求留数：方法选择与计算

留数定理把围道积分化成留数之和，但真正动手时，第一步通常是判断「这个点是否为孤立奇点，应该用哪一种计算法」。本页根据《数学物理方法》讲义 3.5–3.7 节整理这一步的操作流程。先修内容是洛朗展开与奇点分类，积分应用见留数定理与实积分计算。

学习目标：判类型 → 定阶数 → 选公式 → 找 $a_{- 1}$ a_-1。这里的箭头表示检查顺序，不要求每道题都使用同一个公式。完成例题后，可进入六套专项习题与综合题集。

1. 留数究竟是哪一个系数？

若 $f$ f 在 $0 < | z - z_{0} | < r$ 0<|z-z_0|<r 内解析，则

f (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} a_{n} (z - z_{0})^{n}, Res (f, z_{0}) = a_{- 1} .

f(z)=sum_n=-inf^infa_n(z-z_0)^n, qquad Res(f,z_0)=a_-1.

绕 $z_{0}$ z_0 一周的正向小圆积分满足

\oint_{C} (z - z_{0})^{n} d z = {\begin{cases} 2 π i, & n = - 1, \\ 0, & n \neq - 1. \end{cases}

oint_C(z-z_0)^n ,mathrm dz= cases2pi i,&n=-1, 0,&nne-1.cases

所以积分只留下 $a_{- 1}$ a_-1 的贡献。留数既不是主部的所有系数之和，也不是最高负幂的系数。

留数为零不能判定奇点可去。 $1 / z^{2}$ 1/z^2 在原点是二阶极点， $e^{1 / z^{2}}$ e^1/z^2 在原点是本性奇点，两者留数都是零。解析点或可去奇点的留数则一定为零。

2. 先分类、定阶，再选方法

对商式 $P / Q$ P/Q，先比较分子与分母在 $z_{0}$ z_0 的零点阶数。若分别为 $p, q$ p,q，局部写成

P (z) = (z - z_{0})^{p} u (z), Q (z) = (z - z_{0})^{q} v (z), u (z_{0}) v (z_{0}) \neq 0.

P(z)=(z-z_0)^p u(z),quad Q(z)=(z-z_0)^q v(z), qquad u(z_0)v(z_0)ne0.

当 $q > p$ q>p 时，实际极点阶数是 $q - p$ q-p；当 $q \leq p$ q<= p 时可解析延拓。分母的幂次不一定等于实际极点阶数。

看到的结构	首选方法	使用前检查	专项训练
$e^{1 / z}$ e^1/z、 $\sin (1 / z)$ sin(1/z) 等本性奇点	洛朗展开，匹配 $- 1$ -1 次幂	必须有解析的去心邻域	洛朗展开
已知一阶极点，因子容易消去	$lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0}) f (z)$ lim_z-> z_0(z-z_0)f(z)	约分后确为一阶极点	极限法
$P / Q$ P/Q，且 $Q (z_{0}) = 0, Q^{'} (z_{0}) \neq 0$ Q(z_0)=0,Q'(z_0)ne0	$P (z_{0}) / Q^{'} (z_{0})$ P(z_0)/Q'(z_0)	$P, Q$ P,Q 在该点解析； $P (z_{0}) = 0$ P(z_0)=0 时点可去	商式法
实际 $m$ m 阶极点	求 $m - 1$ m-1 阶导数，除以 $(m - 1)!$ (m-1)!	消去极点后的函数解析	高阶极点公式
$g (z) / (z - z_{0})^{m}$ g(z)/(z-z_0)^m， $g$ g 易展开	取 $g$ g 的 $m - 1$ m-1 次泰勒系数	$g$ g 在该点解析；即使 $g (z_{0}) = 0$ g(z_0)=0 也能取系数	泰勒系数法
有理函数的全部有限留数之和	无穷远展开与总和定理	求「和」还是求「每一个」必须分清	无穷远点与总和

最后两种局部公式是同一系数关系的两种写法；单极点的商式法也是极限法的简化。方法可以交叉核对，不是互斥分类。

若奇点聚集在 $z_{0}$ z_0，上述局部留数定义不适用。例如 $1 / \sin (1 / z)$ 1/sin(1/z) 的极点 $1 / (n π)$ 1/(npi) 聚于原点，原点没有解析的去心邻域，不能机械地称为本性奇点并求其通常意义下的留数。

3. 洛朗展开：只追踪能产生 $- 1$ -1 次幂的项

对 $z^{2} e^{2 / z}$ z^2e^2/z，有

z^{2} e^{2 / z} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!} z^{2 - n} .

z^2e^2/z=sum_n=0^inf2^nn!z^2-n.

令 $2 - n = - 1$ 2-n=-1 得 $n = 3$ n=3，所以留数为 $2^{3} / 3! = 4 / 3$ 2^3/3!=4/3。无需写完全部主部，本性奇点也有确定的留数。

乘积展开时，要考虑所有能组成 $- 1$ -1 次幂的组合。例如在 $0 < | z | < 1$ 0<|z|<1 内，

\frac{e^{1 / z}}{1 - z} = (\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{- n}}{n!}) (\sum_{k = 0}^{\infty} z^{k}) .

e^1/z1-z =left(sum_n=0^infz^-nn!right) left(sum_k=0^infz^kright).

$k - n = - 1$ k-n=-1 给出 $n = k + 1$ n=k+1，因此

Res (\frac{e^{1 / z}}{1 - z}, 0) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(k + 1)!} = e - 1.

Resleft(e^1/z1-z,0right) =sum_k=0^infdfrac1(k+1)!=e-1.

两级数在该圆环内的紧子集上一致绝对收敛，可以相乘取系数。这里有无穷多项共同贡献，不能只取 $e^{1 / z}$ e^1/z 中的 $1 / z$ 1/z 项。

4. 单极点极限与商式法

对于一阶极点，写 $f (z) = h (z) / (z - z_{0})$ f(z)=h(z)/(z-z_0)，其中 $h$ h 在 $z_{0}$ z_0 解析，则

Res (f, z_{0}) = h (z_{0}) = lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0}) f (z) .

Res(f,z_0)=h(z_0)=lim_z-> z_0(z-z_0)f(z).

例如

Res (\frac{z + 2}{(z - 1) (z + 3)}, 1) = {\frac{z + 2}{z + 3} |}_{z = 1} = \frac{3}{4} .

Resleft(z+2(z-1)(z+3),1right) =left.z+2z+3right|_z=1=dfrac34.

若 $Q (z_{0}) = 0, Q^{'} (z_{0}) \neq 0$ Q(z_0)=0,Q'(z_0)ne0，由 $Q (z) = Q^{'} (z_{0}) (z - z_{0}) + O ((z - z_{0})^{2})$ Q(z)=Q'(z_0)(z-z_0)+O((z-z_0)^2)，得到

Res (\frac{P}{Q}, z_{0}) = \frac{P (z_{0})}{Q^{'} (z_{0})} .

Resleft(dfrac P Q,z_0right)=P(z_0)Q'(z_0).

例如 $f (z) = 2 z / (z^{4} + 1)$ f(z)=2z/(z^4+1) 的极点是 $z_{k} = e^{i (π / 4 + k π / 2)}$ z_k=e^i(pi/4+kpi/2)（ $k = 0, 1, 2, 3$ k=0,1,2,3），均为一阶极点，且

Res (f, z_{k}) = \frac{2 z_{k}}{4 z_{k}^{3}} = \frac{1}{2 z_{k}^{2}} .

Res(f,z_k)=2z_k4z_k^3=dfrac12z_k^2.

$Q^{'} (z_{0}) = 0$ Q'(z_0)=0 时不能使用这个商式公式，应重新定阶。 $Q^{'} (z_{0}) \neq 0$ Q'(z_0)ne0 但 $P (z_{0}) = 0$ P(z_0)=0 时，该公式仍给出留数零，不过该点是可去点而非单极点。

5. 高阶极点公式与泰勒系数法

若 $g (z) = (z - z_{0})^{m} f (z)$ g(z)=(z-z_0)^m f(z) 在 $z_{0}$ z_0 解析，将它展开为

g (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{g^{(n)} (z_{0})}{n!} (z - z_{0})^{n}, f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{g^{(n)} (z_{0})}{n!} (z - z_{0})^{n - m} .

g(z)=sum_n=0^infg^(n)(z_0)n!(z-z_0)^n, qquad f(z)=sum_n=0^infg^(n)(z_0)n!(z-z_0)^n-m.

因此

Res (f, z_{0}) = \frac{g^{(m - 1)} (z_{0})}{(m - 1)!} = \frac{1}{(m - 1)!} {\frac{d^{m - 1}}{d z^{m - 1}} [(z - z_{0})^{m} f (z)] |}_{z = z_{0}} .

Res(f,z_0)=g^(m-1)(z_0)(m-1)! =dfrac1(m-1)!left.mathrm d^m-1mathrm dz^m-1 left[(z-z_0)^m f(z)right]right|_z=z_0.

用高阶极点公式时， $m$ m 通常取实际极点阶数；用系数法时，只需保证 $g$ g 解析，即使 $g (z_{0}) = 0$ g(z_0)=0，取其 $m - 1$ m-1 次系数仍正确。

对 $f (z) = z^{2} / (z^{2} + 1)^{2}$ f(z)=z^2/(z^2+1)^2 在 $z = i$ z=i 的二阶极点，先消去 $(z - i)^{2}$ (z-i)^2：

Res (f, i) = {\frac{d}{d z} \frac{z^{2}}{(z + i)^{2}} |}_{z = i} = {\frac{2 i z}{(z + i)^{3}} |}_{z = i} = - \frac{i}{4} .

Res(f,i) =left.mathrm dmathrm dzz^2(z+i)^2right|_z=i =left.2iz(z+i)^3right|_z=i=-dfrac i4.

若分子更容易展开，则直接取系数。例如

\frac{e^{z}}{1 + z} = (1 + z + \frac{z^{2}}{2} + O (z^{3})) (1 - z + z^{2} + O (z^{3})) = 1 + \frac{z^{2}}{2} + O (z^{3}) .

e^z1+z =left(1+z+z^22+O(z^3)right) left(1-z+z^2+O(z^3)right) =1+z^22+O(z^3).

所以 $e^{z} / [z^{3} (1 + z)]$ e^z/[z^3(1+z)] 在原点的留数是 $1 / 2$ 1/2。只展开到二次项即可。

6. 无穷远点：记住微分带来的负号

无穷远点的奇点分类看 $f (1 / w)$ f(1/w) 在 $w = 0$ w=0 的行为；无穷远点的留数则必须连同微分变换，因为 $d z = - w^{- 2} d w$ mathrm dz=-w^-2mathrm dw：

Res (f, \infty) = - Res (\frac{f (1 / w)}{w^{2}}, 0) .

Res(f,inf) =-Resleft(f(1/w)w^2,0right).

若充分大的 $| z |$ |z| 上的展开为 $f (z) = \dots + c_{- 1} / z + c_{- 2} / z^{2} + \dots$ f(z)=cdots+c_-1/z+c_-2/z^2+cdots，则

Res (f, \infty) = - c_{- 1}, \sum_{有限奇点 z_{k}} Res (f, z_{k}) = c_{- 1} .

Res(f,inf)=-c_-1,qquad sum_有限奇点 z_kRes(f,z_k)=c_-1.

有理函数只有有限个有限极点，上式总可用。例如

\frac{3 z + 1}{z^{2} - 1} = \frac{3}{z} + \frac{1}{z^{2}} + O (z^{- 3}),

3z+1z^2-1=dfrac3z+dfrac1z^2+O(z^-3),

所以有限留数之和为 $3$ 3，无穷远点留数为 $- 3$ -3。逐点计算也得 $z = 1, - 1$ z=1,-1 处分别为 $2, 1$ 2,1。

不要把 $- lim_{z \to \infty} z f (z)$ -lim_z->infzf(z) 当成无条件公式。它只在例如 $f (z) = O (1 / z)$ f(z)=O(1/z) 时适用。对

\frac{z^{3}}{z^{2} + 1} = z - \frac{1}{z} + O (z^{- 3}),

z^3z^2+1=z-dfrac1z+O(z^-3),

虽然 $z f (z)$ zf(z) 发散，无穷远点留数仍是 $1$ 1，有限留数之和为 $- 1$ -1。多项式部分不贡献 $1 / z$ 1/z 系数。

总和定理只能确定留数之和；若要求各点留数，还需要局部计算。只有一个未知留数时，才可用总和反求它。

7. 从求留数到求积分

求积分时，在局部计算之外再检查三个问题：哪些奇点在围道内；围道是否经过奇点；绕行方向是什么。对正向简单闭曲线且曲线上无奇点，

\oint_{C} f (z) d z = 2 π i \sum_{z_{k} 在 C 内} Res (f, z_{k}) .

oint_C f(z) ,mathrm dz=2pi isum_z_k 在 C 内Res(f,z_k).

顺时针围道需要负号。一般闭路则按各点绕数加权。实轴反常积分还需说明大圆弧是否消失；实轴有极点时要明确普通积分、柯西主值和凹陷路径的区别。

对于 $e^{i p z}$ e^ipz， $| e^{i p (x + i y)} | = e^{- p y}$ |e^ip(x+iy)|=e^-py： $p > 0$ p>0 选上半平面， $p < 0$ p<0 选下半平面并计入顺时针负号； $p = 0$ p=0 单独用有理函数的弧长估计。这一检查直接连接讲义的傅里叶积分和 Yukawa 核。

8. 自检与后续练习

是否先约分并确定实际阶数？例如 $\sin z / z^{4}$ sin z/z^4 在原点是三阶极点。
是否求了 $m - 1$ m-1 阶导数，并除以 $(m - 1)!$ (m-1)!？
取乘积的 $a_{- 1}$ a_-1 时，是否漏了其他配对项？
无穷远点留数是否取了 $1 / z$ 1/z 系数的负值？
留数为零时，是否仍保留了正确的奇点分类？

接下来完成专项习题，再做不提示方法的综合题集。本页公式与基础例题参考用户提供的《3.5 奇点分类、3.6 留数定理发现之旅与 3.7 留数定理》（仓库 References/数学物理方法课件/mmplecture 3.5-3.7.md）；无穷远总和法与训练题按定义补充。

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