向量与矩阵

向量

在物理学中，向量是描述既有大小又有方向的物理量的数学工具。例如，位移、速度、加速度、力等都是向量。

定义

一个 $n$ 维向量 $\overrightarrow{v}$ 可以表示为一个有序的数字列表：

$$\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,\dots ,v_n)$$

其中 $v_i$ 是向量在第 $i$ 个维度上的分量。在三维欧几里得空间中，一个向量通常表示为：

$$\overrightarrow{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$$

其中 $\hat{i},\hat{j},\hat{k}$ 是沿 $x,y,z$ 轴的单位向量。

向量运算

加法和减法

两个向量 $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ 和 $\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,\dots ,b_n)$ 的和与差定义为：

$$\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b}=(a_1\pm b_1,a_2\pm b_2,\dots ,a_n\pm b_n)$$

向量加法满足交换律和结合律。

数量乘法

一个标量（普通数）$c$ 与向量 $\overrightarrow{v}$ 的乘积定义为：

$$c\overrightarrow{v}=(c{v}_1,c{v}_2,\dots ,c{v}_n)$$

点积（内积）

两个向量的点积是一个标量，定义为：

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$$

点积也等于两个向量的模长与其夹角 $\theta$ 的余弦之积：

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$$

其中向量的模长 $|\overrightarrow{v}|=\sqrt{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v}}=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots +v_n^2}$。

例题： 计算力 $\overrightarrow{F}=(3,4,5)$ N 作用下，物体沿位移 $\overrightarrow{d}=(2,1,0)$ m 移动时，力所做的功。

解： 功是力与位移的点积 $W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{d}$。

$$W=(3)(2)+(4)(1)+(5)(0)=6+4+0=10\text{J}$$

叉积（外积）

在三维空间中，两个向量的叉积是一个向量，其方向垂直于由原向量构成的平面（遵循右手定则），其大小等于以此两向量为邻边的平行四边形的面积。

$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=(a_2{b}_3-a_3{b}_2)\hat{i}+(a_3{b}_1-a_1{b}_3)\hat{j}+(a_1{b}_2-a_2{b}_1)\hat{k}$$

叉积的大小为 $|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta$。

例题： 计算一个位于 $\overrightarrow{r}=(1,1,0)$ m 处的质点，受到力 $\overrightarrow{F}=(0,5,0)$ N 作用时，相对于原点的力矩 $\overrightarrow{\tau }$。

解： 力矩定义为 $\overrightarrow{\tau }=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}$。

$$\overrightarrow{\tau }=((1)(0)-(0)(5))\hat{i}+((0)(0)-(1)(0))\hat{j}+((1)(5)-(1)(0))\hat{k}=5\hat{k}\text{N}\cdot \text{m}$$

矩阵

矩阵是一个按长方阵列排列的复数或实数集合。在物理学中，矩阵被广泛用于描述线性变换，如旋转、缩放，以及在量子力学中表示算符。

定义

一个 $m\times n$ 的矩阵 $A$ 是一个有 $m$ 行和 $n$ 列的数字阵列：

矩阵运算

加法和减法

只有同维度的矩阵才能进行加减法。对于两个 $m\times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$，其和与差 $C=A\pm B$ 定义为：

$$c_{ij}=a_{ij}\pm b_{ij}$$

数量乘法

一个标量 $c$ 与矩阵 $A$ 的乘积 $B=cA$ 定义为：

$$b_{ij}=c{a}_{ij}$$

矩阵乘法

若 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是一个 $n\times p$ 矩阵，则它们的乘积 $C=AB$ 是一个 $m\times p$ 矩阵，其元素定义为：

$$c_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$$

重要提示： 矩阵乘法不满足交换律，即 $AB\ne BA$。

例题： 在二维平面中，将向量 $\overrightarrow{v}=(2,1)$ 先逆时针旋转 ${90}^{\circ }$，再沿 $x$ 轴方向拉伸为原来的 $3$ 倍。求最终的向量。

解： 逆时针旋转 ${90}^{\circ }$ 的变换矩阵为 。 沿 $x$ 轴拉伸 $3$ 倍的变换矩阵为 。

向量 $\overrightarrow{v}$ 可以写成列向量形式 $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$。 最终的变换矩阵为 $T=SR$。

最终的向量为 ${\overrightarrow{v}}^{\prime }=T\overrightarrow{v}$：

所以最终的向量为 $(-3,2)$。

特殊矩阵

• 单位矩阵 $I$： 主对角线元素为1，其余为0的方阵。任何矩阵乘以单位矩阵都等于其自身 ($AI=IA=A$)。
• 转置矩阵 $A^T$： 将原矩阵的行与列交换得到的矩阵。
• 逆矩阵 $A^{-1}$： 对于方阵 $A$，如果存在一个矩阵 $A^{-1}$ 使得 $A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$，则称 $A^{-1}$ 是 $A$ 的逆矩阵。
• 对称矩阵： 如果一个方阵等于其转置 ($A=A^T$)。
• 正交矩阵： 如果一个方阵的逆等于其转置 ($A^{-1}=A^T$)。在物理中，旋转矩阵是正交矩阵。
• 厄米矩阵 (Hermitian Matrix)： 如果一个复方阵等于其共轭转置 ($A=A^{†}$)。在量子力学中，可观测量由厄米算符表示。

行列式

一个 $n\times n$ 方阵 $A$ 的行列式，记作 $\det \left(A\right)$ 或 $|A|$，是一个标量。它在几何上可以理解为矩阵所代表的线性变换对空间“体积”的影响。

对于 $2\times 2$ 矩阵：

对于 $3\times 3$ 矩阵：

重要性质： - $\det \left(AB\right)=\det \left(A\right)\det \left(B\right)$ - $\det \left(A^T\right)=\det \left(A\right)$ - $\det \left(A^{-1}\right)=1/\det \left(A\right)$ - 如果 $\det \left(A\right)=0$，则矩阵 $A$ 不可逆（称为奇异矩阵）。

特征值与特征向量

对于一个给定的 $n\times n$ 方阵 $A$，如果存在一个非零向量 $\overrightarrow{v}$ 和一个标量 $\lambda$，使得：

$$A\overrightarrow{v}=\lambda \overrightarrow{v}$$

则称 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的一个特征值，$\overrightarrow{v}$ 为对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

这个方程意味着，当矩阵 $A$ 所代表的线性变换作用在特征向量 $\overrightarrow{v}$ 上时，其效果仅仅是将 $\overrightarrow{v}$ 进行缩放，缩放因子即为特征值 $\lambda$，而其方向保持不变（或反向）。

特征值和特征向量在物理中有极其重要的应用，例如在振动分析中求解系统的简正频率，或在量子力学中求解定态薛定谔方程的能量本征值。

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