求留数专项：泰勒系数法

取 $e^z$e^z 的三次项系数。

结果：$1/6$1/6。

$e^z=1+z+z^2/2+z^3/6+O(z^4)$e^z=1+z+z^2/2+z^3/6+O(z^4)，除以 $z^4$z^4 后，只有三次项变成 $z^{-1}$z^-1，所以留数为 $1/6$1/6。原点是四阶极点。

正弦的最低非零项是一阶项。

结果：留数 $-1/6$-1/6；三阶极点。

$\sin z=z-z^3/6+O(z^5)$sin z=z-z^3/6+O(z^5)，所以 $\sin z/z^4=z^{-3}-(1/6)z^{-1}+O(z)$sin z/z^4=z^-3-(1/6)z^-1+O(z)。最高负幂为 $z^{-3}$z^-3，实际阶数是三阶；留数为 $-1/6$-1/6。用 $g=\sin z,m=4$g=sin z,m=4 取三次系数也正确，但不能据此把实际阶数称作四阶。

需要分子的四次项，而阶数由二次项决定。

结果：留数 $1/24$1/24；三阶极点。

$e^z-1-z=z^2/2+z^3/6+z^4/24+O(z^5)$e^z-1-z=z^2/2+z^3/6+z^4/24+O(z^5)。除以 $z^5$z^5 后主部为 $1/(2z^3)+1/(6z^2)+1/(24z)$1/(2z^3)+1/(6z^2)+1/(24z)，故留数 $1/24$1/24，极点阶数三阶。不能把分子减去的常数和线性项再计入。

二次系数由 $0+2$0+2、$1+1$1+1、$2+0$2+0 三种组合给出。

结果：$1/2$1/2。

在 $|z|<1$|z|<1 内，$e^z=1+z+z^2/2+O(z^3)$e^z=1+z+z^2/2+O(z^3)，$(1+z{)}^{-1}=1-z+z^2+O(z^3)$(1+z)^-1=1-z+z^2+O(z^3)。乘积的二次系数为 $1-1+1/2=1/2$1-1+1/2=1/2。除以 $z^3$z^3 后它就是留数；只看 $e^z$e^z 的二次项虽碰巧同值，却不能省略另外两个贡献。

分母为 $z^2$z^2，只需解析因子的一次项。

结果：$1$1。

$\cos z=1+O(z^2)$cos z=1+O(z^2)，$(1-z{)}^{-1}=1+z+O(z^2)$(1-z)^-1=1+z+O(z^2)，故解析因子的乘积为 $1+z+O(z^2)$1+z+O(z^2)。除以 $z^2$z^2，得到 $z^{-2}+z^{-1}+O(1)$z^-2+z^-1+O(1)，留数为 $1$1。无需展开到二次以上。