偏微分方程分离变量法

物理问题引入：两端固定的弦为什么只允许特定频率振荡？

考察一根长度为 $L$ L、两端牢固固定的吉他弦：

在宏观上，你可以用拨片随意拨出各种奇怪的初始折线形状 $u (x, 0) = ϕ (x)$ u(x, 0) = phi(x)；
但在波动动力学演化中，琴弦 绝不能 以任意连续频率振动；
物理测量显示，琴弦的声音必定由 $f_{1} = \frac{v}{2 L}, f_{2} = 2 f_{1}, f_{3} = 3 f_{1}, \dots$ f_1 = v/2L, f_2 = 2f_1, f_3 = 3f_1, dots 等一组 严格分立的特征基频与泛音 构成．

为什么连续的偏微分方程 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}$ d^2 ud x^2 = 1v^2d^2 ud t^2 会自动筛选出这组分立的离散频率？分离变量法 (Separation of Variables，又称傅里叶法） 揭示了这一奇迹背后的全部数学奥秘．

1. 分离变量法四步通用范式

以最典型的一维有限长弦齐次波动定解问题为例：

{\begin{cases} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = v^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} & (0 < x < L, t > 0) \\ u (0, t) = 0, u (L, t) = 0 & (齐次第一类边界条件) \\ u (x, 0) = ϕ (x), {\frac{\partial u}{\partial t} |}_{t = 0} = ψ (x) & (初始位移与初速度) \end{cases}

cases d^2 ud t^2 = v^2 d^2 ud x^2 & (0 < x < L, , t > 0) [6pt] u(0, t) = 0, quad u(L, t) = 0 & (齐次第一类边界条件) [6pt] u(x, 0) = phi(x), quad left.d ud tright|_t=0 = psi(x) & (初始位移与初速度) cases

第一步：设乘积解，变量解耦

假设未知场函数可以分解为纯空间因子与纯时间因子的乘积：

u (x, t) = X (x) T (t)

u(x, t) = X(x) T(t)

代入波动方程： $X (x) T^{″} (t) = v^{2} X^{″} (x) T (t)$ X(x) T''(t) = v^2 X''(x) T(t)．两边同除以 $v^{2} X (x) T (t)$ v^2 X(x) T(t)：

\frac{X^{″} (x)}{X (x)} = \frac{1}{v^{2}} \frac{T^{″} (t)}{T (t)}

X''(x)X(x) = 1v^2T''(t)T(t)

等式左边只依赖于空间坐标 $x$ x，等式右边只依赖于时间 $t$ t．要让这两个完全独立的自变量在任意时刻、任意地点处处相等，它们必须共同等于同一个与 $x, t$ x, t 均无关的常数，记为 $- λ$ -lambda（分离常数）：

\frac{X^{″} (x)}{X (x)} = - λ ⟹ X^{″} (x) + λ X (x) = 0

X''(x)X(x) = -lambda implies X''(x) + lambda X(x) = 0

\frac{T^{″} (t)}{T (t)} = - v^{2} λ ⟹ T^{″} (t) + v^{2} λ T (t) = 0

T''(t)T(t) = -v^2 lambda implies T''(t) + v^2 lambda T(t) = 0

偏微分方程被成功降阶为两个独立的常微分方程！

第二步：结合齐次边界，求解空间本征值问题

齐次边界条件给出： $u (0, t) = X (0) T (t) = 0 ⟹ X (0) = 0$ u(0, t) = X(0)T(t) = 0 implies X(0) = 0；同理 $X (L) = 0$ X(L) = 0．由此得到空间常微分方程的 边值问题（又称 Sturm–Liouville 本征值问题）：

X^{″} (x) + λ X (x) = 0, X (0) = 0, X (L) = 0

X''(x) + lambda X(x) = 0, quad X(0) = 0, quad X(L) = 0

分类讨论分离常数 $λ$ lambda：

若 $λ < 0$ lambda < 0 或 $λ = 0$ lambda = 0，通解为双曲函数或线性函数，代入两端边界只能得到平凡零解 $X (x) \equiv 0$ X(x) equiv 0（弦完全不振动，无物理意义）；
若 $λ > 0$ lambda > 0，令 $λ = k^{2}$ lambda = k^2，通解为： $X (x) = C_{1} \cos (k x) + C_{2} \sin (k x)$ X(x) = C_1 cos(kx) + C_2 sin(kx)．
- $X (0) = 0 ⟹ C_{1} = 0$ X(0) = 0 implies C_1 = 0；
- $X (L) = C_{2} \sin (k L) = 0$ X(L) = C_2 sin(k L) = 0．

为了得到非零解，必须满足正弦函数零点条件： $k L = n π$ k L = npi( $n = 1, 2, 3, \dots$ n = 1, 2, 3, dots)．由此，边界条件强制筛选出一组 离散分立的特征值（本征值）与本征函数：

λ_{n} = {(\frac{n π}{L})}^{2}, X_{n} (x) = \sin (\frac{n π x}{L}) (n = 1, 2, 3, \dots)

lambda_n = left(nLright)^2, quad X_n(x) = sinleft(npi xLright) quad (n = 1, 2, 3, dots)

第三步：求解时间方程，构造简正模

将求得的特征值 $λ_{n}$ lambda_n 代回时间常微分方程：

T_{n}^{″} (t) + ω_{n}^{2} T_{n} (t) = 0, 其中 ω_{n} = v \sqrt{λ_{n}} = \frac{n π v}{L}

T_n''(t) + omega_n^2 T_n(t) = 0, quad 其中 omega_n = vlambda_n = npi vL

解出时间演化为单频正弦简谐振荡：

T_{n} (t) = A_{n} \cos (ω_{n} t) + B_{n} \sin (ω_{n} t)

T_n(t) = A_n cos(omega_n t) + B_n sin(omega_n t)

将空间本征函数与时间解相乘，得到满足方程和齐次边界的特定特解——物理驻波简正模态（Normal Modes）：

u_{n} (x, t) = X_{n} (x) T_{n} (t) = [A_{n} \cos (ω_{n} t) + B_{n} \sin (ω_{n} t)] \sin (\frac{n π x}{L})

u_n(x, t) = X_n(x) T_n(t) = left[ A_n cos(omega_n t) + B_n sin(omega_n t) right] sinleft(npi xLright)

每一个驻波模态都具有固定的空间波节分布和纯粹的单色频率 $ω_{n}$ omega_n！

第四步：线性叠加，满足非齐次初始条件

根据线性叠加原理，一般通解由所有简正模态的无穷级数求和给出：

u (x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} [A_{n} \cos (ω_{n} t) + B_{n} \sin (ω_{n} t)] \sin (\frac{n π x}{L})

u(x, t) = sum_n=1^inf left[ A_n cos(omega_n t) + B_n sin(omega_n t) right] sinleft(npi xLright)

代入初值条件：

初始位移： $u (x, 0) = \sum_{n = 1}^{\infty} A_{n} \sin (\frac{n π x}{L}) = ϕ (x)$ u(x, 0) = sum_n=1^inf A_n sinleft(npi xLright) = phi(x)；
初始速度： ${\frac{\partial u}{\partial t} |}_{t = 0} = \sum_{n = 1}^{\infty} (B_{n} ω_{n}) \sin (\frac{n π x}{L}) = ψ (x)$ left.d ud tright|_t=0 = sum_n=1^inf (B_n omega_n) sinleft(npi xLright) = psi(x)．

这正是本征基底 $\sin (\frac{n π x}{L})$ sinleft(npi x/Lright) 的 傅里叶正弦级数展开！利用正交性直接求出振幅系数：

A_{n} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} ϕ (x) \sin (\frac{n π x}{L}) d x

A_n = 2L int_0^L phi(x) sinleft(npi xLright) dx

B_{n} = \frac{2}{n π v} \int_{0}^{L} ψ (x) \sin (\frac{n π x}{L}) d x

B_n = 2npi v int_0^L psi(x) sinleft(npi xLright) dx

至此，定解问题获得唯一确定的解析级数通解！

2. 分离变量法通向现代物理的中枢地位

分离变量法绝不局限于笛卡尔坐标下的正弦函数：

圆对称体系（柱坐标）：拉普拉斯算子分离出的径向本征方程是 贝塞尔方程，导出的本征函数是 贝塞尔函数 $J_{m} (k r)$ J_m(kr)；
球对称体系（球坐标）：角向本征方程是 勒让德方程，本征函数是 球谐函数 $Y_{l}^{m} (θ, ϕ)$ Y_l^m(theta, phi)；
量子定态薛定谔方程：波函数做空间 - 时间分离 $Ψ (r, t) = ψ (r) e^{- i E t / ℏ}$ Psi(r, t) = psi(r) e^-iEt/hbar，空间本征方程 $\hat{H} ψ = E ψ$ Hpsi = Epsi 就是最标准的分离变量产物！

所有这些不同的几何方程，在深层数学结构上全部统一于一个宏伟理论——Sturm–Liouville 本征值理论．

3. 学习衔接

下一节：探索全系特殊函数本征正交性的统一母体，进入 Sturm–Liouville 理论；
特殊函数应用：在贝塞尔函数与勒让德多项式中掌握非直角坐标的分离变量求解．

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