求留数专项：商式法 $P/Q^{\prime }$P/Q^prime

先写单位根，再计算 $P/Q^{\prime }$P/Q^prime。

结果：$z_k=e^{i(\pi /4+k\pi /2)}$z_k=e^i(pi/4+kpi/2)，$k=0,1,2,3$k=0,1,2,3；每点为一阶极点，留数为 $1/(2z_k^2)$1/(2z_k^2)。

分母零点满足 $z^4=-1$z^4=-1，得到所列四根，均非零。$Q^{\prime }(z_k)=4z_k^3\ne 0$Q^prime(z_k)=4z_k^3ne0 且 $P(z_k)=2z_k\ne 0$P(z_k)=2z_kne0，所以各点为一阶极点。商式法给出 $2z_k/(4z_k^3)=1/(2z_k^2)$2z_k/(4z_k^3)=1/(2z_k^2)。按 $k$k 顺序，留数为 $-i/2,i/2,-i/2,i/2$-i/2,i/2,-i/2,i/2，和为零。

先算 $i^3$i^3，最后再化简 $1/i$1/i。

结果：$i{e}^i/4$ie^i/4。

$Q(i)=i^4-1=0$Q(i)=i^4-1=0，$Q^{\prime }(i)=4i^3=-4i\ne 0$Q^prime(i)=4i^3=-4ine0。因 $e^i\ne 0$e^ine0，该点为一阶极点。留数为 $e^i/(-4i)=i{e}^i/4$e^i/(-4i)=ie^i/4，这里 $1/i=-i$1/i=-i。

分母的导数还是 $e^z$e^z。

结果：各点留数均为 $1$1。

$e^{z_n}=1$e^z_n=1，且分母导数 $e^{z_n}=1\ne 0$e^z_n=1ne0，故每点为一阶极点。分子是常数 $1$1，商式法得到留数 $1$1。奇点虽然无限多个，但在有限平面中没有聚点，每个点都可以单独求留数。

把余切写成余弦与正弦的商。

结果：$1$1。

写成 $P/Q=\pi \cos \left(\pi z\right)/\sin \left(\pi z\right)$P/Q=picos(pi z)/sin(pi z)。在 $n$n 处，$P(n)=\pi (-1{)}^n$P(n)=pi(-1)^n，$Q^{\prime }(n)=\pi \cos \left(\pi n\right)=\pi (-1{)}^n\ne 0$Q^prime(n)=picos(pi n)=pi(-1)^nne0。二者相除为 $1$1；分母求导时必须保留链式法则的 $\pi$pi。

用 $Q^{\prime }(z)=3z^2-1$Q^prime(z)=3z^2-1，逐点代入。

结果：$-1,0,1$-1,0,1 都是一阶极点，留数依次为 $1,-1,1$1,-1,1。

$Q=z(z-1)(z+1)$Q=z(z-1)(z+1)，三个零点互异，分子在这三点均非零。$Q^{\prime }=3z^2-1$Q^prime=3z^2-1，故在 $\pm 1$+/-1 处留数为 $2/2=1$2/2=1，原点处为 $1/(-1)=-1$1/(-1)=-1。其和为 $1$1，与无穷远展开的 $1/z$1/z 系数一致。