W$ u in W 且 $c$ c 是任意标量，则 $c \vec{u} \in W$ cu in W．

例题： 判断集合 $W = {(x, y, z) \in R^{3} | x + y + z = 0}$ W = (x, y, z) in R^3 | x+y+z=0 是否为 $R^{3}$ R^3 的子空间．

解：

设 $\vec{u} = (x_{1}, y_{1}, z_{1}) \in W$ u = (x_1, y_1, z_1) in W 和 $\vec{v} = (x_{2}, y_{2}, z_{2}) \in W$ v = (x_2, y_2, z_2) in W．则 $x_{1} + y_{1} + z_{1} = 0$ x_1+y_1+z_1=0 且 $x_{2} + y_{2} + z_{2} = 0$ x_2+y_2+z_2=0．它们的和为 $\vec{u} + \vec{v} = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}, z_{1} + z_{2})$ u+v = (x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)．其分量之和为 $(x_{1} + x_{2}) + (y_{1} + y_{2}) + (z_{1} + z_{2}) = (x_{1} + y_{1} + z_{1}) + (x_{2} + y_{2} + z_{2}) = 0 + 0 = 0$ (x_1+x_2) + (y_1+y_2) + (z_1+z_2) = (x_1+y_1+z_1) + (x_2+y_2+z_2) = 0+0=0．所以 $\vec{u} + \vec{v} \in W$ u+v in W． $W$ W 对加法封闭．
设 $\vec{u} = (x_{1}, y_{1}, z_{1}) \in W$ u = (x_1, y_1, z_1) in W 且 $c$ c 为任意实数．则 $x_{1} + y_{1} + z_{1} = 0$ x_1+y_1+z_1=0．标量积为 $c \vec{u} = (c x_{1}, c y_{1}, c z_{1})$ cu = (cx_1, cy_1, cz_1)．其分量之和为 $c x_{1} + c y_{1} + c z_{1} = c (x_{1} + y_{1} + z_{1}) = c (0) = 0$ cx_1 + cy_1 + cz_1 = c(x_1+y_1+z_1) = c(0) = 0．所以 $c \vec{u} \in W$ cu in W． $W$ W 对标量乘法封闭．

因为 $W$ W 对加法和标量乘法都封闭，所以 $W$ W 是 $R^{3}$ R^3 的一个子空间．几何上，这个子空间是通过原点的一个平面．

内积空间

为了在线性空间中引入长度、距离和角度的概念，我们需要定义内积．一个 内积空间 是一个定义了内积运算的线性空间．

内积（在实向量空间中通常就是点积）是一个函数，它接收两个向量，返回一个标量，记作 $⟨ \vec{u}, \vec{v} ⟩$ langle u, v rangle．它必须满足以下性质（设 $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ u, v, w 为向量， $c$ c 为标量）：

共轭对称性： $⟨ \vec{u}, \vec{v} ⟩ = \overset{―}{⟨ \vec{v}, \vec{u} ⟩}$ langle u, v rangle = langle v, u rangle（对于实向量空间，即为对称性 $⟨ \vec{u}, \vec{v} ⟩ = ⟨ \vec{v}, \vec{u} ⟩$ langle u, v rangle = langle v, u rangle）
对第一变元的线性： $⟨ c \vec{u} + \vec{v}, \vec{w} ⟩ = c ⟨ \vec{u}, \vec{w} ⟩ + ⟨ \vec{v}, \vec{w} ⟩$ langle cu + v, w rangle = clangle u, w rangle + langle v, w rangle
正定性： $⟨ \vec{v}, \vec{v} ⟩ \geq 0$ langle v, v rangle >= 0，且 $⟨ \vec{v}, \vec{v} ⟩ = 0$ langle v, v rangle = 0 当且仅当 $\vec{v} = \vec{0}$ v = 0．

在内积空间中，我们可以定义：

向量的范数（长度）： $‖ \vec{v} ‖ = \sqrt{⟨ \vec{v}, \vec{v} ⟩}$ |v | = langle v, v rangle
向量间的夹角 $θ$ theta： $\cos θ = \frac{⟨ \vec{u}, \vec{v} ⟩}{‖ \vec{u} ‖ ‖ \vec{v} ‖}$ costheta = langle u, v |u | |v |
正交：如果 $⟨ \vec{u}, \vec{v} ⟩ = 0$ langle u, v rangle = 0，则称向量 $\vec{u}$ u 和 $\vec{v}$ v 是正交的．