求留数专项：洛朗展开法

在指数级数中寻找 $z^{-1}$z^-1。

结果：本性奇点；留数为 $1$1。

$e^{1/z}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^{-n}/n!$e^1/z=sum_n=0^infz^-n/n! 在任意 $0<|z|<r$0<|z|<r 内成立。主部有无穷多项，所以原点为本性奇点；$n=1$n=1 对应 $z^{-1}$z^-1，其系数为 $1$1。

写出 $2-n=-1$2-n=-1。

结果：$\mathrm{Res}(f,0)=4/3$Res(f,0)=4/3；本性奇点。

展开 $z^2{e}^{2/z}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(2^n/n!)z^{2-n}$z^2e^2/z=sum_n=0^inf(2^n/n!)z^2-n。令 $2-n=-1$2-n=-1 得 $n=3$n=3，故留数为 $2^3/3!=4/3$2^3/3!=4/3。乘以 $z^2$z^2 后主部仍有无穷多项，原点仍为本性奇点。

将正弦的幂级数中的自变量换成 $1/z$1/z。

结果：留数为 $1$1；不能使用有限阶极点公式。

$\sin (1/z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{z}^{-(2n+1)}/(2n+1)!$sin(1/z)=sum_n=0^inf(-1)^n z^-(2n+1)/(2n+1)!。$n=0$n=0 给出 $1/z$1/z，故留数为 $1$1。主部有无穷多项，不存在有限的极点阶数 $m$m，所以高阶极点公式不适用。

匹配指数 $k-n=-1$k-n=-1。

结果：$\mathrm{Res}(f,0)=e-1$Res(f,0)=e-1。

在该圆环内，$e^{1/z}=\sum _{n\ge 0}{z}^{-n}/n!$e^1/z=sum_n>=0z^-n/n!，$(1-z{)}^{-1}=\sum _{k\ge 0}{z}^k$(1-z)^-1=sum_k>=0z^k。两个级数在紧子集上一致绝对收敛，可以相乘。$k-n=-1$k-n=-1 即 $n=k+1$n=k+1，因此留数为 $\sum _{k\ge 0}1/(k+1)!=e-1$sum_k>=01/(k+1)!=e-1。各个 $k$k 都有贡献，不能仅保留 $n=1$n=1。

除以 $z$z 后，每一项的指数减一。

结果：本性奇点；留数为 $1$1。

$\cos (1/z)/z=\sum _{n\ge 0}(-1{)}^n{z}^{-(2n+1)}/(2n)!$cos(1/z)/z=sum_n>=0(-1)^n z^-(2n+1)/(2n)!。主部无穷，原点为本性奇点。$n=0$n=0 的系数为 $1$1，就是留数。不要把 $\cos (1/z)$cos(1/z) 本身的零留数直接用于乘积。