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线性空间

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线性空间，又称向量空间，是现代数学中的一个基本概念，是线性代数研究的主要对象。它推广了我们熟悉的二维和三维欧几里得空间的概念。

定义

一个线性空间 V 是一个集合，其上的元素称为向量。在这个集合上定义了两种运算：

  1. 向量加法：对于 V 中任意两个向量 u→ 和 v→，它们的和 u→+v→ 仍然在 V 中。
  2. 标量乘法：对于 V 中任意向量 v→ 和一个标量（通常是实数 R 或复数 C）c，它们的积 cv→ 仍然在 V 中。

这两种运算必须满足以下八条公理（设 u→,v→,w→ 为 V 中任意向量，c,d 为任意标量）：

  1. 加法交换律： u→+v→=v→+u→
  2. 加法结合律： (u→+v→)+w→=u→+(v→+w→)
  3. 存在零向量：存在一个零向量 0→∈V，使得对于任意 v→∈V，都有 v→+0→=v→。
  4. 存在负向量：对于任意 v→∈V，都存在一个负向量 −v→∈V，使得 v→+(−v→)=0→。
  5. 标量乘法与标量加法的分配律： c(u→+v→)=cu→+cv→
  6. 标量乘法与向量加法的分配律： (c+d)v→=cv→+dv→
  7. 标量乘法结合律： c(dv→)=(cd)v→
  8. 单位元：标量中的“1”满足 1v→=v→。

例子： - 所有 n 维实向量构成的集合 Rn 是一个线性空间。 - 所有次数不超过 n 的多项式构成的集合 Pn(x) 是一个线性空间。 - 在区间 [a,b] 上所有连续函数构成的集合 C[a,b] 是一个线性空间。这在量子力学中尤其重要，波函数就存在于一个函数空间中。

线性相关与线性无关

在一组向量 {v→1,v→2,…,v→k} 中，如果存在不全为零的标量 c1,c2,…,ck，使得：

c1v→1+c2v→2+⋯+ckv→k=0→

则称这组向量是线性相关的。这意味着其中至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。

反之，如果上述方程只在 c1=c2=⋯=ck=0 时成立，则称这组向量是线性无关的。

例题： 判断三维向量 a→=(1,0,0), b→=(0,1,0), c→=(2,3,0) 是否线性相关。

解： 我们试图寻找不全为零的 c1,c2,c3 使得 c1a→+c2b→+c3c→=0→。

c1(1,0,0)+c2(0,1,0)+c3(2,3,0)=(0,0,0)(c1+2c3,c2+3c3,0)=(0,0,0)

这给出了方程组：

{c1+2c3=0c2+3c3=0

我们可以取 c3=1，则 c1=−2,c2=−3。因为存在不全为零的解（例如 c1=−2,c2=−3,c3=1），所以这组向量是线性相关的。事实上，c→=2a→+3b→。

基与维数

基 (Basis)

线性空间 V 的一个基是一组线性无关的向量 {e→1,e→2,…,e→n}，满足 V 中的任何向量 v→ 都可以唯一地表示为这组基向量的线性组合：

v→=c1e→1+c2e→2+⋯+cne→n

标量 (c1,c2,…,cn) 称为向量 v→ 在这组基下的坐标。

  • 标准基：在 Rn 空间中，最常用的一组基是标准基，由单位向量构成。例如，在 R3 中，标准基是 i^=(1,0,0),j^=(0,1,0),k^=(0,0,1)。

维数 (Dimension)

一个线性空间 V 的维数是其任何一组基所包含的向量个数，记作 dim⁡(V)。

  • 如果一个线性空间的维数是有限的，则称之为有限维线性空间。
  • 如果一个线性空间的基包含无限个向量，则称之为无限维线性空间。例如，所有连续函数构成的空间 C[a,b] 是无限维的。量子力学中的希尔伯特空间就是无限维线性空间的一个重要例子。

子空间

如果 W 是线性空间 V 的一个非空子集，并且 W 本身对于 V 中定义的加法和标量乘法也构成一个线性空间，那么称 W 是 V 的一个线性子空间。

要判断 W 是否为子空间，只需验证两点： 1. 对加法封闭：若 u→,v→∈W，则 u→+v→∈W。 2. 对标量乘法封闭：若 u→∈W 且 c 是任意标量，则 cu→∈W。

例题： 判断集合 W={(x,y,z)∈R3|x+y+z=0} 是否为 R3 的子空间。

解： 1. 设 u→=(x1,y1,z1)∈W 和 v→=(x2,y2,z2)∈W。则 x1+y1+z1=0 且 x2+y2+z2=0。 它们的和为 u→+v→=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。 其分量之和为 (x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2)=(x1+y1+z1)+(x2+y2+z2)=0+0=0。 所以 u→+v→∈W。W 对加法封闭。

  1. 设 u→=(x1,y1,z1)∈W 且 c 为任意实数。则 x1+y1+z1=0。 标量积为 cu→=(cx1,cy1,cz1)。 其分量之和为 cx1+cy1+cz1=c(x1+y1+z1)=c(0)=0。 所以 cu→∈W。W 对标量乘法封闭。

因为 W 对加法和标量乘法都封闭，所以 W 是 R3 的一个子空间。几何上，这个子空间是通过原点的一个平面。

内积空间

为了在线性空间中引入长度、距离和角度的概念，我们需要定义内积。一个内积空间是一个定义了内积运算的线性空间。

内积（在实向量空间中通常就是点积）是一个函数，它接收两个向量，返回一个标量，记作 ⟨u→,v→⟩。它必须满足以下性质（设 u→,v→,w→ 为向量，c 为标量）：

  1. 共轭对称性： ⟨u→,v→⟩=⟨v→,u→⟩― （对于实向量空间，即为对称性 ⟨u→,v→⟩=⟨v→,u→⟩）
  2. 对第一变元的线性： ⟨cu→+v→,w→⟩=c⟨u→,w→⟩+⟨v→,w→⟩
  3. 正定性： ⟨v→,v→⟩≥0，且 ⟨v→,v→⟩=0 当且仅当 v→=0→。

在内积空间中，我们可以定义： - 向量的范数（长度）： ‖v→‖=⟨v→,v→⟩ - 向量间的夹角 θ： cos⁡θ=⟨u→,v→⟩‖u→‖‖v→‖ - 正交：如果 ⟨u→,v→⟩=0，则称向量 u→ 和 v→ 是正交的。

例子： - 欧几里得空间 Rn 加上点积运算，构成一个内积空间。 - 对于复变函数空间 C[a,b]，可以定义内积为 ⟨f,g⟩=∫abf(x)g(x)―dx。这在量子力学中用于计算波函数的归一化和跃迁概率。

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本页面贡献者：Leafuke
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