线性算符与矩阵表示

物理问题引入：物理操作如何用数学语言精确表达？

在初等物理中，速度、电场等物理量被描述为矢量 $v$ v．然而，在理论力学与量子力学中，物理学家更关心的是 操作与演化：

刚体旋转：刚体的角动量 $L$ L 与角速度 $ω$ omega 并不总是平行的，它们通过一个将角速度变换为角动量的矩阵相互联系： $L = I ω$ L = Iomega（惯量张量）；
偏振光学：一个偏振片、波片会对穿过的偏振光矢量进行衰减与相位旋转（琼斯矩阵运算）；
量子力学测量：对微观粒子的测量本质上是对态向量的一个线性作用，动量测量对应空间导数算符 $\hat{p} = - i ℏ \frac{d}{d x}$ p = -idx．

将一个态变换为另一个态的数学映射，就是 线性算符（Linear Operator）．

1. 线性算符的严格定义与基本性质

设 $V$ V 为数域 $F$ F（通常为 $R$ R 或 $C$ C）上的线性空间．映射 $\hat{T} : V \to V$ T: V -> V 称为 线性算符，如果它保持加法与数乘的线性：

\hat{T} (α | u ⟩ + β | v ⟩) = α \hat{T} | u ⟩ + β \hat{T} | v ⟩ (\forall | u ⟩, | v ⟩ \in V, \forall α, β \in F)

（在此引入理论物理通用的狄拉克右矢符号 $| v ⟩$ |vrangle 表示向量）．

算符代数运算

加法与数乘： $(α \hat{A} + β \hat{B}) | v ⟩ = α \hat{A} | v ⟩ + β \hat{B} | v ⟩$ (alphaA + betaB)|vrangle = alphaA|vrangle + betaB|vrangle；
算符乘法（复合运算）： $(\hat{A} \hat{B}) | v ⟩ = \hat{A} (\hat{B} | v ⟩)$ (AB)|vrangle = A(B|vrangle)，一般 不满足交换律（ $\hat{A} \hat{B} \neq \hat{B} \hat{A}$ AB != BA）；
对易子（Commutator）：衡量两个算符不可交换程度的核心代数工具：

[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A}

[A, B] = AB - BA

若 $[\hat{A}, \hat{B}] = 0$ [A, B] = 0，称两算符 相互对易（可以同时被精确测量，具有共同本征基底）．

2. 算符在基底下的矩阵表示

算符是抽象的对象，但在选定具体坐标基底后，算符即可完全等价地表示为一个二维 矩阵（Matrix）．

设有限维空间 $V$ V 的一组基为 ${| e_{1} ⟩, | e_{2} ⟩, \dots, | e_{n} ⟩}$ |e_1rangle, |e_2rangle, dots, |e_nrangle．线性算符 $\hat{T}$ T 作用在每一个基向量上，结果必定仍可由该基底线性展开：

\hat{T} | e_{j} ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} T_{i j} | e_{i} ⟩ = T_{1 j} | e_{1} ⟩ + T_{2 j} | e_{2} ⟩ + \dots + T_{n j} | e_{n} ⟩

展开系数构成的矩阵 $T = (T_{i j})$ T = (T_ij) 即为算符 $\hat{T}$ T 在该基底下的 矩阵表示．第 $j$ j 列的元素就是第 $j$ j 个基向量经算符变换后的新坐标！

3. 基变换与相似变换矩阵

若选取另一组新基 ${| e_{1}^{'} ⟩, \dots, | e_{n}^{'} ⟩}$ |e'_1rangle, dots, |e'_nrangle，新旧基通过可逆过渡矩阵 $P$ P 相联系：

| e_{j}^{'} ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} P_{i j} | e_{i} ⟩

|e'_jrangle = sum_i=1^n P_ij |e_irangle

同一个抽象算符 $\hat{T}$ T 在新基下的矩阵表示 $T^{'}$ T' 与旧基矩阵 $T$ T 满足 相似变换关系：

T^{'} = P^{- 1} T P

T' = P^-1 T P

物理启示：物理真实不会因为我们选用了笛卡尔坐标还是倾斜坐标而改变．矩阵的迹（ $Tr (T)$ Tr(T)）和行列式（ $\det (T)$ det(T)）在相似变换下保持严格不变，它们是算符本身的 固有物理不变量！

4. 物理实战范例：泡利自旋矩阵（Pauli Matrices）

在量子力学自旋 $1 / 2$ 1/2 体系中，电子的内禀角动量算符 $\hat{S} = \frac{ℏ}{2} σ$ S = hbar/2sigma．在以自旋向上 $| + ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ |+rangle = pmatrix 1 0 pmatrix 与自旋向下 $| - ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$ |-rangle = pmatrix 0 1 pmatrix 为基底时，泡利自旋算符的矩阵表示为：

σ_{x} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), σ_{y} = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}), σ_{z} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

sigma_x = pmatrix 0 & 1 1 & 0 pmatrix, quad sigma_y = pmatrix 0 & -i i & 0 pmatrix, quad sigma_z = pmatrix 1 & 0 0 & -1 pmatrix

直接检验它们的对易代数：

[σ_{x}, σ_{y}] = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} i & 0 \\ 0 & - i \end{matrix}) - (\begin{matrix} - i & 0 \\ 0 & i \end{matrix}) = 2 i σ_{z}

[sigma_x, sigma_y] = pmatrix 0 & 1 1 & 0 pmatrixpmatrix 0 & -i i & 0 pmatrix - pmatrix 0 & -i i & 0 pmatrixpmatrix 0 & 1 1 & 0 pmatrix = pmatrix i & 0 0 & -i pmatrix - pmatrix -i & 0 0 & i pmatrix = 2i sigma_z

循环对易关系 $[σ_{a}, σ_{b}] = 2 i ϵ_{a b c} σ_{c}$ [sigma_a, sigma_b] = 2i epsilon_abc sigma_c 完美展现了三维空间量子旋转算符李代数（Lie algebra）的全部物理结构．

5. 学习衔接

下一节：寻找使算符矩阵变为对角阵的特殊基底，进入本征值、本征矢与对角化；
几何底座：复空间长度与正交基，参见内积空间与正交归一化．

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