向量与矩阵

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向量

在物理学中，向量是描述既有大小又有方向的物理量的数学工具．例如，位移、速度、加速度、力等都是向量．

定义

一个 $n$ n 维向量 $\vec{v}$ v 可以表示为一个有序的数字列表：

\vec{v} = (v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n})

v = (v_1, v_2, dots, v_n)

其中 $v_{i}$ v_i 是向量在第 $i$ i 个维度上的分量．在三维欧几里得空间中，一个向量通常表示为：

\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}

r = xi + yj + zk

其中 $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ i, j, k 是沿 $x, y, z$ x, y, z 轴的单位向量．

向量运算

加法和减法

两个向量 $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ a = (a_1, a_2, dots, a_n) 和 $\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ b = (b_1, b_2, dots, b_n) 的和与差定义为：

\vec{a} \pm \vec{b} = (a_{1} \pm b_{1}, a_{2} \pm b_{2}, \dots, a_{n} \pm b_{n})

a +/- b = (a_1 +/- b_1, a_2 +/- b_2, dots, a_n +/- b_n)

向量加法满足交换律和结合律．

数量乘法

一个标量（普通数） $c$ c 与向量 $\vec{v}$ v 的乘积定义为：

c \vec{v} = (c v_{1}, c v_{2}, \dots, c v_{n})

cv = (cv_1, cv_2, dots, cv_n)

点积（内积）

两个向量的点积是一个标量，定义为：

\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n}

a * b = sum_i=1^n a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + dots + a_n b_n

点积也等于两个向量的模长与其夹角 $θ$ theta 的余弦之积：

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ

a * b = |a| |b| costheta

其中向量的模长 $| \vec{v} | = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}} = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + \dots + v_{n}^{2}}$ |v| = v * v = v_1^2 + v_2^2 + dots + v_n^2．

例题： 计算力 $\vec{F} = (3, 4, 5)$ F = (3, 4, 5) N 作用下，物体沿位移 $\vec{d} = (2, 1, 0)$ d = (2, 1, 0) m 移动时，力所做的功．

解：功是力与位移的点积 $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ W = F * d．

W = (3) (2) + (4) (1) + (5) (0) = 6 + 4 + 0 = 10 J

W = (3)(2) + (4)(1) + (5)(0) = 6 + 4 + 0 = 10 , J

叉积（外积）

在三维空间中，两个向量的叉积是一个向量，其方向垂直于由原向量构成的平面（遵循右手定则），其大小等于以此两向量为邻边的平行四边形的面积．

\vec{a} \times \vec{b} = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) \hat{i} + (a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) \hat{j} + (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) \hat{k}

a * b = (a_2 b_3 - a_3 b_2)i + (a_3 b_1 - a_1 b_3)j + (a_1 b_2 - a_2 b_1)k

叉积的大小为 $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin θ$ |a * b| = |a| |b| sintheta．

例题： 计算一个位于 $\vec{r} = (1, 1, 0)$ r = (1, 1, 0) m 处的质点，受到力 $\vec{F} = (0, 5, 0)$ F = (0, 5, 0) N 作用时，相对于原点的力矩 $\vec{τ}$ tau．

解：力矩定义为 $\vec{τ} = \vec{r} \times \vec{F}$ tau = r * F．

\vec{τ} = ((1) (0) - (0) (5)) \hat{i} + ((0) (0) - (1) (0)) \hat{j} + ((1) (5) - (1) (0)) \hat{k} = 5 \hat{k} N \cdot m

tau = ((1)(0) - (0)(5))i + ((0)(0) - (1)(0))j + ((1)(5) - (1)(0))k = 5k , N * m

矩阵

矩阵是一个按长方阵列排列的复数或实数集合．在物理学中，矩阵被广泛用于描述线性变换，如旋转、缩放，以及在量子力学中表示算符．

定义

一个 $m \times n$ m * n 的矩阵 $A$ A 是一个有 $m$ m 行和 $n$ n 列的数字阵列：

A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix})

A = pmatrix a_11 & a_12 & cdots & a_1n a_21 & a_22 & cdots & a_2n vdots & vdots & ddots & vdots a_m1 & a_m2 & cdots & a_mn pmatrix

矩阵运算

加法和减法

只有同维度的矩阵才能进行加减法．对于两个 $m \times n$ m * n 矩阵 $A$ A 和 $B$ B，其和与差 $C = A \pm B$ C = A +/- B 定义为：

c_{i j} = a_{i j} \pm b_{i j}

c_ij = a_ij +/- b_ij

数量乘法

一个标量 $c$ c 与矩阵 $A$ A 的乘积 $B = c A$ B = cA 定义为：

b_{i j} = c a_{i j}

b_ij = c a_ij

矩阵乘法

若 $A$ A 是一个 $m \times n$ m * n 矩阵， $B$ B 是一个 $n \times p$ n * p 矩阵，则它们的乘积 $C = A B$ C = AB 是一个 $m \times p$ m * p 矩阵，其元素定义为：

c_{i j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k j}

c_ij = sum_k=1^n a_ik b_kj

重要提示： 矩阵乘法不满足交换律，即 $A B \neq B A$ AB != BA．

例题： 在二维平面中，将向量 $\vec{v} = (2, 1)$ v = (2, 1) 先逆时针旋转 $90^{\circ}$ 90^circ，再沿 $x$ x 轴方向拉伸为原来的 $3$ 3 倍．求最终的向量．

解：逆时针旋转 $90^{\circ}$ 90^circ 的变换矩阵为 $R = (\begin{matrix} \cos 90^{\circ} & - \sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ R = pmatrix cos 90^circ & -sin 90^circ sin 90^circ & cos 90^circ pmatrix = pmatrix 0 & -1 1 & 0 pmatrix．沿 $x$ x 轴拉伸 $3$ 3 倍的变换矩阵为 $S = (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ S = pmatrix 3 & 0 0 & 1 pmatrix．

向量 $\vec{v}$ v 可以写成列向量形式 $(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$ pmatrix 2 1 pmatrix．最终的变换矩阵为 $T = S R$ T = SR．

T = (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} (3) (0) + (0) (1) & (3) (- 1) + (0) (0) \\ (0) (0) + (1) (1) & (0) (- 1) + (1) (0) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - 3 \\ 1 & 0 \end{matrix})

T = pmatrix 3 & 0 0 & 1 pmatrix pmatrix 0 & -1 1 & 0 pmatrix = pmatrix (3)(0)+(0)(1) & (3)(-1)+(0)(0) (0)(0)+(1)(1) & (0)(-1)+(1)(0) pmatrix = pmatrix 0 & -3 1 & 0 pmatrix

最终的向量为 ${\vec{v}}^{'} = T \vec{v}$ v' = Tv：

{\vec{v}}^{'} = (\begin{matrix} 0 & - 3 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} (0) (2) + (- 3) (1) \\ (1) (2) + (0) (1) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \end{matrix})

v' = pmatrix 0 & -3 1 & 0 pmatrix pmatrix 2 1 pmatrix = pmatrix (0)(2)+(-3)(1) (1)(2)+(0)(1) pmatrix = pmatrix -3 2 pmatrix

所以最终的向量为 $(- 3, 2)$ (-3, 2)．

特殊矩阵

单位矩阵 $I$ I： 主对角线元素为 1，其余为 0 的方阵．任何矩阵乘以单位矩阵都等于其自身 ( $A I = I A = A$ AI = IA = A)．
转置矩阵 $A^{T}$ A^T： 将原矩阵的行与列交换得到的矩阵．
逆矩阵 $A^{- 1}$ A^-1： 对于方阵 $A$ A，如果存在一个矩阵 $A^{- 1}$ A^-1 使得 $A A^{- 1} = A^{- 1} A = I$ AA^-1 = A^-1A = I，则称 $A^{- 1}$ A^-1 是 $A$ A 的逆矩阵．
对称矩阵： 如果一个方阵等于其转置 ( $A = A^{T}$ A = A^T)．
正交矩阵： 如果一个方阵的逆等于其转置 ( $A^{- 1} = A^{T}$ A^-1 = A^T)．在物理中，旋转矩阵是正交矩阵．
厄米矩阵（Hermitian Matrix）： 如果一个复方阵等于其共轭转置 ( $A = A^{†}$ A = A^dagger)．在量子力学中，可观测量由厄米算符表示．

行列式

一个 $n \times n$ n * n 方阵 $A$ A 的行列式，记作 $\det (A)$ det(A) 或 $| A |$ |A|，是一个标量．它在几何上可以理解为矩阵所代表的线性变换对空间「体积」的影响．

对于 $2 \times 2$ 2 * 2 矩阵：

\det (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = a d - b c

det pmatrix a & b c & d pmatrix = ad - bc

对于 $3 \times 3$ 3 * 3 矩阵：

\det (\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}) = a (e i - f h) - b (d i - f g) + c (d h - e g)

det pmatrix a & b & c d & e & f g & h & i pmatrix = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

重要性质：

$\det (A B) = \det (A) \det (B)$ det(AB) = det(A)det(B)
$\det (A^{T}) = \det (A)$ det(A^T) = det(A)
$\det (A^{- 1}) = 1 / \det (A)$ det(A^-1) = 1/det(A)
如果 $\det (A) = 0$ det(A) = 0，则矩阵 $A$ A 不可逆（称为奇异矩阵）．

特征值与特征向量

对于一个给定的 $n \times n$ n * n 方阵 $A$ A，如果存在一个非零向量 $\vec{v}$ v 和一个标量 $λ$ lambda，使得：

A \vec{v} = λ \vec{v}

Av = lambdav

则称 $λ$ lambda 为矩阵 $A$ A 的一个 特征值， $\vec{v}$ v 为对应于特征值 $λ$ lambda 的 特征向量．

这个方程意味着，当矩阵 $A$ A 所代表的线性变换作用在特征向量 $\vec{v}$ v 上时，其效果仅仅是将 $\vec{v}$ v 进行缩放，缩放因子即为特征值 $λ$ lambda，而其方向保持不变（或反向）．

特征值和特征向量在物理中有极其重要的应用，例如在振动分析中求解系统的简正频率，或在量子力学中求解定态薛定谔方程的能量本征值．

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向量与矩阵

向量

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矩阵

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特殊矩阵

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