求留数专项：单极点极限法

先计算 $(z-1)f(z)$(z-1)f(z)。

结果：$3/4$3/4。

$z=1$z=1 处只有一次分母因子，分子非零。消去它后，$(z-1)f(z)=(z+2)/(z+3)$(z-1)f(z)=(z+2)/(z+3) 在 $1$1 解析，取值为 $3/4$3/4。

消去 $z$z，再代入原点。

结果：$-1/2$-1/2。

原点为一阶极点。$zf(z)=e^z/(z-2)$zf(z)=e^z/(z-2) 在原点解析，极限为 $e^0/(0-2)=-1/2$e^0/(0-2)=-1/2。负号来自另一个分母因子，不能把 $z-2$z-2 写成 $2-z$2-z。

检查分子在 $\pi$pi 处是否也为零。

结果：可去奇点；留数为 $0$0；延拓值为 $-1$-1。

令 $w=z-\pi$w=z-pi，$\sin (\pi +w)=-\sin w=-w+O(w^3)$sin(pi+w)=-sin w=-w+O(w^3)，故 $f=-1+O(w^2)$f=-1+O(w^2)。分子的一阶零点抵消分母，主部为零，留数为零，延拓值为 $-1$-1。$lim(z-\pi )f(z)=0$lim(z-pi)f(z)=0 并不证明这里是单极点。

$z^2-1=(z-1)(z+1)$z^2-1=(z-1)(z+1)。

结果：$z=1$z=1 可去，留数 $0$0；$z=-1$z=-1 为一阶极点，留数 $1$1。

在原定义域上约分得 $f(z)=1/(z+1)$f(z)=1/(z+1)。在 $z=1$z=1 可补定义 $f(1)=1/2$f(1)=1/2，留数为零；在 $z=-1$z=-1，$\underset{z\to -1}{lim}(z+1)f(z)=1$lim_z->-1(z+1)f(z)=1，因此是一阶极点，留数为 $1$1。

分母分解为两个不同的一次因子。

结果：$e^{-a}/(2ia)$e^-a/(2ia)。

$z^2+a^2=(z-ia)(z+ia)$z^2+a^2=(z-ia)(z+ia)，且 $ia\ne -ia$iane-ia。消去 $z-ia$z-ia 后得到 $e^{iz}/(z+ia)$e^iz/(z+ia)，在 $ia$ia 的值为 $e^{-a}/(2ia)$e^-a/(2ia)。指数因子中的 $i^2=-1$i^2=-1 给出衰减符号。